事件的独立性与条件概率专题
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解75 事件的相互独立性与条件概率 全概率公式
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§10.5事件的相互独立性与条件概率、全概率公式考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．知识梳理1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝n(AB) n(A)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )． 常用结论1．如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．贝叶斯公式：设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝P (A i )P (B |A i )P (B )＝P (A i )P (B |A i )∑k ＝1n P (A k )P (B |A k )，i ＝1,2，…，n . 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立．( √ )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)．( √ ) 教材改编题1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为( )A.16 B.13 C.56D．1答案 A解析设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，则P(A)＝12，P(B)＝23，故P(A)＝12，P(B)＝13，所以P(A B)＝12×13＝16，即谜题没被破解出的概率为1 6.2．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是()A.128 B.110 C.19 D.27答案 D解析当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为2 7.3．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．答案0.55解析由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.题型一相互独立事件的概率例1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案 B解析事件甲发生的概率P(甲)＝16，事件乙发生的概率P(乙)＝16，事件丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为________.答案0.50.1解析记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(AA2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)1＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.由乙先发球，得P(X＝4且甲获胜)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝0.4×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.5×0.4×0.5＝0.1.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练1小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率．解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)恰好有一列火车正点到达的概率为P2＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)三列火车至少有一列火车正点到达的概率为P3＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.题型二条件概率例2(1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为()A.35B.25C.27D.15答案 D解析 设事件A 为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B 为“两块板恰好是全等三角形”，则P (AB )＝2C 27＝221，P (A )＝C 25C 27＝1021， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2211021＝15. (2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.2021答案 A解析 记事件A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B ：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B |A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病， 则B ⊆A ，AB ＝A ∩B ＝B ，P (A )＝1－0.04＝0.96，P (B )＝1－0.16＝0.84，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.840.96＝78. 思维升华 求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝P(AB) P(A).(2)样本点法：P(B|A)＝n(AB) n(A).(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．跟踪训练2(1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()A.14 B.25 C.12 D.35答案 C解析设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)＝35，P(AB)＝310，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.(2)某射击运动员每次击中目标的概率为45，现连续射击两次．①已知第一次击中，则第二次击中的概率是________；②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．答案①45②12解析①设第一次击中为事件A，第二次击中为事件B，则P(A)＝4 5，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，因此已知第一次击中，则第二次击中的概率是4 5.②设仅击中一次为事件C，则仅击中一次的概率为P(C)＝C12×45×15＝825，在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是P(B|C)＝15×45825＝12.题型三全概率公式的应用例3(1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为()A.79160 B.35 C.2132 D.58答案 C解析设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”．则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝58×0.9＋38×0.25＝21 32.(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为()A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51答案 D解析设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，则P(A)＝P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.07，P(B|A)＝0.95，因此P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝0.5×(0.07＋0.95)＝0.51.思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n)．(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i)．(3)代入全概率公式计算．跟踪训练3(1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为()A．0.78 B．0.8 C．0.82 D．0.84答案 C解析设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝________，P(B)＝________.答案1 2 9 28解析 P (B |A 2)＝24＝12，由题知P (A 1)＝37，P (A 2)＝27，P (A 3)＝27，则P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝37×14＋27×24＋27×14＝928.课时精练1．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立 C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立 答案 C解析 ∵P (A )＝1－P (A )＝1－23＝13， ∴P (A )P (B )＝19， ∴P (AB )＝P (A )P (B )≠0，∴事件A 与B 相互独立，事件A 与B 不互斥也不对立．2．(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是()A．0.819 2 B．0.972 8C．0.974 4 D．0.998 4答案 B解析4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.3．根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1答案 A解析设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.20.25＝0.8.4．(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为()A．0.36 B．0.352C．0.288 D．0.648答案 D解析由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为C12×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.5．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为()A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25答案 A解析记事件A为“该考生答对题目”，事件B1为“该考生知道正确答案”，事件B2为“该考生不知道正确答案”，则P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.6．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则()A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立C．P(B|A)＝5 12D．P(C|A)＝5 12答案 D解析将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含C24A33＝36(个)样本点，它们等可能，事件A含有的样本点个数为A33＋C23A22＝12，则P (A )＝1236＝13， 同理P (B )＝P (C )＝13，事件AB 含有的样本点个数为A 22＝2，则P (AB )＝236＝118， 事件AC 含有的样本点个数为C 22＋C 12C 12＝5，则P (AC )＝536， 对于A ，P (A )P (B )＝19≠P (AB )，即事件A 与B 不相互独立，故A 不正确；对于B ，P (A )P (C )＝19≠P (AC )，即事件A 与C 不相互独立，故B 不正确； 对于C ，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16，故C 不正确； 对于D ，P (C |A )＝P (AC )P (A )＝512，故D 正确． 7．(2022·石家庄模拟)某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ________；该选手闯关成功的概率是 ________. 答案 4912解析 该选手仅回答正确两个问题的概率是P 1＝23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＝49，该选手要闯关成功，则只有第3个问题回答正确或者第1,3两个问题回答正确或者第2,3两个问题回答正确或者三个问题都回答正确，所以闯关成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＋23×23×12＝12. 8．某医生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为________． 答案 16解析 设事件A 为“周二晚上值班”，事件B 为“周三晚上值班”，则P (A )＝C 16C 27＝27，P (AB )＝1C 27＝121，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 9．(2022·襄阳模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1＝110，P 2＝19，P 3＝18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 解 (1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＝310.(2)设“该款智能自动检测合格”为事件A ，“人工抽检合格”为事件B ， 则P (A )＝910，P (AB )＝1－310＝710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝710910＝79.10．(2023·佛山模拟)男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组(每组4个队)．正赛分小组赛阶段与决赛阶段： 小组赛阶段各组采用单循环赛制(小组内任意两队需且仅需比赛一次)；决赛阶段均采用淘汰制(每场比赛胜者才晋级)，先将12支球队按照小组比赛成绩进行排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛(且不在四分之一决赛中相遇)，其余8支球队按规则进行附加赛(每队比赛一次，胜者晋级)，争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？ (2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队(甲、乙、丙、丁队)实力相当，假设他们在接下来的四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜的概率都依次为34，12，12，12，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．解(1)根据赛制，小组赛共安排3×C24＝18(场)比赛，附加赛共安排8÷2＝4(场)比赛，四分之一决赛共安排8÷2＝4(场)比赛，半决赛共安排4÷2＝2(场)比赛，铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，故本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排18＋4＋4＋2＋2＝30(场)比赛．(2)设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，∵晋级后每场比赛相互独立，∴P(A)＝34×12×12＝316，∵四队实力相当，∴P(B)＝P(C)＝P(D)＝P(A)＝3 16，∵事件A，B，C，D互斥，∴甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－4×316＝14.故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为1 4.11．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )A.827B.1627C.3281D.4081 答案 D解析 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，故甲获得冠军的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝4081.12．(多选)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( ) A ．P (B )＝25 B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件 答案 BD解析 由题意知，A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故D 正确；P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P(A3)＝310，P(B|A1)＝12×51112＝511，由此知，B正确；P(B|A2)＝411，P(B|A3)＝411；而P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，由此知A，C不正确．13．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则()A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大答案 D解析设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，方法一由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大．方法二(特殊值法)不妨设p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝0.4；在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝0.52；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝0.6.所以P丙最大．14．(2023·舟山模拟)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(A|C)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________.(精确到0.001)答案0.087解析∵P(A|C)＝0.95，∴P(A|C)＝1－P(A|C)＝0.05，∵P(C)＝0.005，∴P(C)＝0.995，由全概率公式可得，P(A)＝P(A|C)P(C)＋P(A|C)P(C)，∵P(AC)＝P(C|A)P(A)＝P(A|C)P(C)，∴P(C|A)＝P(A|C)P(C)P(A|C)P(C)＋P(A|C)P(C)＝0.95×0.0050.95×0.005＋0.05×0.995＝19218≈0.087.21 / 21。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
事件的相互独立性、条件概率与全概率公(课件)-2025年高考数学一轮复习
1
,
8
所以D正确．故选：D
=
1
,
8
=
1
,
64
= ，则, 相互独立，
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【典例2-2】（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第
一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色
胜者．
（1）若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
（2）求最终小金获胜的概率．
（3）若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）．
【解析】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
“{ = 0}与{ = 0}独立”是“{ = 1}与{ = 1}独立”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】{ = 0}与{ = 0}独立，则( = 0, = 0) = ( = 0)( = 0)，
即 = 1, = 1 = = 1 − = 0, = 1
，故C项错误；
=
C22 C22 +C22 C12 C12 +C12 C12 C22 +C12 C12 C12 C12
C24 C24
=
25
36
= ，故D项正确．
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【变式2-1】考虑以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y定义Ω上，取值{0,1}的成对分类变量，则
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
用符号表示为：＄P(B|A)＄，表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
条件概率的计算公式为：＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＄，其中$P(AB)＄表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
例题 1一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第 2 个红球的概率。
解析首先，取出一个红球的概率为$P(A) ＝＼frac{5}｛8}＄。
然后，取出第 2 个红球的概率，即在已经取出一个红球的情况下，再取出一个红球的概率。
此时盒子里还剩下 7 个球，其中 4 个红球，所以$P(AB) ＝＼frac{4}｛7}＄。
根据条件概率公式，＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＝＼frac{4 ／ 7}｛5 ／ 8} ＝＼frac{32}｛35}＄。
知识点总结1、条件概率的本质是在缩小的样本空间中计算概率。
2、条件概率的计算要注意确定已知条件和所求事件，并准确计算相关的概率。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即：若$P(B|A) ＝ P(B)＄且$P(A|B) ＝ P(A)＄，则事件 A 和事件 B 相互独立。
当事件 A 和事件 B 相互独立时，＄P(AB) ＝ P(A)P(B)＄。
例题 2设事件 A 表示“明天晴天”，事件 B 表示“明天去公园”，已知$P(A) ＝ 06$，＄P(B) ＝ 04$，＄P(B|A) ＝ 04$，判断事件 A 和事件 B 是否独立。
3条件概率与事件的独立性
P( A) 3 ； 4
(2) ' (b,b),(b, g),( g,b), 所求的概率p 2 .
3
思考：(1)、(2)中两个概率、 '与有什么区别？
p与P( A)、P(B)、P( AB)有怎样的联系？
2
一、条件概率的概念
含义: 在事件B发生的条件下,另一事件A发生的概率,
称为在事件B发生条件下事件A的条件概率，
那么在小孩说谎一次之后，村民相信他的概率为
P(B A) P( AB)
P(B)P(A B)
P( A) P(B)P( A B) P(B)P( A B)
0.8 0.1
0.8 0.1 0.2 0.5
0.444
20
补充说明
这里，P(B) 0.8 称为先验概率，即原来村民 对他的印象。 P(B A)＝0.444 称为后验概率， 即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。 若小孩再次撒谎，则以P(B A)＝0.444 替换 P(B) 0.8 作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到 P(B A)＝0.138. 在实际生活中，人们总是根据 已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。
解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结 果呈阳性”，则由题意知
P(B) 0.0004, P( A B) 0.99, P( A B) 0.999.
所求问题是？ P(B A)
16
已知 P(B) 0.0004, P( A B) 0.99, P( A B) 0.999.
求P(B A). P(B A) P(BA)
25
例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”，
B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？
P( A) 6 , P(B) 4 ,
概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT
例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
D1-3 条件概率及事件的独立性
P AB P A P B
A, B 是相互独立的
定理1: ① A, B 相互独立 P A B P A P B 0
P B A P B P A 0
② 若事件A与B独立， A与 B 、 与B 、A 与 B 也 则 A 相互独立. 证: P AB P A B P A P AB
P A P A P B P A 1 P B P A P B
P AB P A B 1 P A B
1 P A P B P AB 1 P A P B P A P B
两两独立
1 1 但 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 4 8
即三个事件不相互独立
一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 若以下等式成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj )
1 i j n,
1 i j k n, P ( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( AБайду номын сангаас )P( A2 ) P ( An )
500 0.03 0.001593 25000 ②由贝叶斯公式得： 500 0.03 P( A) P( E | A) 25000 P( A | E ) 0.001593 PE
全概率公式与贝叶斯公式说明： 令 Ai -“原因”， B-“结果”， 则
P Ai -第 i 种原因发生的概率.
2023年新高考数学大一轮复习讲义专题47 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (原卷版)
专题47 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式【考点预测】 知识点1、条件概率 （一）定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么()|)(P B P B A ≠；（2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =． 由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立． （2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A =．（二）事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅． （2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =． （3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立． 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()0i P A >，12i n =，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+ （2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()01i P A <<，12i n =，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．（2）贝叶斯公式充分体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的转关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+之间的内在联系．【题型归纳目录】 题型一：条件概率题型二：相互独立事件的判断 题型三：相互独立事件概率的计算 题型四：相互独立事件概率的综合应用 题型五：全概率公式及其应用 题型六：贝叶斯公式及其应用题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【典例例题】 题型一：条件概率例1．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件A =“甲选择农夫山泉”，事件B =“甲和乙选择的饮品不同”，则()|P B A =（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A 、B 同时发生的概率例3．（2022·全国·高三专题练习）端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A 为“取到的两个为同一种馅”，事件B 为“取到的两个均为豆沙馅”，则()P B A =（ ）A ．12B ．34C ．35D ．23变式1．（2022·全国·高三专题练习）如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．415B ．730 C ．15D ．16变式2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A 为“4个人去的景点各不相同”，事件B 为“只有甲去了中山陵”，则|P A B （）=____________.变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．变式4．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003p =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（8100.9970.976,0.9970.970==，）【方法技巧与总结】用定义法求条件概率)(A B P 的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()P A ，()P A B ；（3）代入公式求(()|))(P A B P B A P A =．题型二：相互独立事件的判断例4．（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）已知A ，B 是一次随机试验中的两个事件，若满足2()()3P A P B ==，则（ ）A ．事件A ，B 互斥 B ．事件A .B 相互独立C ．事件A ，B 不互斥D ．事件A ，B 不相互独立例5．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知A ，B 为两个随机事件，()P A ，()0P B >，则“A ，B 相互独立”是“()()P A B P A B =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例6．（2022·全国·高三专题练习）若1()9P AB =，2()3P A =，1()3P B =，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立变式5．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（ ）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立变式6．（2022·全国·高三专题练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A ，“第二枚为正面”记为事件B ， “两枚结果相同”记为事件C ，那么事件A 与B ，A 与 C 间的关系是（ ） A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥 D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立变式7．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A 表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B 表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C 表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D 表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（ ）A．B与D相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．C与D相互独立变式8．（多选题）（2022·山东·高三开学考试）拋掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为（）A．“出现的点数为奇数”B．“出现的点数大于2”C．“出现的点数小于4”D．“出现的点数小于3”【方法技巧与总结】判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔()()()P A B P A P B⋅=．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当()0P A>时，可用(|)()P B A P B=判断．题型三：相互独立事件概率的计算例7．（2022·河南河南·模拟预测（理））某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A．2732B．916C．2764D．932例8．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23.则谜题被破解的概率为（）A．16B．13C．56D．1例9．（2022·全国·高三专题练习）甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26B．0.72C．0.74D．0.98变式9．（2022·陕西·长安一中高三阶段练习（理））某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（）A．136B．112C．16D．13变式10．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为23，34，45，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（）A．97120B．56C．910D．5360变式11．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三开学考试（理））乒乓球是我国的国球，“乒乓精神”激励了一代又一代国人. 为弘扬国球精神，传承乒乓球文化，强健学生体魄，某中学举行了乒兵球单打比赛. 比赛采用7局4胜制，每局比赛为11分制，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛. 在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10:10后，每一个球就要交换一个发球权. 经过紧张的角逐，甲、乙两位选手进入了决赛.(1)若甲赢得每局比赛的概率为23，求甲以4:1赢得比赛的概率;(2)若在某一局比赛中，双方战成10:10. 且甲获得了下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为34，乙发球时甲赢1分的概率为12，求两人打了5ξξξ∈N（，）个球后，甲蠃得了该局比赛的概率.【方法技巧与总结】（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．题型四：相互独立事件概率的综合应用例10．（2022·全国·高三专题练习）“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）A ．5960B ．35C ．12D ．160例11．（2022·河北衡水·高三阶段练习）一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 为7个开关，其闭合的概率均为23，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）A ．75513- B ．71113-C ．7233 D ．553例12．（多选题）（2022·广东佛山·高三阶段练习）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（ ）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为89C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57变式12．（多选题）（2022·山西长治·高三阶段练习）以石墨烯电池、量子计算、AI 等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A 、B 、C 三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A 、B 、C 三个小组攻克该技术难题的概率分别为12，12，23，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（ ）A ．三个小组都受到奖励的概率是16B ．只有A 小组受到奖励的概率是12 C ．只有C 小组受到奖励的概率是211D ．受到奖励的小组数的期望值是53变式13．（2022·重庆八中高三阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为23，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.变式14．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三阶段练习（理））甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，己知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.(1)求2X 的概率；(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.【方法技巧与总结】1、求复杂事件的概率一般可分三步进行（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理．题型五：全概率公式及其应用例13．（2022·浙江·高三开学考试）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A ．0.78 B ．0.8 C ．0.82 D ．0.84例14．（2022·全国·高三专题练习）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A （A 的对立事件）存在如下关系：()()()()()P B P BA P A PB A P A =⋅+⋅∣∣．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A ．0.0688 B ．0.0198C ．0.049D ．0.05例15．（2022·全国·高三专题练习）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是12．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．变式15．（2022·全国·高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．变式16．（2022·全国·高三专题练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．变式17．（2022·全国·高三专题练习）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为15，卖出2箱的概率为12，卖出1箱的概率为15，没有卖出的概率为110，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2箱及以上，则需补货至3箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼.(1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率；(2)求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率.变式18．（2022·全国·高三专题练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率.变式19．（2022·全国·高三专题练习）有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出2个零件．(1)求先取出的零件是一等品的概率；(2)求两次取出的零件均为一等品的概率．（结果保留两位小数）【方法技巧与总结】全概率公式1()()()|ni i i P B P A P B A ==∑在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．题型六：贝叶斯公式及其应用例16．（2022·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________.例17．（多选题）（2022·山东·高密三中高三阶段练习）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存在如下关系：()()()()P A P B A P A B P B =.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）A．第二天去甲餐厅的概率为0.54B．第二天去乙餐厅的概率为0.44C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为5 9D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为4 9例18．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有30%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有20%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占70%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（）A．0.25B．0.2C．0.15D．0.1变式20．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）某工厂有,A B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是,A B两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（）A．34B．47C．12D．37变式21．（2022·全国·高二课时练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．变式22．（2022·全国·高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.001．若从该城市居民中随机选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率．【方法技巧与总结】1、利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算()P A ，即1()()()|ni i i P A P B P A B ==∑；第二步：计算()P AB ，可利用()()()|P AB P B P A B =求解； 第三步：代入()()()|P AB P B A P A =求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率()()()|P AB P B A P A =，全概率公式1()()()|n i i i P A P B P A B ==∑及乘法公式()()()|P AB P B P A B =之间的关系，即1|()()()()()()()()()(||)j j j j j j n i ii P B A P B P A B P B P A B P B A P A P A P B P A B ====∑．题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例19．（2022·全国·高三专题练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）A ．13B ．23 C ．34 D ．14例20．（多选题）（山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期10月优生抽测数学试题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）A ．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12B ．第二次抽到3号球的概率为1148C ．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大D ．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种例21．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立B ．()1522P A B =C ．()25P B =D ．()245|8P A B =变式23．（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.①事件1A ，2A 相互独立；②()315P A =；③9()22P B =；④()24|11P B A =；⑤()159P A B =∣．变式24．（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．变式25．（2022·全国·高二课时练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分17、15、14．现从这三个地区任抽取一个人． (1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．变式26．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M ，其中由本厂自主生产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M 的平均成本控制为640元/件．(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率；(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？。
第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;
解:(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分,即3人都回答正确,
其概率 P(A)= × × = ,甲队得 1 分,即 3 人中只有 1 人回答正确,其余 2 人都
立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)相互独立的性质:①如果事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与 ,
与 B, 与 都 相互独立 .
②若事件A与事件B相互独立,则P(AB)= P(A)P(B) .
相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生
的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一
④概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=
P(A)P(B|A) .
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,
有P(B)=
∑ P(Ai)P(B|Ai)
=
.我们称其为全概率公式.
的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表
示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(
√
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
)
解析:事件甲发生的概率 P(甲)= ,事件乙发生的概率 P(乙)= ,事件丙发
条件概率与事件的独立性【题集】-讲义(教师版)
条件概率与事件的独立性【题集】1. 条件概率A.B.C.D.1.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）．【答案】D【解析】事件：四月份下雨，事件：四月份吹东风，，，，条件概率公式有，故选．【标注】【知识点】条件概率A.B.C.D.2.某小区有名歌手，其中名男歌手，名女歌手．从中选出人参加区组织的社区演出．在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（ ）．【答案】D【解析】若从中选出人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，又因为小区有名歌手，其中名男歌手，名女歌手，此时若女歌手乙被选择，则被选中的概率为．故选．【标注】【知识点】条件概率A.B.C.D.3.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于”为事件，“两颗骰子的点数之和等于”为事件，则（ ）．【答案】D【解析】由题意，为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于时两骰子的点数之和等于的概率，∵抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于，基本事件有个，红骰子的点数小于时两骰子的点数之和等于，基本事件有个，分别为，，，∴．故选：．【标注】【知识点】条件概率；古典概型A. B. C. D.4.从装有个红球个白球的袋子中先后取个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（）．【答案】C【解析】因为共有个红球个白球，所以先后取个球，取后不放回，第一次取到红球的取法数为：，第一、二次都取到红球的取法数为：，故所求的概率．故选：．【标注】【知识点】条件概率A. B. C. D.5.小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设表示事件“个人去的景点各不相同”，表示事件“小赵独自去一个景点”，则（）．【答案】A【解析】小赵独自去一个景点，则有个景点可选，其余人只能在小赵剩下的个景点中选择，可能性为种，所以小赵独自去一个景点的可能性为种．因为个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选．【标注】【知识点】条件概率（1）（2）6.某中学为了迎接即将在武汉市召开的世界中学生运动会，学生篮球队准备假期集训，集训前共有个篮球队，其中个是新球（即没有用过的球），个是旧球（即至少用过次的球）．每次训练，都从中任意取出个球，用完后放回．设第次训练时至少取到个新球，第次训练时也取到个新球的概率．在第次训练时至少取到个新球的条件下，求第次训练时恰好取到个新球的概率．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）设“第次训练时取到个新球”为事件，则，．设“从个球中任意取出个球，恰好取到个新球”为事件，则“第次训练时恰好取到个新球”就是事件，而事件，互斥，于是．由条件概率公式，得，又因为，所以，第次训练时恰好取到个新球的概率为（2）．设在第次训练时至少取到个新球，第次训练时恰好取到个新球，则在第次训练时至少取到个新球的条件下，第次训练时恰好取到个新球的概率为．因为，又，所以．【标注】【知识点】条件概率2. 乘法公式7.已知，，．【答案】【解析】∵，∴．【标注】【知识点】条件概率；相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.8.已知号箱中有个白球和个红球，号箱中有个白球和个红球，现随机地从号箱中取出个球放入号箱中，然后从号箱中随机地取出个球，则两次都取到红球的概率是（）．【答案】C【解析】设从号箱取到红球为事件，从号箱取到红球为事件．由题意，可得，，所以．所以两次都取到红球的概率是．故选．【标注】【知识点】古典概型的概率计算（不涉及计数原理）；条件概率【素养】数学运算；数据分析3. 事件的独立性A.B.C.D.9.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为．甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）．【答案】B【解析】设甲中靶为事件，乙中靶为事件，，为相互独立事件，根据相互独立事件的乘法公式可得：．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A.B.C.D.10.已知盒中装有个红球、个白球、个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）．【答案】B【解析】设“第一次拿到白球”为事件，“第二次拿到红球”为事件B∴，，则所求概率为，故选：．【标注】【知识点】条件概率11.A.B.C.D.袋中有红黑个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）．【答案】B【解析】设”第一次摸到红球”为事件，”第二次摸到红球”为事件．∴，∴．故选．【标注】【知识点】条件概率4. 互斥事件与独立事件A.事件和互斥B.事件和互相对立C.事件和相互独立D.事件和相等12.抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则（ ）．【答案】C【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：由于事件，能同时发生，则事件，不为互斥事件，故错误；由于事件，能同时发生，则事件，不为对立事件，故错误；第一枚正面朝上和第二枚反面朝上是相互独立事件，故正确；由于事件，中有不同的样本点，则事件，不相等，故错误；故选 C .【标注】【知识点】相互独立事件13.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中的是（ ）．不.正.确.A.B.C.D.事件与事件不相互独立，，是两两互斥的事件【答案】D【解析】由题意、、是两两互斥事件，，，，，，，，所以不正确．故选．【标注】【知识点】条件概率14.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为；且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了局的概率为．【答案】【解析】由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了局的概率为，∴所求概率为．故答案为：．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.15.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）．【答案】B【解析】根据题意得：恰有一个一等品的概率．故选．【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式16.为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的个问题中，选手若能连续正确回答出个问题，即停止答题，晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了个问题晋级下一轮的概率等于．【答案】【解析】该选手至少回答了个问题晋级，包含两种情况：回答了五个或者留六个问题．一、回答了五个问题晋级，则第三、四、五个问题都回答正确，而第二个问题回答错误．．二、回答了六个问题晋级，则第四、五、六个问题都回答正确，而第三个问题回答错误．，综上：，该选手至少回答了个问题晋级的概率为．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.17.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有家购买该机床设备的概率是（）．【答案】C【解析】甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有家购买该机床设备的概率：．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.18.某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（）．【答案】C【解析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而，二人也有可能是由感染的，，设，，直接受感染为事件，，，则，，是相互独立的，并且，，，表明除了外，，二人中恰有人是由感染的，∴，∴、、中直接受传染的人数为的概率为．故答案为：．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.19.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）．【答案】B【解析】由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了局的概率，∴所以概率为．故选．【标注】【知识点】条件概率A. B.C. D.以上都不对20.甲、乙、丙三名同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为, 三人各检测一次，则三人中只有一人及格的概率为（）．【答案】C【解析】由题意可知分三种情况且三人及格与否相互独立，则．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式A. B. C. D.21.已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都为止，则经过次测试恰好将个次品全部的概率（）．【答案】C【解析】找.到.找.出.11由题意可得：前次抽到了一个次品，且第四次抽到第二个次品，或前次抽到的全是正品，若前次抽到了一个次品，且第四次抽到第二个次品，概率为，若前四次抽到的全是正品，概率为，故所求事件的概率为．故选．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型；互斥事件与对立事件的概念辨析；互斥事件的概率加法公式5. 全概率公式22.（敏感性问题调查）要调查蔡老板在学生心目中是不是一个胖子，制作问卷 ：蔡老板是胖子么？回答方式为“是”和“否”．由于这是一个敏感性问题学生没法当面回答，现采取如下策略进行调查．现同时制作问卷 ：蔡老板是胖子么？问卷 ：给你一枚硬币，你丢一次是正面朝上么？学生将从一个只装有红球和白球的盒子中抽球决定回答哪个问题，如果抽到红球，回答 问题，抽到白球，回答 问题，假设抽到红球的概率是．现在对名学生进行调查，发现收到的答案中有个是，你认为根据统计结果，蔡老板是一个胖子么？【答案】是．【解析】 ：抽到的球是红球， ：回答是，设选择蔡老板是胖子的概率为，，，，，，解得．【标注】【素养】数学运算【知识点】条件概率。
13条件概率及事件的独立性
定义1.3.1 则称
设 A, B 是的两个随机事件，且 P( B) 0,
P( AB) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
性质
0 P( A B) 1
P( A B) P( A B) 1
各有红、白两色， 例2 一盒中混有100只新 、旧乒乓球， 分类如下表。 从盒中随机取出一球， 若取得的是一只红球， 试求该红球是新球的概率。 红 白 30 10
(2) 事件A与事件B相互对立； (3) 事件A与事件B不相互独立；
(4) 事件A与事件B相互独立；
例11. 从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令 A={抽出一张K}, B={抽出一张黑桃},问A与B是否独立?
1 解: P A , P B , P AB 1 , 1 1 C52 C52 C52
第三节
条件概率及事件 的相互独立性
一、条件概率和乘法公式
第一章
二、全概率公式和Bayes公式 三 、事件的相互独立性
§1.3.1 条件概率和乘法公式
在实际问题中，除了要知道事件 A 发生的概率 P(A) 外，有时还要考虑“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发
生的概率”，这个概率记作 P(A|B)。 由于增加了条件“事 件B 已经发生”，所以一般说来，P(A|B) 和 P(A) 不同。 称P(A|B) 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的 条件概率。
C 4 P( A | B1 ) C 5 由Bayes公式: P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) 2 0.0848 P( Bi ) P( A | Bi )
i 0
4 19 4 20
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习
3.全概率公式
一般地，设 ， ，⋯ ， 是一组两两互斥的事件，
∪ ∪ ⋯ ∪ = ,且 > , = ,2,⋯ ,,则对任意的事件 ⊆ ，
∑ ∣
有 =⑧_________________.
=
我们称上面的公式为全概率公式.
−
+ −
= −
+ − ,故C不正确;对于D，
发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或
0,1,0或1,0,0或0,0,0，则此方案的概率
= −
+ −
= −
相互独立事件不一定互斥.
2.条件概率
（1）概念：一般地，设，为两个随机事件，且 > ,我们称②
| =
_______________为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称
条件概率.
（2）两个公式
①利用古典概型： |
=③______.
|
=
=
,
=
=
，由条件概率
.
方法二（样本点数法）：不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有
× = 个样本点， = × = ， = × = ，
所以 | =
=
=
.
注意 | 和 | 的区别.
1.事件的关系与运算
（1），都发生的事件为；，都不发生的事件为.
6.条件概率与事件的独立性
6、条件概率与事件的独立性一、基础知识1．条件概率（1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，如果在事件B 已经发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则这种概率称为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。
记作P(A|B)（2）条件概率的公式：)()()()()|(B n AB n B P AB P B A P == 2．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅4．互斥事件与相互独立事件是有区别的：互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。
二、典例分析题型一：条件概率【例1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：（1）第一次取到不合格品的概率；（2）在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.【变式1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。
【变式2】甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.【变式3】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。
A新高考数学--第四节-事件的相互独立性与条件概率全
第四节 事件的相互独立性与条件概率
(1)在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 能计算简单随机事件的条件概率；(2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系， 会用乘法公式计算概率；(3)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
[提速度]
(多选)一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字 1,2,3,4，拋掷这个正四面体
一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间 Ω＝{1，事件 G＝{2,4}，则
()
A．E 与 F 不是互斥事件
B．F 与 G 是对立事件
C．E 与 F 是独立事件
(3,1)共 2 个，所以 P(B|A)＝29． 答案：C
2．(2022·玉溪期末)某气象台统计，该地区下雨的概率为145，既刮四级以上的风
又下雨的概率为110．设事件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以上的
风，则 P(B|A)＝__________． 1
解析：由题意知 P(A)＝145，P(AB)＝110，故 P(B|A)＝PPAAB＝140＝38． 15
重点三 全概率公式 一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A ．0.31
B ．0.32
C ．0.33
D ．0.36 2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
A.12
B.35
C.34
D.310
3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )
A.35
B.34
C.1225
D.1425
4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为
( )
A.310
B.13
C.38
D.29
5．(优质试题·济南质检)优质试题年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13
，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15
.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北
京旅游的概率为( )
A.5960
B.35
C.12
D.160
6．(优质试题·合肥月考)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为( )
A ．0.80
B ．0.75
C ．0.60
D ．0.48
7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16
，其他几项标准合格的概率为15
，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( )
A.49
B.190
C.45
D.59
8．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D.25
二、填空题
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625
，则该队员每次罚球的命中率为________．
10．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为________．
11．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
12．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15
，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是________.
答案精析
1．B [∵摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，
∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]
2．C [第一次抽到文科题，则总共剩下4道题，所以抽到理科题的概率为34.] 3．D [P 甲＝810，P 乙＝710，甲、乙独立，∴P (甲乙)＝810×710＝1425
.] 4．B [设A ＝{第一次拿到白球}，B ＝{第二次拿到红球}，
则P (AB )＝C 12C 110×C 13C 19，P (A )＝C 12C 110，所以P (B |A )＝P AB P A ＝13
.] 5．B [用A ，B ，C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为
P (A －B －C －
)＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝25，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.] 6．B [设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立，
由已知得P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，P (A 2|A 1)＝0.60.8
＝0.75.故选B.] 7．B [设体型合格为事件A ，视力合格为事件B ，其他几项合格为事件C ，
依题意P (A )＝13，P (B )＝16，P (C )＝15
. ∴所求概率为P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝13×16×15＝190
.] 8．C [设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，
由于P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25
， AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，
故P (AB )＝2A 33A 55＝110，于是P (B |A )＝1
1025
＝14
.] 9.35
解析 设该队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625，p 2＝925.又0<p <1，所以p ＝35
. 10.34
解析 记事件A 为“第一次摸到黑球”，事件B 为“第二次摸到白球”，则事件AB 为“第一次
摸到黑球、第二次摸到白球”，依题意知P (A )＝25，P (AB )＝25×34＝310
，∴在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为P (B |A )＝
P (AB )P (A )＝34. 11.34
解析 甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12
，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14
，故由互斥事件的概率公式，得甲队获得冠军的概率为14＋12＝34
. 12.25
解析 由题意知，两个人都不去此地的概率是⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－15＝35
， ∴至少有一人去此地的概率是1－35＝25
.。