线代第一至四章习题及答案
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线代第一至四章习题及答案
第三讲 线性方程组
例11 设A 是m ×n 矩阵，r(A )=r ．则方程组AX = β
(A)在r=m 时有解.
(B)在m=n 时有唯一解. (C)在r (D)在r=n 时有唯一解. (B) A 是n ×n 矩阵，缺A 可逆的条件. (C) 缺r(A )=r(A |β)的条件. (D) 缺r(A )=r(A |β)的条件. (A) m=r(A )≤r(A |β)≤m,则m=r(A )=r(A |β)=m. 例14 ⎩⎨⎧=+=+02042 31x x x x 的一个基础解系为 (A)(0,-1,0,2)T . (B) (0,-1,0,2)T , (0,1/2,0,1)T . (C) (1,0,-1,0)T ,(-2,0,2,0)T . (D) (0,-1,0,2)T , (1,0,-1,0)T . 例13当A =( )时，(0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程 组AX =0的基础解系． (92) (A)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---112112 . (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102. (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110201 (D) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-110201110. 例15 已知(1,a,2)T ,(-1,4,b)T 构成次线性方程组 ⎩⎨⎧=--=-+0220 221 21s s x tx x x x sx 的一个基础解系,求a,b,s,t. 方法一：把两个解(1,a,2)T 和(-1,4,b)T 代入方程得 ⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧=---=-+-=+=-+0 242024020 4b t b s at a s 解出 a b s t 2 1 2 -1 -4 -2 8 2 1 方法二：s=2，n=3，则r(A)=1 于是 12221=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---t s r S=2,t=-1 例 AX =0和BX =0都是n 元方程组，判断下列断言的正确性. (1) AX =0和BX =0同解⇒ r(A )=r(B ). (2) r(A )=r(B )⇒ AX =0和BX =0同解. (3) AX =0的解都是BX =0的解⇒ r(A )≤r(B ). (4) AX =0的解都是BX =0的解⇒ r(A )≥r(B ). (5) r(A )≥r(B )⇒ AX =0的解都是BX =0的解. AX =0的解都是BX =0的解⇒J A ⊂J B ⇒.r(J A )≤r(J B )即n-r(A )≤n-r(B ). 推论 如果AB =0,n 为A 的列数(B 的行数),则r(A )+r(B )≤n. 证记B =(β1, β2,⋯, βs ),则AB =(A β1, A β2,⋯, A βs )，于是 AB =0⇔A βi =0,i=1,2,⋯ ,s,即每个βi 都是齐次方程组AX =0 的解.即β1, β2,⋯, βs 是J 的部分组。 则r(B )= r(β1, β2,⋯, βs )≤ r(J )=n-r(A ),即r(A )+r(B )≤n. 例1 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=+++=++++=+-+0236903254602235421 543214 321x x x x x x x x x x x x x 求此齐次方程组的一个基 础 解系和通解. ① A=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000310 100 92310321 206003090001223230693254601223 ② 取定自由未知量542,,x x x 写出同解方程组 ⎪⎩ ⎪⎨⎧-=---=5 35421 31 9 23132x x x x x x ③ 对自由未知量赋值（轮流地取值1），得基础解系 54321x x x x x T ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=0001321 ，，，，η T ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=01003 12，，，，η T ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--=103 109 2 3，，，，η ④ 写出通解：2332 211,c c c c ηηη++任意 2007考题 已知方程组 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=++0 4020 3221 321321x a x x ax x x x x x 和 x 1+2x 2+x 3=a-1有公共解,求a 和 全部公共解. 有公共解⇔联立方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++1 2040203213211311321a x x x x a x x ax x x x x x 有解 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎫- ⎝ ⎛231000********* 111000 12141211 1122a a a a a a a a 当a=1时，()2)(|==A r A r β，有公共解 当a=2时，()3)(|==A r A r β，有公共解 当a ≠1，2时，()3)(,4|==A r A r β，无公共解 当a=1时，联立方程组是齐次方程组，有非零解 ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛→000 000 010 101 000000010111 A ， ⎩⎨⎧=-=02 3 1x x x 基础解系：⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=101α 通解（即公共解的一般形式）：αc ，c 任意 a=2时，唯一解： ()⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-→0110000 100 010 001 0100000100110 111 |βA