高数B下册复习提纲

, 则 R 1 ;
收敛域的求法：只含奇数或偶数项、关于(x-x0)的幂级数
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论 x R
处的敛散性 .
通过换元转化为标准形式
• 非标准形式幂级数
直接用比值法
幂级数和函数的求法 • 求部分和式极限
• 利用性质法（在收敛区间内）
an xn
n0
难
逐项求导或求积分
2.二元函数的偏导数与全微分
z x
,
f x
,
zx , fx (x, y) ,
f1(x, y)
f x (x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
(x0 ,
y0 )
分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
全微分: d z f x (x, y)dx f y (x, y)dy
重要关系: 多元函数连续
0,当不是特征根(q 0) 特解y* xkQm (x)ex , k 1,当是特征单根(q 0, p 0)
2,当是特征根(q 0, p 0) 然后用待定系数法，代入原方程求解 Qm (x)的系数
II型自由项
f (x) ex Pl (x) cosx Pn (x) sin x
特解y*
f xy (x0 , y0 ) A
f yy (x0 , y0 )
step3 判断驻点是否为极值点
H 0,有极值（A 0,极大值；A 0,极小值）
H 0,无极值
H 0,无法判断，定理失效！
（2）条件极值
拉格朗日乘数法：
求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值。
yt2 2 yt1 yt 3t 是一个二阶差分方程，
3. 差分方程的解
对于一阶常系数齐次线性差分方程
,
yt Cat (C 为任意常数) 是齐次方程的通解.
例求
2 yt1 yt
0 的通解.
yt
C(
1 2
)t
,
第六章 多元函数微分学及其应用
1.二元函数的定义域、极限与连续
•判断极限不存在及求极限的方法 •适当放缩、变量替换转化为一元函数的极限 •连续的概念
step3 求出符合实际问题的最值点及最值
6.二重积分的计算
直角坐标系情形 :
f (x, y) d b d x y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
f (x, y) d d d y x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
极坐标系情形:
D f (x, y) d D f (r cos , r sin )rd r d
D
z1 ( x, y)
方法2 . 截面法 (“先二后一”)
f (x, y, z) d v c2 d z f (x, y, z) d x d y
c1
Dz
柱坐标系：实质是将xoy面上的点用极坐标表示
f (x, y, z)dxdydz F (, , z) d d dz
d 2 ( ) d F z2 ( cos , sin ) , , z d z
x ( , )
1 1
x
1
x
x2
x3
xn
,1
x
1
lim
n
un
0.
正项级数的判别法：
比较审敛法 比值审敛法
交错级数的判别法： 莱布尼兹判别法
任意项级数的判别法： 绝对收敛与条件收敛的概念
特殊级数收敛性：等比级数、调和级数、p-级数
2.幂级数的收敛域与和函数
幂级数收敛域的性质：阿贝尔定理
幂级数收敛半径的求法：
an
n0
x
n的系数满足
lim
n
an1 an
高等数学B（下） 总复习
第五章 微分方程与差分方程
齐次
y
f
(x,
y)
(
y) x
令
y x
u
,得
dy dx
x
du dx
u
分离变量:
(u)dx
xdu
udx
(u)
udx
xdu
dx x
du
(u)
u
两边积分 :
dx x
du ，得u通解；最后回代，得y通解
(u) u
一阶
可分离变量
y' f (x)g(y)
二阶线性微分方程 yP(x)yQ(x)y 0 y P(x)y Q(x)y f (x)
二
y(n) f (x)型:连续积分n次
阶
变 y'' f (x, y' ),令y' p(x) 一阶
系
数 y'' f ( y, y' ),令y' p( y)
y pyqy 0 齐次
解的结构
二
阶 1.r1 r2
多元函数可导
3.多元函数的复合求导（链式法则）
(1) 分析复合结构 (画变量关系图)
(2) 正确使用求导法则 正确使用求导符号
z f (u, v) , u (x, y), v (x, y)
z
z x
z u
u x
z v
v x
f11
f 2 1
uv x yx y
4.隐函数求导法则
F(x, y)
0
step1 构造拉格朗日函数：
L( x, y ) f ( x, y ) (x, y )
syep2 联解方程组，求出问题的所有可能的极值点。
Lx ( x, y, ) Ly(x, y,)
fx(x, y) x(x, y) 0 fy(x, y) y(x, y) 0
L ( x, y, ) ( x , y ) 0
S(x)
对和式积分或求导
an xn
n0
求和
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和式极限 求和 间接求和: 逐项积分或逐项求导
2.幂级数展开（间接展开）
ex
1
x
1 2!
x
2
1 3!
x3
1 n!
x
n
,
x (,)
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n 1)!
x 2n 1
xk
R (1) m
(
x)
cosx
R (2) m
(
x)
sin
x
ex , k
1， i为特征根
Fra Baidu bibliotek
0，
i非征根
Rm(1) (x), Rm(2) (x)为x的待定多项式，m maxl, n
差分方程 1. 差分的定义 函数 yt f (t ), t 0, 1, 2, , n, . yt 一阶差分: yt yt1 yt f (t 1) f (t )
y c1er1x c2er2x
常 系 数
2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cos x c2 sin x)
y py qy f (x) 非齐次 y c1 y1 c2 y2 y *
非齐次常系数 y pyqy f (x)
f (x) Pm (x)ex I型自由项
分离变量 1 g( y)
dy
f
(x)dx，两边积分
1 g( y)
dy
f
(x)dx,
得通解 G ( y) F ( x) C
y p(x) y 0 齐次 通解：y Ce P(x)dx
一阶线性
y p(x) y Q(x) 非齐次
先求齐次通解，再常数 变易. 得通解：y eP(x)dx[ Q(x)eP(x)dxdxC]
d 2 ( ) f (r cos , r sin ) rd r
1 ( )
选择合适的积分顺序：必要时交换积分顺序
利用区域的对称性与被积函数的奇偶性。
7.三重积分的计算
直角坐标系：
方法1 . 投影法 (“先一后二”)
f (x, y, z) d v dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
二阶差分： 2 yt (yt ) ( yt1 yt )
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
2. 差分方程 F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0, (1) G( x, yt , yt , , n yt ) 0. (2)
差分方程(1)中含有未知函数下标的最大值与最小 值之差数称为差分方程的阶.
1 ( )
z1 ( cos , sin )
第七章 无穷级数
un (x)
n0
un (x)
n0
求和 S(x) (在收敛域内进行) 展开 当 x x0 时为数项级数;
当un (x) an xn 时为幂级数;
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
1.常数项级数的性质及审敛法
设收敛级数 S un n1
y
f
(x)
dy dx
Fx Fy
F(x, y, z) 0
z
f (x, y)
z x
Fx Fz
,
z y
Fy Fz
注意：别忘记负号！
5.多元函数的极值及其求法
（1）无条件极值
step1 求出函数的驻点，即函数取得极值的可能点 (x0 , y0 )
step2 求出行列式的值
H
A B
B C
,
A
f xx (x0 , y0 ), B