1整除的概念和性质
整除知识点总结与练习
整除知识点总结与练习一、整除的定义整除是指对于两个整数a和b，如果a能够被b整除，即a除以b的结果是一个整数，则称a能够被b整除，记作b|a。
其中a称为被除数，b称为除数，整数的除法结果称为商。
例如，6÷3=2，6除以3的结果是2，因此6能够被3整除，即3|6。
整除的定义表明了整除的两个基本特点：1. 整数a能够被整数b整除的定义是a÷b的结果是一个整数。
2. 整除的概念是具有传递性的，即如果a能够被b整除，b能够被c整除，则a能够被c整除。
二、整除的判定在计算整除时，通常需要用到整除的判定方法。
整除的判定方法主要有以下几种：1. 除法判定法：即直接计算被除数除以除数的结果是否为整数。
2. 因数判定法：利用被除数和除数的因数来判断整除关系。
3. 余数判定法：如果a能够被b整除，那么a÷b的余数为0。
4. 分解质因数判定法：将被除数和除数分解质因数，如果被除数分解后能够完全包含除数分解质因数的情况，那么a能够被b整除。
下面通过一些实例来说明整除的判定方法：例1：判断24能否被6整除？方法一：除法判定法，直接计算24÷6=4，结果为整数，因此24能够被6整除。
方法二：因数判定法，24的因数包括1、2、3、4、6、8、12，其中6是24的因数，因此24能够被6整除。
方法三：余数判定法，24÷6=4余0，余数为0，因此24能够被6整除。
方法四：分解质因数判定法，24=2³×3，6=2×3，24的分解质因数包含6的分解质因数，因此24能够被6整除。
综上所述，24能够被6整除。
例2：判断35能否被5整除？方法一：除法判定法，35÷5=7，结果为整数，因此35能够被5整除。
方法二：因数判定法，35的因数包括1、5、7、35，其中5是35的因数，因此35能够被5整除。
方法三：余数判定法，35÷5=7余0，余数为0，因此35能够被5整除。
第二讲 整除
第二讲 整 除【基础知识】一．整除的概念及其性质1、定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ±;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±;更一般，若i b a |，则∑=n i i i bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n ∈=；(3) 若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4) (带余除法)设b a ,为整数，0b ≠，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a +=，其中0r b ≤<，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b ；若0=r ，即为a 被b 整除的情形；（5）若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x xy x y x ； 在上式中用y -代y ：若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x xy x y x ； 若n 是正偶数，则1221()()n n n n n n x y x y xx y xy y ----+=--++-； (6) 如果在等式∑∑===m k k n i ib a 11中取掉某一项外，其余项均为c 的倍数，则去掉项也是c 的倍数；(7) m （m≥2）个连续整数中，有且只有一个是m 的倍数；(8) 任何n （n ≥2）个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整除；（9）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；（10）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；（11）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（12）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；（13）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
1整除特性
整除整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除的一些性质为：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1 在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2 把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3 希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．例4 三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数．分析：要使这四个数的平均数是一个整数，说明这四个数的和必是4的倍数．因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，这时2063+997=3060必能被4整除．解：因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，且2063+997必能被4整除，。
数字的整除关系了解整除和余数的概念
数字的整除关系了解整除和余数的概念数字的整除关系：了解整除和余数的概念数字的整除关系是数学中的基础概念之一，它涉及到整除和余数两个重要概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，而余数是指一个数除以另一个数后所剩下的不足以再次整除的部分。
本文将详细介绍整除和余数的概念、性质及其在数学中的应用。
一、整除的概念和性质1. 整除的定义整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是在除法中除数除尽的情况。
例如，4能够整除8，表示为8÷4=2，因为4乘以2等于8，没有余数。
2. 整除的性质（1）零的特殊性：任何数都能被0整除，即0除以任何非零数结果为0。
（2）整除的传递性：如果一个数能被另一个数整除，而这个另一个数又能被另一个数整除，则第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果8能够整除4，而4能够整除2，则8也能够整除2。
（3）整除的除法效应：如果一个数能够整除两个数之和，那么它也能够整除这两个数的整数倍。
例如，如果6能够整除2和4的和，那么它也能够整除2和4的整数倍，即12、18、24等。
3. 除数与被除数的关系数学中，被除数可以是除数的倍数，也可以不是。
当被除数不是除数的倍数时，除法运算会产生余数。
二、余数的概念和性质余数是指两个数相除后所剩下的不足以再次整除的部分。
余数常用符号"mod"来表示，即a mod b表示a除以b的余数。
例如，9除以4，商为2余1，可以表示为9 mod 4 = 1。
1. 余数的性质（1）余数的范围：余数的范围始终为0到除数-1之间的非负整数。
（2）余数的性质：若a能够整除b，则a mod b = 0；若a不能整除b，则0 < a mod b < b。
2. 余数的运算性质（1）加减运算法则：(a ± b) mod n = (a mod n ± b mod n) mod n。
（2）乘法运算法则：(a × b) mod n = [(a mod n) × (b mod n)] mod n。
整除理论
整除目录[隐藏]整除的定义整除的性质整除的概念整除的规律举例整除的定义整除的性质整除的概念整除的规律举例[编辑本段]整除的定义整除：若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。
我们就说a 能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．注：a or b作除数的其一为0则不叫整除[编辑本段]整除的性质（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．[编辑本段]整除的概念整除有下列基本性质：①若a｜b，a｜c，则a｜b±c。
②若a｜b，则对任意c（0除外），a｜bc。
③对任意a，±1｜a，±a｜a。
④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b｜。
对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。
若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。
当d≥0时，d是a，b公因数中最大者。
若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。
累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
又称欧几里得算法。
[编辑本段]整除的规律整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
初中数学竞赛讲座——数论部分2(整数的整除性)
第二讲 整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义： 设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。
如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若c b b a |,|，则c a |证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），∴a pq q ap c )()(==，∴c a |性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证明 用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是a 2+b 2=9m 2+9n 2±6n+1=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则a 2＋b 2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a ，b 都是3的倍数．例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。
整除重点知识点总结
整除重点知识点总结一、整除的概念1. 整除的定义：如果一个整数a除另一个整数b（且b≠0）的商仍为整数，那么我们说a 能被b整除，记作b|a。
即$a\%b=0$2. 被除数、除数、商、余数：（1）被除数：被除数是指被除数的整数（2）除数：除数是指除数的整数（3）商：商是指商的整数（4）余数：当被除数能被除数整除时，商为整数，余数为零当被除数不能被除数整除时，商不为整数，余数不为零二、整除的性质1. 0的整除性：0是任何整数的倍数。
2. 正整数的整除性：（1）整数c能被整数a、b整数：若c既能被a整数，又能被b整数，则c能被a，b的最小交集整数整除。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
3. 负整数的整除性：（1）整数c能被整数a整数：若c能被a整数，c能被-a、-b整数。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
三、整除的判断方法1. 用倍数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的倍数（倍数是指数字b 的n倍，n是整数）。
2. 用因数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的因数（因数是指a能被整数b整数）。
3. 用除法表示：若整数a能被整数b整数，则整数a÷整数b=商。
若商是整数，则整数a 能被整数b整数。
四、整除的应用1. 整数的奇偶性判断：一个数能够被2整数，称为偶数；一个数不能被2整数，称为奇数。
2. 整数的哪些整除：（1）整数判断：整数5能被整数2整数，因为5÷2=2余1；整数3不能被整数2整数，因为3÷2=1余1。
（2）一元一次方程：整数代表数的值，整除代表数的比值。
五、整除的解题方法1. 整除的运算规则：整除的加减乘除法规则。
2. 整数的乘法和除法：整数的乘法、整数的除法。
3. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
4. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
解整分是整数中的一个重要知识点，通过综合上述知识点的学习，我们可以更好地应用整除知识解决实际问题，提高数学解题的能力。
除法的整除与取余知识点总结
除法的整除与取余知识点总结除法是数学中的基本运算之一，它涉及到整除和取余两个重要的概念。
了解和掌握这些知识点对于数学学习至关重要。
本文将对除法的整除和取余进行总结和讲解，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、整除的概念和性质所谓整除，就是一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
例如，9能被3整除，因为9除以3等于3，没有余数。
1.1 整除的符号表示通常使用符号“|”来表示整除。
如果一个数a能被另一个数b整除，可以写作a | b。
例如，2 | 8 表示2能被8整除。
1.2 整除的性质整除具有以下性质：- 如果a能被b整除且b能被c整除，那么a能被c整除。
即，如果a | b 且 b | c，则a | c。
- 如果一个数a能被另一个数b整除，那么a的倍数也能被b整除。
即，如果a | b，则对于任意整数k，ka | kb。
二、取余的概念和性质除法的另一个重要概念是取余，即除法运算中未被整除的部分。
例如，10除以3，商为3，余数为1，即10 ÷ 3 = 3 余 1。
2.1 取余的符号表示通常使用符号“%”来表示取余运算。
对于两个整数a和b，a % b 表示a除以b的余数。
2.2 取余的性质取余具有以下性质：- 对于任意整数a，a % 1 = 0，即任何数除以1的余数都为0。
- 对于任意整数a，a % a = 0，即任何数除以自身的余数都为0。
- 余数的范围总是小于除数的绝对值。
例如，对于任意整数a和正整数b，0 ≤ a % b < |b|。
三、除法的应用与问题解决除法的整除和取余在实际生活和数学问题中都有广泛的应用。
3.1 整除的应用整除的概念常常应用于确定一个数是否为另一个数的倍数。
例如，我们可以使用整除来判断一个数是否为偶数，因为偶数能被2整除。
3.2 取余的应用取余运算常用于计算机程序设计中，特别是在处理循环和条件判断时。
例如，我们可以使用取余来判断一个数是否为奇数，因为奇数除以2的余数为1。
整除的性质和特征
整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。
理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。
一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。
三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。
(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。
①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。
任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。
又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
数学整除知识点总结
数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。
在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。
整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。
1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。
即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。
此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。
另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。
1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。
在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。
具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。
1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。
在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。
1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。
首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。
以上就是整除的基本概念及其相关内容。
从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。
下面我们就来具体讨论一下整除的性质。
二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。
下面我们将介绍一下整除的性质。
2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
数的整除性了解整除的概念和判断方法
数的整除性了解整除的概念和判断方法整除是数学中常见的概念，它用来描述一个数能够被另一个数整除的性质。
在本文中，我们将深入探讨整除的概念和判断方法。
一、什么是整除？整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数除以另一个数时，得到的商是整数。
例如，当我们说「6可以被2整除」时，意思是6除以2的商是整数3。
在整除的概念中，有两个重要的要素，分别是被除数和除数。
被除数是需要被整除的数，而除数则是用来除以被除数的数。
在上面的例子中，6是被除数，2是除数。
二、整除的判断方法那么，如何判断一个数能否被另一个数整除呢？下面我们将介绍几种常见的判断方法。
1. 除法运算法则最常用的判断方法是使用除法运算法则。
当被除数除以除数能够得到一个整数的商时，那么被除数就能被除数整除。
例如，当我们计算12除以3时，得到的商是4，而4是一个整数，因此我们可以说12可以被3整除。
2. 余数判断法则除法运算法则是最常见和直观的判断方法，但有时我们也可以使用余数判断法则来判断整除性。
当被除数除以除数得到的余数为0时，我们可以判断被除数能够被除数整除。
例如，当我们计算15除以5时，得到的余数是0，因此我们可以说15可以被5整除。
三、整除的性质除了了解整除的概念和判断方法，我们还应该了解整除的一些重要性质。
1. 传递性整除关系具有传递性，也就是说，如果一个数能够被另一个数整除，而这个另一个数又能够被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果6能够被2整除，而2又能够被1整除，那么我们可以得出结论：6能够被1整除。
2. 1的整除性每个数都能被1整除。
这是因为对于任意一个数n，我们都可以将n除以1得到n本身，而n本身是一个整数。
3. 0的整除性0不能被除数整除，因为对于任意一个数n（n≠0），当我们将n除以0时，无法得到一个确定的商，所以没有意义。
四、小结在本文中，我们深入了解了整除的概念和判断方法。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是两个数之间存在整除关系。
整除问题——精选推荐
整除问题[专题]数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b 的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
记作：a|b,b|a,则a=b。
(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
记作：若a|b,b|c,则a|c。
(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作：若a|b,a|c,则a|(b c)。
(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。
记作：若a|b,c|b,(a,c)=1, 则ac|b。
(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
记作：若ac|b,(a,c)=1, 则a|b,c|b。
(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(7) 若a|b,m≠0,则am|bm。
(8) 若am|bm,m≠0,则a|b。
（9）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）三、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
1.整除的概念和性质.ppt
知识方面
(1)整除的定义； (2)整除的基本性质；
(3)能被一些特殊整数（3、9、11）整除的正整数的特征； 思想方法方面
观察、归纳、猜想等合情推理思想； 类比；特殊到一般； 数学核心素养方面
0，2，4, 6, 8, 10，128.他们能被什么整数整除？ (2)0，5，20, 205,1055.他们能被什么整数整除？
1、一个整数的末位数字是0、2、4、6、8 ，则这个数能被2整除； 2、一个整数的末位数字是0、5，则这个数 能被5整除；
问题6.观察下列正整数，这几组数有什么规 律？他们能被什么整数整除？ (1)6，18，21, 108, 243，56382； (2)9，45，189，6651； (3)11，88，968； (4)121，1001,1331。
整除的概念：一般地，设a、b为整数，且b不为0，如果 存在整数q,使得a=bq,则称b整除a,或者a能被b整除。记 作b|a。并且称b是a的因数，a是b的倍数。如果这样的整 数q不存在，则称b不能整除a。
问题4：由整除的概念，你能否推出下列整除的基本性质？ (1)若a|b, b|a,则a=b,或a=-b； (2)若a|b, b|c,则a|c； (3)若a|b,a|c,则对任意整数x、y,恒有a|bx+cy.
1理解并掌握整除的定义； 2探索、掌握、证明整除的基本性质； 3探索、概括、并证明能被一些特殊整数（3、9、11 ）整除的正整数的特征；
问题1.两个整数的加法、减法、乘法运算， 结果仍为整数，除法呢？
问题2.请你们给出以前学过的一个整数能除 尽另一个整数的例子？ 问题3.如何从乘法角度判断一个整数能除尽 另一个整数？
结论： (1)一个正整数的各位数字之和能被3整除，则 这个正整数能被3整除。 (2)一个正整数的各位数字之和能被9整除，那 么这个正整数能被9整除； (3)一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字 之和的差能被11整除，那么这个正整数能被11 整除；
1.1 整除的概念与基本性质
整除任意两个整数的和、差或积都是整数，但是两个整数做除法时所得的结果不一定是整数，因此，数论中的许多问题都是在研究整数之间的除法．1．1 整除的概念与基本性质定义1 对任给的两个整数a 、b （a ≠0），如果存在整数q ，使得b ＝aq ，那么称b 能被a 整除（或称a 能整除b ），记作a ｜b ．否则，称b 不能被a 整除，记作a b /∣． 如果a ｜b ，那么称a 为b 的因数，b 为a 的倍数．利用整除的定义，可以非常容易地推导出下面一些经常被用到的性质．性质1 如果a ｜b ，那么()a b -｜，反过来也成立；进一步，如果a ｜b ，那么()a b -｜，反过来也成立． 因此，我们经常只讨论正整数之间的整除关系．性质2 如果a ｜b ，b ｜c ，那么a ｜c ．这表明整除具有传递性．性质3 若a ｜b ，a ｜c ，则对任意整数x 、y ，都有a ｜bx ＋cy ．（即a 能整除b 、c 的任意一个“线性组合”）例1 若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x 、y ，使得ax ＋by ＝1，证明：ab ｜n ．证明：由条件，可设n ＝au ，n ＝bv ，u 、v 为整数．于是n ＝n （ax ＋by ）＝nax ＋nby＝abvx ＋abuy＝ab （vx ＋uy ）因此 ab ｜n ．说明 一般地，由a ｜n ，b ｜n ，并不能推出ab ｜n ，例如2｜6，6｜6，但126/∣．题中给出的条件实质上表明a 、b 的最大公因数（见1．3节）为1，即a 与b 互素，在此条件下可能推出ab ｜n ．例2 证明：无论在数12008的两个0之间添加多少个3，所得的数都是19的倍数．证明：记012008a ＝，31203308n n a 个＝…，n ＝1，2，…． 首先，因为 019632a ⨯＝，故19｜0a ．其次，设19｜n a ，则由1228n n a a +⨯－10＝＝1912，可知 19｜+1n a ．所以，对一切整数n ，数n a 都是19的倍数．说明 此题的处理过程中运用了递推的思想，其基本思路是将+1n a 表示为n a 与19的一个线性组合．例3 已知一个1000位正整数的任意连续10个数码形成的10位数是102的倍数．证明：该正整数为10002的倍数．证明：设该正整数121000x a a a ＝…， 其中i a 是十进位数码．由条件，可知991101000|2a a … ，990109992|a a …，因此 990991092|10a a ⨯…．记991999y a a ＝…，则有 1099010|10120a y ⨯＋，故 102|10y ．结合991101000|2a a …，可知 010100|102y a ＋，于是 010100|2a ，这要求 10000a ＝．类似地，朝前倒推，可得111000a a ＝…＝＝0，即 99911010x a a ⨯＝…．再结合条件110102|a a …，即可得10002|x ．说明 这里先证明111000a a ＝…＝＝0是非常关键的，在证明中利用991m a a …来过渡也是比较巧妙的．例4 设m 是一个大于2的正整数，证明：对任意正整数n ，都有1221m n －＋． 证明：如果存在正整数n ，使得|2121m n －＋，那么取其中最小的那个n ．由于m ＞2，知n ＞1，进一步，应有1221n m ＋≥－，知n m ≥，而n ＝m 时，将导致2|21m －（因为2＝（21n ＋）－（21m -）， 右边每一项都是21m -的倍数），矛盾，故n ＞m ． 现在，设21n ＋＝（21m -）q ，这里q 为正整数，则22n m ＋＝（21n ＋）＋（21m -）＝（21m -）（q ＋1）， 即 22121m n m m -（＋）＝（－）（q ＋1）． 于是 --212121211n m m n m m q +（＋）＋（－）（＋）＝（－）（），得21n m -＋＝（21m -）（2n m q -－ ），因此，|2211n m m -－＋，与n 的最小性矛盾． 所以，命题成立．说明 这里用到了两个结论：一个是“若a ｜b ，b ≠0，则｜a ｜≤｜b ｜”，它由整除的定义可直接证出．另一个是“任意多个正整数中必有最小元”，这是著名的“最小数原理”．。
第1章 整除
本书结构1.数论部分包括整除,同余,同余式,平方剩余,原根与指标,素性检验,连分数2.代数部分群,环,域3.椭圆曲线部分主要是有限域第一章整数的可除性本章主要介绍整数的可除性和因数分解等内容． 1.1 整除的概念,欧几里得除法1.2 整数的表示1.3 最大公因数与广义欧几里得除法1.4 整除的进一步性质及最小公倍数1.5 素数算术基本定理1.6素数定理1.1整除的概念,欧几里得除法 证明: ①由整除定义有:b=qa, c=pb 则c=pqa 即a|c②b=qa c=pa ,则b ±c=qa+pa=a(p+q)③因为a|b 且a|c, 故b=aq 1和c=aq 2. 于是,bm+cn=a(q 1m+q 2n), 所以, a|(bm+cn).⑤b=aq 对任意的c, 有bc=caq=acq1.1整除的概念,欧几里得除法⑥bc=acq有bc-acq=0 即c(b-aq)=0 又c≠0,则b-aq=0 因此a|b⑦a=bq b=ap则a=bq=apq从而a(1-pq)=0因为a,b≠0 ,因此pq=1 即p=q=±1,即a=±b1.1整除的概念,欧几里得除法定义1.2若整数a≠0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
由该定义可知，正整数集合可分三类:素数、合数和1.素数常用p或p1, p2…,来表示.整数2.3.5.7.11等都是素数,4.6.8.10都是合数1.1整除的概念,欧几里得除法1.1整除的概念,欧几里得除法1.1整除的概念,欧几里得除法1.1整除的概念,欧几里得除法1.2整数表示对于数的十进制表示，我们已经是很熟悉的了。
本章主要介绍实数的b 进制表示，以及一些基本知识定理1设b 是大于１的整数，则任何正整数a 都可以写成a = a kb k +a k −1b k −1+L +a 1b +a 0的形式，其中a k ≠0，a i （0 ≤i ≤k ）是在0与b −1之间唯一确定的整数。
1.整除的概念和性质
思考题： 由整除的概念，你能否推出下列整除的基
本性质？ (1)若a|b，b|a，则a=b或a=-b (2)若a|b，b|c，则a|c (3)若a|b，a|c，则对任意整数x，y恒有
a|bx+cy 解： （1）因为a|b，b|a，所以存在整数m，n 使得b=ma，a=nb，即b=ma=mnb， 又因为b≠0，所以mn=1， 即m=n=1或m=n=-1 所以a=b或a=-b
果存在整数q，使得a=bq，那么称b整除a，
或者a能被b整除，记作b|a，并且称b是a的
因数，a是b的倍数。如果这样的整数q不存
在，就称b不能整除a。
• 例如：6|-24，-4|56，8|0
注：
1b 0 0 b 0 21 a a 1 a 3a a a a 1(a 0)
整数的整除
• 我们知道，乘法与除法是互逆的两种运 算。要判断一个整数能否除尽另一个整数， 只需考察被除数能否写成除数和某个整数 的乘积。只有当被除数可以表示为除数和 某个整数的乘积时，除数恰好能除尽被除 数。此时，我们就说除数整除被除数，或 者说被除数能被除数整除。
整除的定义：
•
一般地，设a,b为整数，且b≠0，如
999d 99c 9b d c b a
3 999d 99c 9b,3 d c b a时，3 N
练习：
• 1．若五位数12a34是3的倍数，那么a是
探究：
2、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么 这个正整数能被9整除。 3、一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之 和的差能被11整除，那么这个正整数能被11整除。 4、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数 字之前的数字组成的数之差能被7（或11）整除， 那么这个正整数能被7（或11）整除。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
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请从如下所给的正整数中找出能被3整除的数： 5，6，17，18，21，43，54，81，85，96，98，108，121，243； 这些数有什么规律？并猜想能被3整除的正整数特征？
一、整除的概念
一般地：设 a,b 为整数，且 b ? 0 ，如果存在整数 q ，使得 a ? bq ，
那么称b 整除 a ，或者 a 能被 b整除，记作 b a ，并且称 b是 a的因数， a 是 b 的倍数。如果这样的整数 q 不存在，就称 b 不整除 a ，记作 例如，6 24，-4 56,8 0 能除尽 a 的整数是 a 的因数，例如能除尽6的整数为1，-1，2，-2，3， -3，6，-6。
整除的概念和性质 二、整除的性质
1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy
三、整除问题的应用举例 例：判断710316能否被3，7，9，11整除？
整除的概念和性质
习题：判断下列整数中哪些能分别被3，7，9，11整除？ 45，98，120，189，1001，1331，56382
运算公式：
被除数÷除数=商
如：6 ? 3=2
商?除数=被除数 如：2 ? 3=6
被除数÷除数=商……余数
整数c能被整数b整除， c叫作b的倍数， b就叫做c的因数或约数。
整除的概念和性质
如何从乘法角度判断一个整数能除尽另一个整数？
当被除数可以表示为除数和某个整数的乘积时，除数恰好能除尽被除数。 此时，我们说除数整除被除数，或者说被除数被除数整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。
特征5：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除， 那么这个正整数能被11整除。
特征6：一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之前的数字组成的 数之差能被7（或11）整除，那么这个正整数能被7（或11）整除。
整除的概念和性质
高中数学人教A版选修4-6 初等数论初步
授课教师：合肥六中 吴华
整除的概念和性质 如何从乘法角度判断一个整数能除尽另一个整数？
数，求另一个因数的运算，叫做除法。
若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作 c÷b，读作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算 的结果a叫做商。
猜想：若一个整数的各位数字和能被 3整除，则这个整数能被3整除。
整除的概念和性质
三、整除特征 特征1：任何整数都能被 1整除；0能被任何非零整数整除。 特征2：若一个整数的末位数是 0，2，4，6，8，则这个整数能被 2整除。 特征3：若一个整数的各位数字和能被 3整除，则这个整数能被3整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征： 特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。 特征5：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除， 那么这个正整数能被11整除。
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy
整除的概念和性质
三、整除特征 特征1：任何整数都能被 1整除；0能被任何非零整数整除。 特征2：若一个整数的末位数是 0，2，4，6，8，则这个整数能被 2整除。