四面体法测态密度

Wuhan, Hubei, 430074, P. R. China 中华人民共和国 湖北 武汉

《计算材料学》课程设计

指导老师：江建军教授

电子科学与技术系

2004年6月

Wuhan, Hubei, 430074, P. R. China 中华人民共和国 湖北 武汉

四面体法测状态密度

夏玄赵超荣孙金中程捷兰天吕璐

赵珊刘志英岳雄伟向伟席明鹏

（华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074）

摘要：以面心立方（fcc）晶体的s能带为例, 利用紧束缚法计算其能带,利用四面体法计算其态密度。即将第一布里渊区分成一些微小的四面体,计算每一个四面体对空间一点的态密度的贡献而进行态密度计算的方法。分析当分割四面体个数变化时态密度曲线的拟合程度。

关键词：紧束缚法能带密度函数四面体法第一布里渊区态密度态密度曲线

The Calculation of Dos with Tetrahedron Method

Abstract: Take the energy band of S orbital of fcc crystal as an example, we measure it by

Tight-Binding Theory and then calculate its density of state (Dos) with Tetrahedron Method. With this method, firstly the first Brillouin Zone is divided into some tiny tetrahedrons, and each tetrahedron's contributing to Dos is calculated, then the total Dos can be known. Finally, we use different number of tetrahedrons to get different Dos lines and analyze the congruity of them with other calculation methods.

Key words: Tight-Binding Theory; Dos function; Tetrahedron Method; Density of state; Dos line.

1 引言

在研究非晶半导体电子性质的努力中，许多研究工作者试图将固体中各种各样的无序状态进行分类和理想化。典型的种类是在结构，组分，网络形状，定量和拓扑学等的无序状态。这样的分类通常依据特定的理论结构。为了回避问题的复杂性，抓住问题的实质，关键在于研究理想化的模型系统，从而设想将整个空间机构化分成许多基本单元——四面体单元的组合，对每个四面体单独考虑最后叠加。四面体法作为一种空间机构分析与综合的工具, 有这样的特点：这就是它对于使用者数学方面的要求并不高；它与几何学的结合给人以直观、形象的感受, 使得该方法易于被人理解、接收； 它涉及到的矢量知识都是最基本的矢量运算。

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四面体法蕴含的“单元化”、“模块化”的思想也与当今计算技术的发展趋势相一致, 编程相当简单、方便。

在计算态密度时,我们也可以用类似的思想来解决。大家知道,在原子中电子的本征态形成一系列分立能级,可以具体标明各能级的能量,说明它们的分布情况。然而,在固体中,电子能级是异常密集的,形成准连续分布,去标明其中每个能级是没有意义的。为了概括这种情况下能级的状况,引入所谓能态密度的概念。考虑能量在E→E+∆E间的能态数目,若∆Z表示能态数

目,则能态密度定义为 N(E)= lim

Z

E

∆

∆

。

所谓四面体测态密度方法就是将第一布里渊区划分成为一些微小的四面体进行态密度计算的方法。它是利用波矢K对应的能量本征值E(K)来计算晶体态密度的方法。

2.理论基础

2.1能带计算方法

2.1.1紧束缚法

紧束缚法(Tight Binding)的中心思想就是用原子轨道的线形组合（linear combination of atomic orbitals , LCAO）作为一组基函数，由此求得固体的薛定鄂方程。这个方法的物理图像是认为固体中的电子态与其组成的自由原子态相差不大。Tight Binding方法在绝缘体的能带结构研究中有很大成功。由于原子轨道处在不同格点上，由它们组成非正交的基函数，再用Slater—Koster参量法，OLCAO方法等进行计算。

2.1.2正交平面波方法和赝势方法

不同能带计算方法的特征区别在两个方面：1、采用不同的函数集来展开晶体波函数。2、根据研究对象的不同物理性质对晶体势做合理有效的近似处理。正交平面波方法和赝势方法正是这方面的典范。

正交平面波方法的基本思想是展开波函数的基不但有动量k+K较小的平面波组成分。还有原子核附近具有大动量的孤立原子波函数的成分。并且与孤立原子芯态波函数组成布洛赫正交。

赝势方法的基本思想是：在近自由电子近似中，周期性势场起伏很小。即在离子实内部，用假想的势能代替真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及其离子实之间的区域的波函数，这个假想的势能就叫做赝势。

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2.1.3原子球近似

包括，缀加 平面波方法(APM)、格林函数法，线性化的APM 法，又称LAPM 法和

Muffin—tin 轨道线性组合法(LMTO)等。其共同特点，都与Muffin—tin 势 有关，这种势场将

晶体空间分为两类区域：以每个原子为中心的Muffin—tin 球形区以及球外的球形区域。

2.1.4相对密度泛函和能带计算

密度泛函理论局域近似在处理一般金属和半导体的电子能带和有关物理性质方面取得非

常大的成功，但是对磁性晶体以及含有原子序数Z 较大的元素为组分的晶体，由于含有自旋

轨道耦合以及电子高速运动等相对论效应，必须对密度泛函理论作改进和推广。1973年，

Hohenberg—Kohn 的两个基本理论可推广到包含相对论效应的情况，将电子密度分为自旋朝

上和自旋朝下,这时密度泛函理论局域近似用于磁性金属。1979年，提出了完美的相对论密度

泛函理论局域近似的框架。Dirac 型的Kohn—Sham 方程，这一单粒子方程的自洽有效势能包

括多电子关联效应和相对论效应。

利用紧束缚法计算面心立方的s 能带：

'i ik R at i i J e

εε=−−∑ i J J

考虑最近邻的情况,得到：

'i ik R at i nn J e

εε=−−∑ i

对于s 电子来说,考虑各向同性,即只与距离有关。

对于面心立方,考虑12个最近邻的点： (1/2,0,-1/2), ( 1/2,0,1/2), (-1/2,0,-1/2), (- 1/2,0,1/2),

(0,- 1/2, -1/2), (0, 1/2, -1/2), (0,- 1/2, 1/2)，(0,-1/2,1/2)，(-1/2,-1/2,0)，( 1/2, -1/2,0), (- 1/2, 1/2,0),

( 1/2, 1/2,0)。

代入得：'14(cos cos cos cos cos cos )222222y y x x z z k k a

k a k a k a k a k a J εε=−++ 2.2态密度

如果在k 空间中,根据E(k)=常数，作出等能面,那末在等能面E 和E+∆E 之间的状态数目

就是Z 。由于状态在k 空间分布是均匀的,密度为

∆3(2)V π,因此, ∆Z=3

)(2V π(能量E 和-E+∆E 的等能面之间的体积)