2013-2014(1)概率论(B)解答

广州大学2013-2014学年第一学期考试卷

课 程：概率论（36学时） 考 试 形 式：闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________

一、选择题（每小题3分，总计15分）

1．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（ A ）.

（A ）15i p i =，5,4,3,2,1=i ； （B ）6)

5(2i p i -=，3,2,1,0=i ；

（C ）41=i p ，5,4,3,2,1=i ； （D ）25

1

+=i p i ，5,4,3,2,1=i .

2．对于任意两个事件A 与B ，若)()()(B P A P AB P =，则（ C ）. （A ）∅=AB ； （B ）)()|(B P B A P =；

（C ）)()()(B P A P B A P =； （D ）)()()(B P A P AB P =.

3．已知3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，A 与B 互斥，则=-)(A B P （ D ）. （A ）0.15； （B ）0.2； （C ）0.35； （D ）0.5.

4．设X 与Y 为两个独立的随机变量，则下列选项中不一定成立的是（ D ）. （A ）()()()E X Y E X E Y +=+； （B ）()()()E XY E X E Y =； （C ）()()()D X Y D X D Y +=+； （D ）()()()D XY D X D Y =.

5．设()f x ，()F x 分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数，则必有( B ).

（A ）()f x 连续； （B ）)()(x f x F ='； （C ）)()(x F x f ='； （D ）lim ()1x f x →+∞

=.

二、填空题（每小题3分，总计15分）

1．将4个球随机地放入4个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于3/32.

2．设随机变量~(0,1)X N ，()x Φ为其分布函数，则()()x x Φ+Φ-=___1___.

3．每次试验中A 出现的概率为p ，在三次试验中A 出现至少一次的概率是

124

125

，则p = 1/5 .

4．设离散型随机变量X 的分布律为

X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2

其分布函数为()F x ，则(2)F = 1 .

5．设随机变量(,)~(3,1;2,1;0)X Y N -，72+-=Y X Z ，则EZ = 0 . 三、（本题满分8分）

将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率: （1）第1号球与第2号球相邻;

（2）第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).

解：将4个球随意地排成一行有4!=24种排法，即基本事件总数为24.------2分 记（1），（2）的事件分别为,A B .

（1）先将第1，2号球排在任意相邻两个位置，共有23⨯种排法，其余两个球可在其余两个位置任意排放，共有2!种排法，因而A 有23212⨯⨯=种排法，故

()12/241/2P A ==.------5分

（2）第1号球排在第2号球的右边的每一种排法，交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法，反之亦然.

因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同，各占总排法数的1/2 故有()1/2P B =.------8分 四、（本题满分6分）

袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中依次取m 个球，每次取1个，取后球放回，求其中恰有k 个白球的概率.

解：该试验可视为m 重伯努利试验，每次试验中成功的概率为a

a b

+，------3分

所求概率为

k m k

k m

a b P C a b a b -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪

++⎝⎭⎝⎭

.------6分

设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.

解：记事件1A ：“该产品是次品”， 事件2A ：“该产品为乙厂生产的”， 事件3A ：“该产品为丙厂生产的”，事件B ：“该产品是次品”.------2分 由题设，知

1()45%P A =，2()35%P A =，3()20%P A =，

1(|)4%P B A =，2(|)2%P B A =，3(|)5%P B A =，------5分 由全概率公式得

3

1

()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 3.5%=.------8分

由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得

1(|)P A B 1()()

P A B P B =

11()(|)()P A P B A P B =18

51.4%35==.------10分 六、（本题满分12分）

设随机变量X 的分布函数为

0,

0,1/3,01,()1/2,12,1,

2.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪

=⎨

≤<⎪⎪≥⎩ （1）求(02)P X <<、(14)P X <<；

（2）判断X 是否为离散型随机变量，若是，说明理由并计算其分布律； （3）求(21)E X +. 解：（1）P(0

P(1

（2）由()F x 是一个阶梯型函数，知X 是一个离散型随机变量，()F x 的跳跃点分别为0，1，2，对应的跳跃高度分别为1/3，1/6，1/2. 故X 的概率分布为

012

1/31/61/2i X p ------8分

（3）E(2X+1)=(2+1)*1/6+(2*2+1)*1/2+(2*0+1)*1/3------10分

=3.------12分