理论力学第9章-刚体的平面运动

点 A 称为基点(Base point)，一般选为已知点。当图形
S 在平面运动时，基点 A 的坐标 xA，yA 和夹角j 都随
时间而变化。
x y
A A
f1(t ) f2(t )
j f3(t )
（9-1）
y
y
B
yA
Aj
x
O
xA
x
刚体平面运动的运动方程（Equations of planar motion of rigid bodies）
竖直位置处点A、B、C、D的速度。
解：选轮心O为基点，先研

究点C的速度。由于圆轮沿直线 轨道作无滑动的滚动，点C的速 度为
vC vO vCO 0
圆轮的角速度为 vCO vO
RR
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
各点相对基点的速度为 vAO vBO vDO R vO
[vB ]AB [v A ]AB
vB
vBA
j
vA
B
vB cos(90 j) vA cosj
vB vA cot j
vA
j
A
比较基点法和速度投影法可知，当已知平面图
形上一点速度的大小和方向以及另一点速度的方位
时，应用速度投影法求该点速度的大小和指向是很
方便的，但用速度投影法不能求出平面图形的角速
随着点 M 在垂线 AN 的位置不同，vM 的大小也不
同，总可以找到一点 C，这点的瞬时速度等于零。
vC vA ω AC 0
AC vA ω
刚体作平面运动时，在每一瞬时，图形内必有一 点为速度瞬心；速度瞬心是随时间而变化的，在不同 瞬时，平面图形有不同位置的速度瞬心。
9.4.2 平面运动图形内各点的速度及其分布
证明：设某瞬时，平面图形 S上点 A 的速度为 vA
，图形的角速度为 。若取点 A 为基点，则图形上任
一点 M 的速度
vM v A vMA
如果点 M 位于vA 的垂线 AN上， 则 vA和 vMA 在同一直线上，而方向相 反，故 vM 的大小为：
vCA N
vMA S
A
C
M
vA
vA
vM vA ω AM
则平面图形 S 绕基点 A 作定轴转动；
（2）若 j 为常数，平面图形 S 无转动，则平面图 形 S以方位不变的角 j 作平动。
平面图形 S 的运动可以看成是随着基点的平动和绕 基点的转动的合成。或者说，平面图形 S 的运动可以分 解为平动和转动。
一般的情况下，在基点 A 处建立平动坐标系 Axy。 图形 S的绝对运动（对于定系Oxy的运动）是平面运动， 相对运动（对于动系的运动）是绕基点A的转动，牵连 运动（动系对于静系Oxy的运动）为随基点A的平动。
平面图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距 离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线， 指向图形转动的一方。
平面图形上各点速度在某瞬时的分布情况，与图形 绕定轴转动时各点速度的分布情况类似。因此，平面图 形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。
如果求出平面图形在某一瞬时的速度瞬心位置和 角速度，就可以很容易地确定该瞬时图形内各点的速 度。
常用的还有用瞬心法。 9.4.1 平面图形的速度瞬心 在某一瞬时，平面图形（或其延伸部分）上速度
等于零的点称为平面图形的瞬时速度中心（Instantane -ous center of velocity），简称为速度瞬心。
定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形（或其 延伸部分）上都惟一地存在一个速度为零的点。
vA
j
A
速度 大小 方向
vB vA vBA
vB
vA
？
vA
铅直方位 水平向左
vBA
？ 垂直AB
作出速度平行四边形，vB位于速度平行四边形 的对角线上。由几何关系可得
vB vA cot j
vBA
vA
sin j
AB
vBA l
l
vA
sin j
例9-2 平面机构，AB = BD = DE = l = 30 cm，在
vBA 称为点 B 绕基点 A 转动
vB
v
BA
vA
B
vA
A
的速度，它的大小等于 O
x
vBA ω AB
方向垂直于转到半径AB，指向与平面图形的转向一致。
由速度合成定理得
vB vA vBA
（9-2）
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点
绕基点转动的速度的矢量和。这种求平面图形内任一
点速度的方法称为基点法（Method of base point）。
结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意
线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理，可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理，将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
根据机构的几何条件，确定速度瞬心位置的方法有 下列几种：
（1）当平面图形沿一固定面作无滑动的滚动（纯 滚动）时。平面图形与固定面的接触点 C 就是图形的 速度瞬心。
车轮在纯滚动的过程中，轮缘 上的各点相继与地面接触而成为车 轮在不同时刻的速度瞬心。
v C
（2）已知图形内任意两点 A 和 B 的速度的方向， 速度瞬心 C 的位置必在每一点速度的垂线上。
例如沿平直轨道作直线滚动的车轮，如图9-4所 示，设车轮的轮心 C 以速度 v0 作匀速运动，选点 C 为基点，初始时 C 点在 y 轴上，任一瞬时 CM 与 y
轴的夹角j，则车轮的运动方程为：
xc v0t,
yc R,
j v0t
R
y
y
C1
MR C
v0
j M1
O
K
x
x
9.2 平面运动分解为平动和转动 （1）若基点 A 不动，基点 A 坐标 xA，yA 均为常数，
A B
B A
B
j1
B
j2
A
A
dA dB
dt dt
A B
图形S绕基点转动的角速度、角加速度称为平面图形的角速
度和角加速度，而不必指明其基点。
9.3 求平面图形内各点速度的基点法
9.3.1 基点法 运用速度合成定理求平面图形内各点的速度。
取 A 为基点，牵连速度
y
ve vA
B点的相对速度 vr vBA
[vB ]AB [v A ]AB
（9-3）
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
解： 依据
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时，平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 ， A1A2 作平动，其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动， 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
当 vA 和 vB 同向时，图 形的速度瞬心在 AB 的延长 线上；
9 刚体的平面运动
刚体的平面运动是机构中常见的一种运动，研 究刚体的平面运动具有重要的意义。
刚体的平面运动可以看成是随基点的平动（牵 连运动）与绕基点的转动（相对运动）的合成。
本章将研究刚体平面运动的描述方法，以及刚 体内各点的速度，加速度。
9.1 刚体平面运动的运动方程 9.1.1 刚体平面运动的定义 刚体运动时，如其上各点到某一固定平面的距离
BD vCB
C vB
vDB
60º vD
vC 60º
D
vB
vB
DE
60º E
vD vB vDB
作速度平行四边形。
16
vD vB 150cm/s
vDB vB 150 cm/s
DE
vD DE
vD l
5
rad /s
DB
vDB DB
5
rad/s
vDB
BD vCB
60º vD
vC
B
60º
C
D
vB
vB
度。
例9-5 已知 OA = 10 cm，以角速度 2 rad/s
转动，CD = 3 CB，在图示位置时，A、B、E 三点恰
在同一水平线上，且 CD ED 。
试求此瞬时点 E 的速度。
vD D
30º E
vE
B
vB
A vA
60
C
O
解：（1）运动分析：杆 OA、CD 作定轴转动， 杆 AB、DE 以及轮 E 作平面运动。
图示位置时，BD // DE，杆 AB 角速度为 5rad/s