1整除的概念和性质
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猜想：若一个整数的各位数字和能被 3整除，则这个整数能被3整除。
整除的概念和性质
三、整除特征 特征1：任何整数都能被 1整除；0能被任何非零整数整除。 特征2：若一个整数的末位数是 0，2，4，6，8，则这个整数能被 2整除。 特征3：若一个整数的各位数字和能被 3整除，则这个整数能被3整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
运算公式：
被除数÷除数=商
如：6 ? 3=2
商?除数=被除数 如：2 ? 3=6
被除数÷除数=商……余数
整数c能被整数b整除， c叫作b的倍数， b就叫做c的因数或约数。
整除的概念和性质
如何从乘法角度判断一个整数能除尽另一个整数？
当被除数可以表示为除数和某个整数的乘积时，除数恰好能除尽被除数。 此时，我们说除数整除被除数，或者说被除数被除数整除。
整除的概念和性质
高中数学人教A版选修4-6 初等数论初步
授课教师：合肥六中 吴华
整除的概念和性质 如何从乘法角度判断一个整数能除尽另一个整数？
整除的概念和性质
回顾
已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作 c÷b，读作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算 的结果a叫做商。
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy
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三、整除特征 特征1：任何整数都能被 1整除；0能被任何非零整数整除。 特征2：若一个整数的末位数是 0，2，4，6，8，则这个整数能被 2整除。
三、整除问题的应用举例 例：判断710316能否被3，7，9，11整除？
整除的概念和性质
习题：判断下列整数中哪些能分别被3，7，9，11整除？ 45，98，120，189，1001，1331，56382
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。
特征5：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除， 那么这个正整数能被11整除。
特征6：一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之前的数字组成的 数之差能被7（或11）整除，那么这个正整数能被7（或11）整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征： 特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。 特征5：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除， 那么这个正整数能被11整除。
请从如下所给的正整数中找出能被3整除的数： 5，6，17，18，21，43，54，81，85，96，98，108，121，243； 这些数有什么规律？并猜想能被3整除的正整数特征？
请从如下所给的正整数中找出能被3整除的数： 5，6，17，18，21，43，54，81，85，96，98，108，121，243； 这些数有什么规律？并猜想能被3整除的正整数特征？
一、整除的概念
一般地：设 a,b 为整数，且 b ? 0 ，如果存在整数 q ，使得 a ? bq ，
那么称b 整除 a ，或者 a 能被 b整除，记作 b a ，并且称 b是 a的因数， a 是 b 的倍数。如果这样的整数 q 不存在，就称 b 不整除 a ，记作 例如，6 24，-4 56,8 0 能除尽 a 的整数是 a 的因数，例如能除尽6的整数为1，-1，2，-2，3， -3，6，-6。
整除的概念和性质 二、整除的性质
1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy
整除的概念和性质
三、整除特征 特征1：任何整数都能被 1整除；0能被任何非零整数整除。 特征2：若一个整数的末位数是 0，2，4，6，8，则这个整数能被 2整除。 特征3：若一个整数的各位数字和能被 3整除，则这个整数能被3整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
运算公式：
被除数÷除数=商
如：6 ? 3=2
商?除数=被除数 如：2 ? 3=6
被除数÷除数=商……余数
整数c能被整数b整除， c叫作b的倍数， b就叫做c的因数或约数。
整除的概念和性质
如何从乘法角度判断一个整数能除尽另一个整数？
当被除数可以表示为除数和某个整数的乘积时，除数恰好能除尽被除数。 此时，我们说除数整除被除数，或者说被除数被除数整除。
整除的概念和性质
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整除的概念和性质 如何从乘法角度判断一个整数能除尽另一个整数？
整除的概念和性质
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已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作 c÷b，读作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算 的结果a叫做商。
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy
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三、整除特征 特征1：任何整数都能被 1整除；0能被任何非零整数整除。 特征2：若一个整数的末位数是 0，2，4，6，8，则这个整数能被 2整除。
三、整除问题的应用举例 例：判断710316能否被3，7，9，11整除？
整除的概念和性质
习题：判断下列整数中哪些能分别被3，7，9，11整除？ 45，98，120，189，1001，1331，56382
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。
特征5：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除， 那么这个正整数能被11整除。
特征6：一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之前的数字组成的 数之差能被7（或11）整除，那么这个正整数能被7（或11）整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征： 特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。
请用类似的方法证明能被9，11，7整除的正整数的特征：
特征4：一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正整数能被9整除。 特征5：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除， 那么这个正整数能被11整除。
请从如下所给的正整数中找出能被3整除的数： 5，6，17，18，21，43，54，81，85，96，98，108，121，243； 这些数有什么规律？并猜想能被3整除的正整数特征？
请从如下所给的正整数中找出能被3整除的数： 5，6，17，18，21，43，54，81，85，96，98，108，121，243； 这些数有什么规律？并猜想能被3整除的正整数特征？
一、整除的概念
一般地：设 a,b 为整数，且 b ? 0 ，如果存在整数 q ，使得 a ? bq ，
那么称b 整除 a ，或者 a 能被 b整除，记作 b a ，并且称 b是 a的因数， a 是 b 的倍数。如果这样的整数 q 不存在，就称 b 不整除 a ，记作 例如，6 24，-4 56,8 0 能除尽 a 的整数是 a 的因数，例如能除尽6的整数为1，-1，2，-2，3， -3，6，-6。
整除的概念和性质 二、整除的性质
1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy