最新全国各地中考数学压轴题专集-6三角形(无答案)
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2011年全国各地中考数学压轴题专集:6三角形
1.△ABC 是一张等腰直角三角形纸板,∠C =90°,AC =BC =2.
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为S 1;按照甲种剪法,在余下的△ADE 和△BDF 中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为S 2(如图2),则S 2=_______;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为S 3(如图3);继续操作下去…则第10次剪取时,S 10=_______. (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
2.
问题探究
(1)如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的中点,DE ⊥DF ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF .
①求证:BE +CF >EF ;
②若∠A =90°,探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系,并加以证明.
问题解决
(2)如图,在四边形ABDC 中,∠B +∠C =180°,DB =DC ,∠BDC =120°,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点,连接EF ,探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系,并加以证明.
A B C E D F A B C 图1 甲 乙
P N M Q A B C E
D F 图2 A B
C 图3
B A
C E F
B A
C E F
3
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角
形”是真命题还是假命题?
(2)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB
=c ,AC =b ,BC =a ,且b >a ,
若Rt △ABC 是奇异三角形,求
a :
b :
c ;
(3)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合),
D
是半圆ADB ︵
的中点,C 、D 在直径AB 的两侧,若在⊙O 内存在
点E ,使AE =AD ,CB =CE .
① 求证:△ACE 是奇异三角形;
② 当△ACE 是直角三角形时,求∠AOC 的度数.
4.如图1,在等边△ABC 中,点D 是边AC 的中点,点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合),连结BP ,将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A 1B 1P ,连结AA 1,射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F . (1)如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF 与△AEP 始终存在相似关系,请说明理由;
(2)如图2,设∠ABP =β,当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF 与△AEP 全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当α=60°时,点E 、F 与点B 重合.已知AB =4,设DP =x ,△A 1BB 1的面积为S ,求S 关于
B
B 1
1
5.数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论
当点E 为AB 的中点时,如图1,确定线段AE 与DB 的大小关系.请你直接写出结论: AE _______DB (填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE 与DB 的大小关系是:AE _______DB (填“>”,“<”或“=”),理由如下.
如图2,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F . (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,点D 在直线BC 上,且ED =EC .若△ABC 的边长为1,AE =2,求CD 的长(请你直接写出结果).
6.如图,△ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF .
(1)在图中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC 的面积为1,试求以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积.
7.在平面直角坐标系中,点A (3,0),B (0,4).以点A 为旋转中心,把△ABO 顺时针旋转,得△ACD .记旋转转角为α,∠ABO 为β.
(1)如图①,当旋转后点D 恰好落在AB 边上时,求点D 的坐标; A B
C
E
D
图2
F
A B C
E
D 图1
在等边三角形ABC 中,点E 在AB 上, 点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,如图.
试确定线段AE 与DB 的大小关系,并说明
A
B
C
E
D
A
E B C
F D
(2)如图②,当旋转后满足BC ∥x 轴时,求α与β之间的数量关系; (3)当旋转后满足∠AOD =β时,求直线CD 的解析式.
8.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =30,AB =50.点P 是AB 边上任意一点,直线PE ⊥AB ,与边AC 或BC 相交于E .点M 在线段AP 上,点N 在线段BP 上,EM =EN ,sin ∠EMP =
12
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. (1)如图1,当点E 与点C 重合时,求CM 的长;
(2)如图2,当点E 在边AC 上时,点E 不与点A 、C 重合,设AP =x ,BN =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)若△AME ∽△ENB (△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应),求AP 的长.
9.已知∠MON =60°,射线OT 是∠MON 的平分线,点P 是射线OT 上的一个动点,射线PB 交射线ON 于点B .
(1)如图,若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ,求证:PA =PB ; (2)在(1)的条件下,若点C 是AB 与OP 的交点,且满足PC =
3
2
PB ,求△POB 与△PBC 的面积之比;
(3)当OB =2时,射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A (点A 不与点O 重合),直线PA 交射线ON 于点D ,且满足∠PBD =∠ABO ,求OP 的长.
10.在△ABC 中,∠ACB =90°,∠ABC =30°,将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A ′B ′C . 图①
图②
(E ) A B P C M N 图1 A B P C M N 图2 E C 备用图
B C M A O N P
T M O N T 备用图 M
O N
T 备用图