中考数学专题复习旋转的综合题及详细答案

为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
详解：（1）如图 1 中，∵ △ ABC 是等边三角形，∴ ∠ AOB=∠ COD=60°，∴ 当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋转角 α=60°或 240°．
故答案为 60 或 240； （2）结论：AC=BD，理由如下： 如图 2 中，∵ ∠ COD=∠ AOB=60°，∴ ∠ COA=∠ DOB．在△ AOC 和△ BOD 中，
2．在等边△ AOB 中，将扇形 COD 按图 1 摆放，使扇形的半径 OC、OD 分别与 OA、OB 重
合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△ AOB 不动，让扇形 COD 绕点 O 逆时针旋转，线
段 AC、BD 也随之变化，设旋转角为 α．（0＜α≤360°）
（1）当 OC∥ AB 时，旋转角 α＝
2
2
最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
【解析】
分析：（1）如图 1 中，易知当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋 转角 α=60°或 240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△ AOC≌ △ BOD 即可． （3）在图 3、图 4 中，分别求解即可． （4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作 OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
.
.
∴
.
∴
.
∴ 点 G 到 BE 的距离为 .
考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性 质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．
5．已知△ ABC 是等腰三角形，AB=AC． （1）特殊情形：如图 1，当 DE∥ BC 时，有 DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”） （2）发现探究：若将图 1 中的△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜180°）到图 2 位置， 则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3） 4 3 4 ．
数为 45°或 135°.
（3）如图 3，连接 GB、GE. 由已知 α=45°，可知∠ BAE=45°. 又∵ GE 为正方形 AEFG 的对角线， ∴ ∠ AEG=45°.∴ AB∥ GE.
∵
，∴ GE =8.
∴
.
过点 B 作 BH⊥AE 于点 H.
∵ AB=2，∴
.∴
设点 G 到 BE 的距离为 h.
（1）在
时，当
时，
，当
时，
∴
；
（2）由题意得 D（4，7）或（-4，1）；
（2）由题意得 D 点坐标为（4， ）
设直线 BD 的关系式为
∵ 图象过点 B（0，4），D（4， ）
∴
，解得
∴ 直线 BD 的关系式为
.
考点：动点的综合题 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型．
度；
发现：（2）线段 AC 与 BD 有何数量关系，请仅就图 2 给出证明．
应用：（3）当 A、C、D 三点共线时，求 BD 的长．
拓展：（4）P 是线段 AB 上任意一点，在扇形 COD 的旋转过程中，请直接写出线段 PC 的
最大值与最小值．
【答案】（1）60 或 240；(2) AC=BD，理由见解析；（3） 13+1 或 13 1 ；（4）PC 的
4．如图 1，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边 AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形 AEFG 以点 A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 . 在旋转过程中，两个正方形只有点 A 重合，其它顶点均不重合，连接 BE、DG. （1）当正方形 AEFG 旋转至如图 2 所示的位置时，求证：BE=DG； （2）当点 C 在直线 BE 上时，连接 FC，直接写出∠ FCD 的度数； （3）如图 3，如果 =45°，AB =2，AE= ，求点 G 到 BE 的距离.
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图 1，在□ABCD 中，AB=6，∠ B= (60°< ≤90°). 点 E 在 BC 上，连接 AE，把△ ABE 沿
AE 折叠，使点 B 与 AD 上的点 F 重合，连接 EF. (1)求证：四边形 ABEF 是菱形； (2)如图 2，点 M 是 BC 上的动点，连接 AM，把线段 AM 绕点 M 顺时针旋转 得到线段 MN，连接 FN，求 FN 的最小值(用含 的代数式表示).
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题．
同理可得：∠ FEN＝∠ FEC－∠ 4= － (90°－ )＝ －90° 综上所述，∠ FEN＝ －90° ∴ 当点 M 在 BC 上运动时，点 N 在射线 EH 上运动(如图 3) 当 FN⊥EH 时，FN 最小，其最小值为 FE·sin( －90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠ FEN ＝ －90°，再运用垂线段最短求出 FN 的最小值.
【答案】（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3） 【解析】
试题分析：（1）先分别求得一次函数
的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标，再根
据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质结合△ BOA 的特征求解即可； （3）先根据点 C 在线段 AB 上判断出点 D 的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.
∠ FEN＝ －90°，再根据垂线段最短，求出 FN 的最小值即可. 【详解】 （1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴ ∠ FAE=∠ BEA， 由折叠的性质得∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA, BE=EF， ∴ ∠ BAE=∠ FEA， ∴ AB∥ FE， ∴ 四边形 ABEF 是平行四边形， 又 BE=EF， ∴ 四边形 ABEF 是菱形； （2）①如图 1，当点 M 在线段 BE 上时，在射线 MC 上取点 G，使 MG＝AB，连接 GN、 EN.
（2）由旋转得到的结论判断出△ DAB≌ △ EAC，得到 DB=CE； （3）由旋转构造出△ CPB≌ △ CEA，再用勾股定理计算出 PE，然后用勾股定理逆定理判断 出△ PEA 是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】 （1）∵ DE∥ BC，
∴ DB EC ， AB AC
∵ AB=AC， ∴ DB=EC， 故答案为=， （2）成立． 证明：由①易知 AD=AE， ∴ 由旋转性质可知∠ DAB=∠ EAC， 又∵ AD=AE，AB=AC ∴ △ DAB≌ △ EAC， ∴ DB=CE， （3）如图，
【答案】（1）证明见解析；（2）45°或 135°；（3） . 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质可得 AB=AD，AE=AG，∠ BAD=∠ EAG=90°，再求出 ∠ BAE=∠ DAG，然后利用“边角边”证明△ ABE 和△ ADG 全等，根据全等三角形对应边相等 证明即可. （2）当点 C 在直线 BE 上时，可知点 E 与 C 重合或 G 点 C 与重合，据此求解即可.
（3）拓展运用：如图 3，P 是等腰直角三角形 ABC 内一点，∠ ACB=90°，且 PB=1，PC=2， PA=3，求∠ BPC 的度数．
【答案】（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°. 【解析】 【分析】
试题（1）由 DE∥ BC，得到 DB EC ，结合 AB=AC，得到 DB=EC； AB AC
将△ CPB 绕点 C 旋转 90°得△ CEA，连接 PE， ∴ △ CPB≌ △ CEA， ∴ CE=CP=2，AE=BP=1，∠ PCE=90°，
∴ ∠ CEP=∠ CPE=45°，
在 Rt△ PCE 中，由勾股定理可得，PE= 2 2 ， 在△ PEA 中，PE2=（ 2 2 ）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵ ∠ AMN＝∠ B＝ ，∠ AMN+∠ 2＝∠ 1+∠ B ∴ ∠ 1＝∠ 2 又 AM＝NM，AB＝MG ∴ △ ABM≌ △ MGN ∴ ∠ B＝∠ 3，NG＝BM ∵ MG＝AB＝BE ∴ EG＝AB＝NG ∴ ∠ 4=∠ ENG= (180°－ )＝90°－ 又在菱形 ABEF 中，AB∥ EF ∴ ∠ FEC＝∠ B= ∴ ∠ FEN＝∠ FEC－∠ 4= － (90°－ )＝ －90° ②如图 2，当点 M 在线段 EC 上时，在 BC 延长线上截取 MG＝AB，连接 GN、EN.
（3）根据
和
求解
即可.
试题解析：（1）如图 2，∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=AD，∠ BAE+∠ EAD=90°.
∵ 四边形 AEFG 是正方形，∴ AE=AG，∠ EAD+∠ DAG=90°.
∴ ∠ BAE=∠ DAG..
∴ △ ABE≌ △ ADG（SAS）.
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∴ BE=DG..
（2）如图，当点 C 在直线 BE 上时，可知点 E 与 C 重合或 G 点 C 与重合，此时∠ FCD 的度
∵ PE2+AE2=AP2， ∴ △ PEA 是直角三角形 ∴ ∠ PEA=90°， ∴ ∠ CEA=135°， 又∵ △ CPB≌ △ CEA ∴ ∠ BPC=∠ CEA=135°． 【点睛】 考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.
6．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，点 O 为 AB 中点，点 P 为直线 BC 上的动 点（不与点 B、点 C 重合），连接 OC、OP，将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60°，得到线段 PQ，连接 BQ． （1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系． （2）如图 2，当点 P 在 CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若 不成立，请说明理由； （3）如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，若∠ BPO=15°，BP=4，请求出 BQ 的长．
2
2
如图 4 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
易知 AC=BD=AH﹣CH= 13 1 ． 2
综上所述：当 A、C、D 三点共线时，BD 的长为 13 1 或 13 1 ；
2
2
（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作
OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
OA OB COA DOB ，∴ △ AOC≌ △ BOD，∴ AC=BD； CO OD
（3）①如图 3 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
在 Rt△ COH 中，∵ OC=1，∠ COH=30°，∴ CH=HD= 1 ，OH= 3 ．在 Rt△ AOH 中，
2
2
AH= OA2 OH 2 = 13 ，∴ BD=AC=CH+AH= 1 13 ．
3．已知：一次函数
的图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，以 B 为旋转中
心，将△ BOA 逆时针旋转，得△ BCD（其中 O 与 C、A 与 D 是对应的顶点）.
（1）求 AB 的长； （2）当∠ BAD=45°时，求 D 点的坐标； （3）当点 C 在线段 AB 上时，求直线 BD 的关系式.