几个著名的不等式

6几个著名的不等式

在不等式的证明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。 1 基本原理

先介绍排序不等式，设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 是两组实数，且

n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，

我们将n n b a b a b a +++ 2211称为这两组实数的顺序积和，将1121b a b a b a n n n +++- 称为这两组实数的倒序积和，设n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，则称

n i n i i b a b a b a +++ 2121为这两组实数的乱序积和。

对于这3类积和我们有如下结论：

定理1（排序不等式）设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，

n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列，则有

1121b a b a b a n n n +++- n i n i i b a b a b a +++≤ 2121 n n b a b a b a +++≤ 2211，

等号全成立的充要条件是n a a a === 21或n b b b === 21.

证 我们先用数学归纳法证明.

n i n i i b a b a b a +++ 2121n n b a b a b a +++≤ 2211 （1）

当2=n 时，因为

)(12212211b a b a b a b a +-+

0))((1212≥--=b b a a ，

所以 2=n 时，（1）式成立。

假设对于k n =时（1）式成立，即

k i k i i b a b a b a +++ 2121k k b a b a b a +++≤ 2211，

其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列，那么对于1+=k n ，设121,,,+k i i i 是1,2，

1,+k 的一个全排列，则当11+=+k i k 时，由归纳假设知，

121121++++++k k i k i k i i b a b a b a b a

=112121++++++k k i k i i b a b a b a b a k

112211++++++≤k k k k b a b a b a b a ， 所以（1）式成立

当11+≠+k i k 时，必存在j i ，1j k ≤≤，使得1j i k =+，则 11111111++-++-++++++k j j j i k i j i j i j i b a b a b a b a b a

)()(11111111++-++-+++++++=k j k j j i k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a 1

11111111()()j j k k i j i j i k i j k k i a b a b a b a b a b a b -++-+++=+++++++

)()(111111111+++-+++++++≤++-k k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a k k j j

11111)(1111+++-+++++++=++-k k i k i j i j i j i b a b a b a b a b a b a k j k j 112211)(++++++≤k k k k b a b a b a b a 1111+++++=k k k k b a b a b a ， 即1+=k n 时（1）式成立。

由归纳法原理知对于2≥n ，（1）式成立.

再证 1121b a b a b a n n n +++- n i n i i b a b a b a +++≤ 2121.

事实上，因为11b b b n n -≤≤-≤-- ，由（1）知，对于1,2，n ， 的一个排列

n i i i ,,,21 ，有

)()()(2121n i n i i b a b a b a -++-+- )()()(1121b a b a b a n n n -++-+-≤- ，

∴ n i n i i b a b a b a +++ 21211121b a b a b a n n n +++≥- .

再证等号成立的条件，充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立，即在

n n b a b a b a +++ 2211 =1121b a b a b a n n n +++- （2）

的条件下，n a a a ,,,21 不全相等，n b b b ,,,21 也不全相等，则存在i ，}1,,2,1{-∈n k ，使得

1+

11++≤+ ， 所以 n n k k i i b a b a b a b a ++++++++ 1111 >n n i k k i b a b a b a b a ++++++++ 1111 1121b a b a b a n n n +++≥- (3)

(3)与（2）矛盾.

排序不等式表明对于两组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。

推论1 若对于n i ,,2,1 = ，有0>i x ，则n x x x x x x n ≥+++1

32

21 ， 等号成立的条件是n x x x === 21 .

证 由对称性，不妨设n x x x ≤≤≤ 21 ，则

n

x x x 11121≥≥≥ .有排序不等式，有

1

32

21x x x x x x n +++ 11

112211=⋅++⋅+⋅

≥n

n x x x x x x . 等号成立的条件是n x x x === 21或

n

x x x 1

1121=== ，即n x x x === 21 . 推论2 若对于n i ,,2,1 = ，0>i a ，且121=n a a a ，则n a a a n ≥+++ 21 .等号成立的充要条件是121====n a a a . 证 令,,,,11322211n n n x x a x x

a x x a --=== 则1

x x a n n =，这里n x x x ,,,21 均为正实数，由推论1知，

n a a a ++21 =

n x x x x x x n ≥+++1

3221 . 等号成立的充要条件是n x x x === 21，即121====n a a a .