最新导数的概念及运算

导数的概念及运算

导数的概念及运算

重点难点分析：

1．导数的定义、意义与性质：

（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即

。如果当

Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。记作f'(x0)或，即。

（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间

内的导函数，记作f'(x)或y'，即。

（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。

（4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即

。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。

2．求导数的方法：

（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

②求平均变化率

③取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：

① C'=0(C为常数)；

② (x n)'=nx n-1 (n∈Q)；

③ (sinx)'=cosx；

④ (cosx)'=-sinx；

⑤ (e x)'=e x；

⑥ (a x)'=a x lna

⑦；

⑧

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③

（4）复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

说明：

1．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。2．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析

3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。

典型例题：

例1．求下列函数的导数

①y=(2x-3)5②③④y=sin32x

解析：①设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3

由复合函数的求导法则得：

y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4＝10(2x-3)4

②设u=3-x，则可分解为，

。

③

④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x

例2．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。

解析：，令，即，

得x=4，代入，得y=5，

∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。

例3．已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。

①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x

∴切线斜率为k=12-6-18=-12，∴切线方程为y=-12x+8。

②由

得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。

公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。

评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。

*例4．设，求f'(x)。

解析：当x>0时，，当x<0时，，

由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知

由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：。

例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，

由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。

训练题：

1．已知函数，且f'(1)=2，则a的值为______。

2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。

3．给出下列命题：

①；②(tanx)'=sec2x

③函数y=|x-1|在x=1处可导；④函数y=|x-1|在x=1处连续。

其中正确的命题有：_____。

4．函数y=cosx在点处的切线方程为_______。

5．已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。

参考答案：

1. 2

2.

3. ②，④

4.

5．解：∵ f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，∴ b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e，

又∵图象过点A(0，-1)，∴ e=-1，∴ f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx，

当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2......①

对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。

∴点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0........②

由①，②解出a=-2，c=3，

因此f(x)=-2x4+3x2-1。

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选择题

1．设函数f(x)在x0处可导，则等于（）。

A、f'(x0)

B、f'(-x0)

C、-f'(x0)

D、-f(-x0)

2．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是（）。

（1）（2）

（3）（4）

A、(1)(2)

B、(1)(3)

C、(2)(3)

D、(1)(2)(3)(4)

3．曲线在点（1，1）处的切线方程是（）。

A、B、

C、x-2y+1=0

D、x+2y+1=0