第2章 基本原理和

基本内容



2.1 亥姆霍兹定理 2.2 唯一性定理 2.3 镜像定理 *#2.4 等效定理 2.5 感应原理 2.6 巴比涅原理 #2.7 互易定理 2.8 线性系统的算子方程
2.1 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理是矢量场的一个十分重要的定理，它给出了矢量场和它的两种源－散度源 与旋度源的关系。 亥姆霍兹定理指出， 由闭合面 S 包围的体积 V 中任一点 r 处的矢量场 F (r ) 可分为用一标量 函数的梯度表示的无旋场和用另一矢量函数的旋度表示的无散场两部分，即 F (r ) (r ) A(r ) (2-1)
t t 1 2 1 2 2 H E d V E dV dt E H dS (2-10) dt 0 0 2 2 V V S 上式右边第一项的被积函数总是大于等于零，因此，其积分结果也总是大于等于零的数，所以，可得 t 1 2 1 2 H E d V E H e dS (2-11) dt n 0 2 2 V S 考虑矢量恒等式 ( A B ) C A ( B C ) B (C A) ，上式右边的被积函数为 ( E H ) en E ( H en ) H ( e n E ) 在给定的边界条件下上式等于零，因此式（2－11）的右边等于零，所以式（2－11）变为 1 2 1 2 (2-12) H E dV 0 2 2 V 由于上式的被积函数总为正值，因此，要使上式成立，必有 E 0,H 0 ，即 E1 = E 2 ， H 1 = H 2 。这就是说，满
1 4 ( R ) 代入上式，并交换积分与微分运算次序得 R F (r ) F (r ) F (r ) F (r ) 2 dV dV dV 4 R 4 R 4 R V V V
(2-4)
F (r ) (r ) A(r )
(2-2a)
(r )
V

S
F (r ) dS 4 r - r
(2-2b)
上式中闭合面 S 的法线的正方向指向闭合面外。
证明: 利用 函数的性质，将矢量场 F (r ) 写成 F (r ) F (r ) (r r ) dV
V
(2-3)
将 R r r 及 2
理想导体面
图2-1与图2-2


由边界条件,在理想导电面上电场强度的切向分量和磁 感应强度的法向分量为零。如果在理想导电面另一边, 电流元的镜像位置处水平放置方向相反的电流元,去掉 理想导电面后, 容易证明在原理想导体的边界位置上, 仍满足电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量 为零,如图2-1(b)。 以上两种情况在理想导电面的边界位置以上区域,源与 边界条件均相同, 根据唯一性定理, 在理想导电面的边 界位置以上区域的电磁场也是相同的。也就是说,镜像 位置水平放置方向相反的电流元在边界以上产生的电 磁场与无限大理想导电体边界的影响是相同的。或者 说,可以利用镜像电流元代替无限大理想导电平面上的 感应电流.
而式中的标量函数和矢量函数分别与体积 V 中矢量场的散度源和旋度源， 以及闭合面 S 上矢量 场的法向分量和切向分量有关，即
(r )
V
F (r ) F (r ) dS dV 4 r - r 4 r - r S F (r ) dV 4 r - r
利用了 A A 2 A 。将上式右边第一项中的求散度与积分交换次序，得 F (r ) 1 F (r ) dV dV 4 R R V V 4 1 1 F (r ) F (r ) 1 F (r ) 1 利用 及 F (r ) F (r ) 和高斯定理，上式重写为 R R R R R R R F (r ) F (r ) F (r ) dS dV dV (2-5) V A dV S A dS 4 R 4 R 4 R V V S 将式（2－4）右边第二项中的求旋度与积分交换次序，得 F (r ) 1 F (r ) dV dV 4 R R V V 4 1 1 F (r ) F (r ) 1 F (r ) 1 利用 及 F (r ) F (r ) 和矢 量 斯托 克斯 定 R R R R R R R 理，上式重写为 F (r ) F (r ) F (r ) dS A dV A dS S (2-6) V dV dV 4 R 4 R 4 R V V S 将式（2－5）和式（2－6）代入式（2－4） ，就得到式（2－1）和式（2－2） 。




容易证明,在电流元垂直放置的情况下,也可利用镜像电流 元代替无限大理想导电平面,但是电流元与其镜像方向相 同,如图2-2所示. 以电流元的镜像为基础,对于无限大理想导电平面上的各 种电流分布均可以用其镜像电流代替无限大理想导体平面. 如图2-3所示. 对于无限大理想导体平面上的磁流元,容易证明,水平磁 流元与其镜像方向一致,而垂直磁流元与其镜像方向相反. 如图2-4所示为无限大理想导电平面任意取向的电流元的 镜像. 以电流元和磁流元的镜像为基础,镜像原理不仅可用于理 想导电(PEC)平面上各种源分布,也可用于无限大理想导磁 (PMC)平面上的各种源分布.但必须注意,时变场的镜像原 理只有对理想导电面或理想导磁面才是严格正确的。
足初始条件和边界条件的有界区域中麦克斯韦方程的解是唯一的。
2.3镜像原理


镜象原理是根据唯一性定理求解某些具有理 想导体边界的电磁边值问题的一种方法。 一些电磁场问题可以近似为无限大的理想导 电平面上源分布已知的边值问题。最简单的情 况就是无限大的理想导电平面上有一水平电流 元的情况，如图2-1(a) 所示.
例:在无限大的理想导体平面上方附近平行放置一小电流环 ,电流为 I , 小环面积为 S ,距离理 想导电面高度为 h,求远区辐射电场. 解:小电流环可以等效为磁偶及子,也就是磁流元.对于电流 I,环面积 S 位于坐标原点的小电流 环,其远区磁场为 IS IS H 2 sin e jkr E Z 2 sin e jkr r r 式中为 Z 波阻抗, 为波长.位于坐标原点的电流元的辐射场为 Il Il E jZ sin e jkr H j sin e jkr 2 r 2 r 根据对偶原理,对上式电流元的辐射场做变换 Il I ml E H , H E , , ,就得到 磁流元的辐射场 I m l 的辐射场 H I ml j sin e jkr Z 2 r I ml E j sin e jkr 2 r
第1章 电磁理论基本方程



*1.1 麦克斯韦方程 1.2 物质的电磁特性 *1.3 边界条件和辐射条件 1.4 波动方程 *1.5 辅助位函数及其方程 #1.6 赫兹矢量 1.7 电磁能量和能流 注： “*”表示重点，“#”表示难点

第2章基本原理和定理
介绍电磁理论中的几个重要的原理和定 理。 分析和计算电磁场问题时利用这些重要 的原理和定理可提供一些简便并且有效 的方法。
取以上近似后,理想导体上方的小电流环的辐射电场为 I ml sin sin kh cos jkr1 2 ZIS sin sin kh cos jkr1 E e j e r 2r
利用反证法，考虑被封闭面 S 包围的空间区域 V ，设满足麦克斯韦方程，初始条件和边界条件的电磁场解不 唯一，那么，至少有两组解，记为 E1 , H 1 和 E 2 , H 2 。设差场 E, H 为 E E1 E 2 H H1 H2 (2-7b) 那么，在 t 0 时，空间区域 V 中差场 E 0, H 0 ,在 t 0 时区域 的边界上差场 E 的切向分量或 H 的切向分量为 零，并且，差场 E, H 满足麦克斯韦方程 E H B 0 D 0 (2-8) H E E t t 应用矢量恒等式 (E H ) H E E H 将式（2－8）代入上式，并对等式两边在区域 V 中进行体积分，利用高斯定理，将等式左边的体积分化为面积分 得 1 1 E H dS = E 2 dV H 2 E 2 dV (2-9) t 2 2 S V V 上式两边在时间 t =0 至 t (t 0) 内积分，考虑差场的初始值为零，得
因此,理想导电平面上方的磁流元和镜像磁流元的辐射电场为 E j I ml sin 1 jkr1 I ml sin 2 jkr2 e j e 2 r1 2 r2
对于远区,可取一下近似
1 2
r1 r h cos r2 r h cos 1 1 1 r1 r2 r
将磁流元的辐射场与小电环的辐射场相比较,就可得到电流为 I,环面积为 S 的小电流环对应的 磁流元 I ml 为 I ml j 2

ZIS
这样,求无限大的理想导电平面上方小电流环的辐射电场问题就成为无限大的理想导电平面上 磁流元的辐射电场问题,如图 2-5( a) 所示.根据镜像定理,在无限大的理想导电平面上方区域的 辐射电场等于磁流元的辐射电场与其镜像磁流元的辐射电场之和,如图 2-5(b)所示.
那么，在什么条件下和什么范围内有限区域中电磁场的解才是 唯一的呢？ 唯一性定理指出：有界区域 V 内，如果 t 0 时电场和磁场的初 始值处处已知，并且在 t 0 时区域 的边界上电场的切向分量或磁 场的切向分量也是已知的，那么，在 t 0 时，区域 V 中的电磁场就 由麦克斯韦方程唯一地确定了。 下面证明电磁场的唯一性定理。