(江苏专用)2021高考数学二轮复习 课时达标训练(二十) 函数与导数的综合问题
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课时达标训练(二十) 函数与导数的综合问题
A 组——大题保分练
1．(2020-2021·南通等七市二模)已知函数f (x )＝2ln x ＋12x 2
－ax ，a ∈R .
(1)当a ＝3时，求函数f (x )的极值．
(2)设函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的增函数，求x 0的值．
(3)是否存在一条直线与函数f (x )的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝2ln x ＋12x 2
－3x (x >0)，
f ′(x )＝2x ＋x －3＝x 2
－3x ＋2
x
，
令f ′(x )＝0得，x ＝1或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示，
所以函数f (x )的极大值为f (1)＝－5
2，极小值为f (2)＝2ln 2－4.
(2)依题意，知切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)(x 0>0)， 从而g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)(x 0>0)， 记p (x )＝f (x )－g (x )，
则p (x )＝f (x )－f (x 0)－f ′(x 0)(x －x 0)在(0，＋∞)上为增函数， 所以p ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)≥0在 (0，＋∞)上恒成立， 即p ′(x )＝2x －2
x 0＋x －x 0≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x ＋2x
≥x 0＋2
x 0
在(0，＋∞)上恒成立，
因为x ＋2
x
≥2
x ·2
x ＝22(当且仅当x ＝2时，等号成立)， 所以22≥x 0＋2x 0
，从而(x 0－2)2
≤0，所以x 0＝ 2.
(3)假设存在一条直线与函数f (x )的图象有两个不同的切点T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)， 不妨设0 －x 1)， 在点T 2处的切线l 2的方程为y －f (x 2)＝f ′(x 2)(x －x 2)．因为l 1，l 2为同一条直线，所以f ′(x 1)＝f ′(x 2)，f (x 1)－x 1f ′(x 1)＝f (x 2)－x 2f ′(x 2)， 即2x 1＋x 1－a ＝2 x 2 ＋x 2－a ， 2ln x 1＋12x 21－ax 1－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 1－a ＝2ln x 2＋12x 22－ax 2－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋x 2－a ， 整理，得2ln x 21 2＋2 x 21－x 21 2 ＝0.① 令t ＝x 21 2 ，由0 记p (t )＝2ln t ＋1t －t ，则p ′(t )＝2t －1t 2－1＝－（t －1） 2 t 2 <0， 所以p (t )在(0，1)上为减函数，所以p (t )>p (1)＝0. 从而①式不可能成立，所以假设不成立，即不存在一条直线与函数f (x )的图象相切于两个不同的点． 2．(2020-2021·苏北三市期末)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )． (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值； (3)若函数f (x )存在两个极值点(极值点是函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )， 所以当a ＝1时，f (x )＝(x －1)ln x ， 则f ′(x )＝ln x ＋1－1x ， 当x ＝1时，f (1)＝0，f ′(1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝0. (2)因为对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立， 所以当ln x ＝0，即x ＝1时，f (x )＝0，a ∈R ； 当ln x >0，即x >1时，x ≥a 恒成立，所以a ≤1； 当ln x <0时，即0 (3)因为函数f (x )存在两个极值点， 所以f ′(x )＝ln x －a x ＋1存在两个不相等的零点． 设g (x )＝ln x － a x ＋1，则g ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2. 当a ≥0时，g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，至多一个零点，不合题意． 当a <0时，因为x ∈(0，－a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， x ∈(－a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g (－a )＝ln( －a )＋2. 因为g (x )存在两个不相等的零点， 所以ln(－a )＋2<0，解得－e －2 >e 2 >－a . 因为g ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－1a ＝ln ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－1a ＋a 2 ＋1>0， 所以g (x )在(－a ，＋∞)上存在一个零点． 因为－e －2