第四章轴对称问题有限元法

第四章 轴对称问题有限元法

在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。这种问题就称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。

第一节 轴对称问题弹性力学基本方程

对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（,,r z θ）。如果将

y

弹性体的对称轴作为Z 轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r 和Z 轴的函数，而与θ无关，即不随θ变化。弹性体内任意一点只有两个位移：即沿r 方向的径向位移u 和沿Z 方向的轴向位移w 。由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v 等于零。因此轴对称问题是二维问题。

在轴对称弹性体内用相距dr 的两个圆柱面和过轴线互

成d θ角的两个铅垂面切割出一个高为dz 的微元体，如图2所示。

(a)

σ(b)

沿r 方向作用的正应力r σ称为径向应力 沿θ方向作用的正应力θσ称为环向应力 沿z 方向作用的正应力z σ称为轴向应力 rz 面内的剪应力 zr τ=rz τ

故轴对称弹性体内任意一点的应力分量

{}[]T

r z rz θσσσστ=

对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量

{}[]

T

r z rz θεεεεγ=

其中

r ε ------ 沿r 方向径向线应变 θε ------ 沿θ方向环向线应变

z ε ------ 沿z 方向轴向线应变 rz γ------ rz 面内的剪应变

与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变θε。弹性体受载时，点（,,r z θ）产生径向位移u ，使过点（,,r z θ）的周长增加了2()2r u r ππ+-，因而产生相对伸长，即环向应变:

2()22r u r u r r

θππεπ+-==

轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为

,,,r z zr u u w w u

r r z r z

θεεεγ∂∂∂∂====+∂∂∂∂

写成矩阵形式

{}r z rz u r u r

w z u w z r θεεεεγ⎧⎫⎪⎪

⎪⎪⎧⎫⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪

⎪⎪⎩⎭

==∂∂∂∂∂∂+∂∂

根据虎克定律，应力与应变的关系为

1

()r r z E

θεσμσσ⎡⎤⎣⎦=-+ 1

()z r E

θθεσμσσ⎡⎤⎣⎦=-+ 1

()z z r E

θεσμσσ⎡⎤⎣⎦=-+ 12(1)rz rz rz r G E

μττ+==

由上式得

[]10111

011(1)(1)(12)10

111200

2(1)r z zr r z rz E θθσσσστμ

μ

μμ

εμ

μ

εμμμμ

μ

εμμμμγμμ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬

⎪⎪⎪⎪⎩⎭

⎡

⎤

⎢⎥

--⎢⎥

⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎢⎥⎨⎬+-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪--⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦

= （4-2） 这里弹性矩阵[D]为

[D]＝

10111

011(1)(1)(12)10111200

2(1)E μ

μμμ

μ

μ

μ

μμμ

μ

μμμμμμ⎡

⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

-----+-----

第二节 三角形截面环单元

一、 结构离散化

离散化轴对称体时，采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与rz 平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状：3节点三角形、6节点三角形、4节点四边形和8节点四边形等等。单元的节点是圆周状的铰链，各单元rz 平面（子午面）内形成网格。在我们这里研究的是3节点三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz 平面（子午面）正交的截面是三角形，如图3所示。

r

(u)

图4-3 轴对称结构

注：（1）对轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划分和分析，即在rz 平面（子午面）截面进行网格划分和分析。但是应注意到单元是圆环状的，所有节点载荷都

应为作用在单元节点所在的圆周上；同样，位移边界条件也是如此。

（2）轴对称体受非轴对称载荷时，成为三维问题。此时，采用将载荷沿θ方向展成富氏级数的半解析方法，把三维问题化为一组二维问题。 轴对称问题离散化例1

如图所示是一承受内压和外压的无限长厚壁圆筒，可取单位长度圆筒进行分析，有限元模型：

轴对称问题离散化例2

取四分之一模型研究，有限元模型（网格未划，只给出位移边界条件）：

r

二、位移模式

采用三节点三角形单元，单元节点位移列阵为： {}T

i i j j m m e

u w u w u w δ⎡⎤⎣⎦= （4-3） 仿照平面三角形单元，取线性位移模式

123456u r z

w r z

αααααα=++=++ （4-4）

类似平面三角形单元的推导，将节点坐标

,,,,,i i j j m m r z r z r z 和节点位移,,,,,i i j j m m u w u w u w 代入位移

模式（4-3）中，可解得126,,...,ααα。再将这些系数代回式（4-4）中，得

i i j j m m i i j j m m

u N u N u N u w N w N w N w =++=++ （4-5）

其中形函数