三年高考真题分类汇编(数列)

三年高考真题分类汇编

数列

1.（19全国1 理）记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ）

A ．25

n a n =-

B ．

310n a n =-

C ．2

28n S n n =- D ．2

122

n S n n =

- 2. （19全国1 理）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

14613

a a a ==，，

则S 5=___121

3____． 3.（19全国1 文）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133

1

4

a S ==，，则S 4=____58

___． 4.（19全国3文理）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16

B ． 8

C ．4

D ． 2

5.（19全国3 理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则

10

5

S S =____4____. 6.（19全国3 文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =__100___. 7.（19全国1 文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．

（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；

（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．

由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-． 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．

（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2

n n n n d

a n d S -=-=

. 由10a >知0d <，故S n ≥a n 等价于0n 10n 11n 2≤+-，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围为[1,10].

n S

8.（19全国2 理）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，

1434n n n b b a +-=-.

（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.

解：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111

()2

n n n n a b a b +++=

+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为

1

2

的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，11

2

n n n a b -+=

，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222

n n n n n n a a b a b n =

++-=+-， 111

[()()]222

n n n n n n b a b a b n =+--=-+．

9.（19全国2 文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.

解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得2

2416q q =+，即2

280q q --=.

解得2q =-（舍去）或q =4.因此{}n a 的通项公式为121

242n n n a --=⨯=.

（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为

1321n n +++-=.

10.（18全国1理）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11.（18全国1理）记为数列的前项和.若，则________．

n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-1012n S {}n a n 21n n S a =+6S =63-

12.（18全国1文）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n

n a b n

=

． （1）求123b b b ，

，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{}n a 的通项公式．

解：依题意，，，∴，，. （1）∵，∴

，即，所以为等比数列. （2）∵，∴.

13．（18全国2文理）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

解：（1）设的公差为，由题意得， 由得．所以的通项公式为．

（2）由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．

14.（18全国3文理）等比数列中，． （1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2

5

3

4a q a =

=，∴2q =±.∴12n n a -=或1(2)n n a -=-. （2）由（1）知，122112n n

n S -=

=--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+， ∴2163m

m S =-=或1[1(2)]633

m m S =--=（舍），∴6m =.

15.（17全国1理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}

n a 的公差为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

16.（17全国2理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

17.（17全国3理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

18.（17全国2理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11n

k k

S =∑ 1n + 19.（17全国3理）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =__8-__．

21224a a =⨯⨯=321

(23)122a a =

⨯⨯=1111a b ==2222

a b ==3

343

a b =

=12(1)n n na n a +=+121n n

a a n n

+=+12n n b b +={}n b 11

12n n n n a b b q n

--===

1

2n n a n -=⋅n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a d 13315a d +=-17a =-2d ={}n a 29n a n =-228(4)16n S n n n =-=--∴4n =n S

16-{}n a 15314a a a ==，

{}n a n S {}n a n 63m S =m