平行与垂直的综合问题

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空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

平行、垂直综合问题

因为平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,所以GK⊥平面ABCD. 又EF⊂平面ABCD,所以GK⊥EF, 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB= 1 DB= 1 OB,即K是OB的中点.
4
2
再由PO∥GK得GK= 1 PO,
2
【解析】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB,AC为平面ABC内的两条相交直线,
所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又由已知, AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内的两条相交直线, 所以BC⊥平面ACC1A1.
由EM= 1 PE=ED,知E是MD的中点.
2
连接BM,BD,OE,设BD∩AC=O,则O为BD的中点,
所以BM∥OE.② 由①、②知,平面BFM∥平面AEC. 因为BF在平面BFM内,所以BF∥平面AEC.
考点三折叠问题中的平行与垂直关系【典例】如图,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G, 将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中 BC= 2 . 世纪金榜导学号
又由AE=CF,得 AE CF ，故AC∥EF.
AD CD
由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,
又AC∥EF,所以AC⊥HD′.
(2)由AC∥EF,得 OH AE 1 .
DO AD 4
由AB=5,AC=6,得DO=BO= AB2 AO2 =4. 所以OH=1,D′H=DH=3.
于是OD′2+OH2=(2 2 )2+1=9=D′H2, 故OD′⊥OH.

初一数学下册平行线与垂直线的综合练习

初一数学下册平行线与垂直线的综合练习在初一数学下册的学习中，我们学习了平行线与垂直线的概念和判定方法。

这是几何学中的基础知识，对于我们理解形状、图形的性质以及解题能力都至关重要。

为了加深对平行线与垂直线的理解和运用，下面将进行一些综合练习。

练习一：判断线段是否平行或垂直1. 已知AB与CD分别是两条平行线，AE是直线，且AE与AB、CD交点分别为F和G。

若AF=3cm，FG=2cm，求GB的长度。

解析：由于AB与CD是平行线，所以根据平行线的性质，我们可以得知AF与GB也是平行线。

根据等角原理，可知△AFE与△BFG全等，所以可以根据△AFE与△BFG的对应边的比例，通过平行线性质解题。

2. 若在直角三角形ABC中，角C为90度，且AC平分BD垂直于AC，证明AB与CD平行。

解析：首先，根据题意可知AC与BD垂直，且AC平分BD，则根据垂直线判定定理可知AB与CD平行。

练习二：应用平行线与垂直线的性质求解1. 一张矩形纸片的长是5cm，宽是4cm，纸片上有一点P，分别连接该点与矩形的4个顶点得到4个三角形。

问这4个三角形中，有哪几个是等腰三角形？解析：我们可以通过连接P与各个点，观察它们是否满足等腰三角形的性质，也就是判断它们的边长是否相等。

其中，我们可以发现与矩形的长边和宽边平行的两条直线，即与长度为5cm和4cm的边平行的两条线段是相等的，所以与之相连接的两个三角形（即以对角顶点为顶点的两个三角形）是等腰三角形。

练习三：应用平行线与垂直线的判定方法1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，AB与CD平行且AB=CD=5cm，BC=√34cm，求AD的长度。

解析：根据题意，可以发现这是一个平行四边形，所以我们可以利用平行四边形的性质来解题。

由于AB与CD平行，可以知道∠ADC=∠ABC=90度，又因为AB=CD，所以△ADC与△ABC为直角等腰三角形，由于BC=√34cm，所以AD=BC=√34cm。

高一数学(人教B版)-空间中的平行和垂直的综合应用(一)

先证：MN∥B1C
同类练习1：直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90, AB BC BB1, M为 A1B1 的中点，N是 A1C 与 AC1 的交点. (2) 求证：MN 平面ABC1
先证：B1C 平面ABC1
证明：
（1) 连接 B1C，因为M，N分别为 A1B1 , A1C 的中点
(1) PA∥平面BDE
先证：OE∥AP
【典型例题】
例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心，PO 底面ABCD， E是PC的中点，求证：
(2) 平面PAC 平面BDE
先证：BD 平面ACP
证明：（1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点
又 E是PC的中点, OE是 ACP 的中位线， OE∥AP ,又 OE 平面BDE ，PA 平面BDE PA∥平面BDE
MN 平面PCD
(3) 若
求证：
同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所
在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点
MN∥平面PAD
(1)面求面证平行：线面平行
平行四边形中位线
线线平行线线平行
线面平行线面平行
证明：（1）取CD的中点R，连接MR，NR 因为R，N分别是CD，PC的中点所以 NR∥PD ，又可证 MR∥AD 因为NR与MR相交可证平面MNR∥平面PAD
思路三：通过构造面面平行，生成线线平行关系
（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ，点F是PD的中点，
QF∥CP.
点Q是CD的中点，
点E是AB的中点， AE＝12 AB ，
CQ＝
1 2
CD,
在平行四边形ABCD中，
AB∥ CD, AB=CD, CQ∥AE,CQ=AE ,

平行线与垂直线的性质综合练习题

平行线与垂直线的性质综合练习题在几何学中，平行线和垂直线是两种重要的线性关系。

它们有着独特的性质和特征，对于解决几何问题和证明定理起着关键作用。

本文将通过综合练习题的形式，深入探讨平行线和垂直线的性质，以加深我们对这些概念的理解。

1. 练习题一：已知直线l1与直线l2平行，直线l3与直线l4平行，求证直线l1与直线l3平行。

解答：根据平行线的性质，平行线的任意两条线与第三条线平行。

因此，l1与l3平行。

2. 练习题二：已知直线m与直线n相交，角AODB和角BOEC是平行线，求证角AOC和角BOD是平行线。

解答：考虑利用垂直线的性质进行证明。

设直线l与直线m相交于点O，则根据指定角的定义，角AODB和角BODE是90度的垂直角。

由于垂直角的性质，角AOC和角BOD也分别为垂直角，即角AOC和角BOD平行。

3. 练习题三：已知直线p与直线q相交于点O，直线l与直线q平行，角AOC和角AEB是直角，求证直线l与直线p平行。

解答：根据垂直线的性质，直线p和直线l分别与直线q垂直，则直线p 和直线l平行。

4. 练习题四：已知直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，角AOC和角BOC是垂直角，求证直线a与直线c平行。

解答：根据垂直角的性质，角AOC和角BOC为直角，即直线a与直线b 垂直。

同时，直线b与直线c平行，根据平行线的性质可得出直线a与直线c平行。

通过上述练习题的解答，我们可以总结出平行线与垂直线的性质：1. 平行线的性质：- 平行线的任意两条线与第三条线平行；- 平行线之间不存在交点；- 平行线的对应角相等；- 平行线的同旁内角互补，同旁外角互补。

2. 垂直线的性质：- 垂直线上的任意两条线段互相垂直；- 垂直线与水平线相交成直角；- 垂直线的对应角相等；- 垂直线的同旁内角互补，同旁外角互补。

通过练习题，我们巩固了对平行线与垂直线性质的理解，并学会了灵活运用这些性质进行证明和解决几何问题。

在实际应用中，平行线和垂直线的性质是解决建筑、工程等领域的几何问题中不可或缺的重要工具。

平行、垂直的综合问题

平面图形折叠成空间几何体问题
[典例引领] (2016· 高考全国卷Ⅱ ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE ＝CF， EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． (1)证明：AC⊥HD′； 5 (2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2 2，求五棱锥 4 D′ABCFE 的体积．
从而 P PABCD 的侧面积为 1 1 1 1 2 PA· PD＋ PA· AB＋ PD· DC＋ BC sin 60°＝6＋2 3. 2 2 2 2
(1)几何体的体积柱体的体积 V＝S 底·h. 1 锥体的体积 V＝ S 底·h. 3 (2)几何体的表面积直棱柱的侧面积 S 侧＝C 底· l，其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求和．
由(1)知，AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以 AC⊥平面 BHD′，于是 AC⊥OD′. 又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以 OD′⊥平面 ABC.
EF DH 9 又由＝得 EF＝ . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S＝ ×6×8－ × ×3＝ . 2 2 2 4 1 69 23 2 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V＝ × ×2 2＝ . 3 4 2
立体几何中的探索性问题
[典例引领] 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中， D， E 分别是棱 BC，AB 的中点，点 F 在棱 CC1 上，已知 AB＝AC，AA1＝3，BC＝ CF＝2. (1)求证：C1E∥平面 ADF. (2)设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM⊥平面 ADF.

平行与垂直综合问题

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垂线的证明题例
总结词
垂线的证明是平面几何中较为基础的问题，需要掌握垂直的定义和判定方法。
详细描述
垂线的证明问题通常涉及到垂直的定义和判定，常用的判定方法包括：利用勾股定理证明三角形为直角三角形，或者利用垂直的定义，即在平面内，过一点作一条已知直线的垂线。同时，还要注意垂直的性质，如垂线段最短，垂线之间的角度为直角等。
平行与垂直综合问题
2023-11-07
目录
• 平行综合问题 • 垂直综合问题 • 平行与垂直综合问题 • 平行与垂直的综合题例 • 总结与反思
01
平行综合问题
平行线的性质
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，内错角相等。
平行线的性质两直线平行，同位角相等。
垂线的性质
垂线具有垂直、正直、交汇和交汇点等性质。
垂线的表示
垂线可以用符号“⊥”来表示。
垂线的判定
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两条直线相交成90度，则它们互为垂线。
两条直线相交，若其中一个角为90度，则另一角也是90度，则它们互为垂线。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多几何问题的重要工具。
平行与垂直在几何学中的应用
平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
垂直定理
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线上的所有点都在这个平面上。
平行与垂直的应用
在几何学中，平行和垂直是解决许多问题的重要工具。
平行与垂直在实际问题中的应用
建筑学
在建筑设计中，平行和垂直的应用非常重要。例如，建筑物的立面图和剖面图通常会涉及到平行和垂直的概念。

小学综合算式平行线与垂直线练习题探索平行线与垂直线的性质

小学综合算式平行线与垂直线练习题探索平行线与垂直线的性质在小学数学学科中，综合算式是一个重要且基础的概念。

而在综合算式中，平行线与垂直线的性质是需要我们探索与理解的。

本文将通过一些实际练习题来深入探讨平行线与垂直线的性质，帮助小学生更好地理解和应用这些知识。

练习题一：在下图中，AB∥CD，EF⊥CD，若∠ABE=60°，求∠AEC。

解析：根据题目信息，我们可以得知线段AB与线段CD是平行线，而线段EF与线段CD是垂直线。

根据平行线和垂直线的性质，我们知道平行线和垂直线之间存在一定的关系。

首先，根据垂直线的性质，我们可以得知∠ABE与∠AEC是互补角，即∠ABE+∠AEC=90°。

所以，∠AEC=90°-∠ABE=90°-60°=30°。

练习题二：在下图中，AB∥CD，EF⊥CD，若∠ABE=30°，求∠AEC的度数。

解析：题目中给出了∠ABE的度数，我们需要求解∠AEC的度数。

根据平行线和垂直线的性质，我们可以运用角的对应角理论来解答这个问题。

根据题目中的信息，我们可以得知∠ABE与∠AEC是对应角，而对应角具有相等的性质。

所以，∠ABE=∠AEC=30°。

练习题三：在下图中，AB∥CD，EF⊥CD，若∠AEC=90°，求∠ABE的度数。

解析：根据题目中的信息，我们已知∠AEC的度数为90°，而我们需要求解∠ABE的度数。

同样地，我们可以应用平行线和垂直线的性质来解决这个问题。

根据垂直线的性质，我们知道∠ABE与∠AEC是互补角，即∠ABE+∠AEC=90°。

所以，∠ABE=90°-∠AEC=90°-90°=0°。

通过以上的几个练习题，我们可以看到平行线与垂直线之间的性质是十分重要的。

在解题过程中，我们需要充分利用平行线和垂直线的性质，灵活运用角的对应角、互补角等理论来求解问题。

立体几何最典型的平行与垂直题型归纳(带答案)(1)

专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1．四面体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD 是直角三角形，∠ ABD ＝∠ CBD，AB＝BD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD＝2AB，点E、F 分别是线段PD、PC 的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O 的位置，⊥底面ABCD ，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M 为PD 的中点．Ⅰ）求证：CM ∥平面PAB；Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC．AD ∥BC ，∠ BAD ＝90°，PA4．如图，△ ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平而ABC，F 是BE 中点，AE＝AB＝2，CD＝1．1）求证：DF ∥平面ABC；2）求证：AF ⊥DE；3）求异面直线AF 与BC 所成角的余弦值．5．如图，在四棱锥A﹣BCDE 中，平面ABC⊥平面BCDE ，∠ CDE ＝∠ BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝．（1）证明：D E⊥平面ACD ；2）求棱锥C﹣ABD 的体积．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB ＝1，M 为线段PD 的中点．I）求证：BM ⊥PDII ）求直线CM 与PB 所成角的余弦值．7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，所有棱长都等于2．（1）当点M 是BC 的中点时，求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值；专题 :立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编1．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ ACB ＝90°， 2AC ＝AA 1，D ，M 分别是棱 AA 1， BC 的中点．证明：2）若∠ ABC ＝120°，AE ⊥EC ，AB ＝2，求点 G 到平面 AED 的距离．3．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ， AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝．（ 1）求证： PD ⊥平面 PAB ；1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD；AB ∥CD ，且∠ BAP ＝∠ CDP ＝90BE ⊥平面 ABCD ．1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ．2）若 PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为，求该四棱 1）证明： AC ⊥BD ；（2）已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝BD ，若 E 为棱 BD 上与 D6．如图，在四棱锥 A ﹣EFCB 中，△ AEF 为等边三角形，平面 AEF ⊥平面 EFCB ，EF ＝ 2，四边形 EFCB 是高为的等腰梯形， EF ∥BC ，O 为 EF 的中点．AD ＝CD ．求 O 到平面 ABC 的距离．专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1．四面体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD 是直角三角形，∠ ABD ＝∠ CBD，AB＝BD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．A ．0 B．1 C． 2 D． 3【解答】解：取AC 的中点E，连接BE，DE，∵∠ ABD＝∠ CBD ，∴ BD 在平面ABC 上的射影在直线BE 上，∵△ ACD 是直角三角形，∴∠ ADC＝90°，设 AB ＝ 2，则 BE ＝，DE ＝ AC ＝1，BD ＝2，2 2 2∴DE 2+BE 2＝ BD 2，即 DE ⊥BE ，又 BE ⊥ AC ，DE ∩AC ＝E ，∴ BE ⊥平面 ACD ，∴平面 ABC ⊥平面 ACD ．∵ D 在平面 ABC 上的射影为 E ， B 在平面 ACD 上的射影为 E ，∴平面 ABD 与平面 ABC 不垂直，平面 BCD 与平面 ABC 不垂直，平面 ABD 与平面 ACD 不垂直，平面 BCD 与平面 ACD 不垂直，过A 作 AF ⊥BD ，垂足为 F ，连接 CF ，由△ ABD ≌△ CBD 可得 CF ⊥BD ，故而∠ AFC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角， ∵ AD ＝＝， ∴ cos ∠ ABD ∴ CF ＝ AF ＝∴ cos ∠ AFC ＝∴∠ AFC ≠ 90°，∴平面 ABD 与平面 BCD 不垂直．F 分别是线段 PD 、PC 的中点．证明： EF ∥平面 PAB ；BO ⊥平面 PAC ，若存在，请指出点 O 的位置，并证明 BO ⊥平面 PAC ；若不存在，请说明理由．2．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ，四边形 ABCD 为长方形， AD ＝ 2AB ，在线段 AD 上是否存在一点 O ，使得，∴ sin ∠ ABD＝∵EF ∥CD ，∴ EF ∥AB ，∴ EF ∥平面 PAB ． ⋯（6 分）此时点 O 为线段 AD 的四等分点，满足，⋯（ 8 分） ∵长方形ABCD 中，∴△ ABO ∽△ ADC ， ∴∠ ABO+∠CAB ＝∠ DAC + ∠CAB ＝90°，∴AC ⊥BO ，（10 分）又∵ PA ⊥底面 ABCD ，BO? 底面ABCD ， ∴PA ⊥BO ， ∵PA ∩AC ＝A ，PA 、AC? 平面 PACABCD 为长方形，∴CD ∥AB ，∠ BAO ＝∠ ADC ＝ 90°，四边形 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ，∠ BAD＝，PA 又∵ EF? 平面 PAB ， AB? 平面 PAB ，Ⅱ）在线段 AD 上存在一点 O ，使得 BO ⊥平面 PAC ，⊥底面ABCD ，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CM ∥平面PAB；（Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC．解答】证明：（I ）取PA 的中点E，连接ME 、BE，∵ ME ∥AD，ME AD，∴ ME ∥BC，ME＝BC，∴四边形BCME 为平行四边形，∴ BE∥CM ，∵BE? 平面PAB，CM?平面PAB，∴ CM∥平面PAB；（II ）在梯形ABCD 中，AB＝BC＝1，AD＝2，∠ BAD＝90° 过C作CH⊥AD于H，∴AC ＝CD＝2 2 2∵AC2+CD2＝AD2，∴ CD⊥AC又∵ PA⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD，∴ CD⊥PA∵PA∩AC＝A，∴CD ⊥平面PAC4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1 的中点，证明：A1D⊥平面A1BC．解答】证明：设 E 为 BC 的中点，连接 A 1E ， DE ，AE ，由题意得 A 1E ⊥平面 ABC ，∴ A 1E ⊥AE ．∵ AB ＝ AC ， AE ⊥BC ，∴ AE ⊥平面 A 1BC ．由 D ，E 分别为 B 1C 1，BC 的中点，得 DE ∥B 1B 且 DE ＝B 1B ，从而 DE ∥A 1A 且 DE ＝A 1A ，∴四边形 A 1AED 为平行四边形，∴ A 1D ∥AE ．5．如图，△ ABC 为正三角形， AE 和 CD 都垂直于平而 ABC ，F 是 BE 中点， AE ＝AB ＝ 2，CD ＝ 1．（1）求证： DF ∥平面 ABC ；（2）求证： AF ⊥DE ；（3）求异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：取 AC 中点 O ，过 O 作平面 ABC 的垂线交 DE连结 OB ，则 OG ⊥OB ， OG ⊥ OC ，∵△ ABC 是正三角形， O 是 AC 中点，∴ OB ⊥ OC ，以 O 为原点， OB 、OC 、OG 所在直线分别为 x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，又∵ AE ⊥平面 A 1BC ， ∴ A 1D ⊥平面 A 1BC∵F 是 BE 中点， AE ＝AB ＝ 2，CD ＝1，＝（﹣ ， 1， 0），＝（ 0，0， 1），∵CD ⊥平面 ABC ，∴ ＝（0，0，1）是平面 ABC 的一个法向量，又 DF? 平面 ABC ，∴ DF ∥平面 ABC ．2）证明：∵ ＝（），＝（ 0，﹣2，1），∴ ＝ 0﹣ 1+1＝0，∴AF ⊥DE ．（3）解：∵ ＝（），＝（﹣ ，1， 0），设 AF 、 BC 所成角为 θ，cos θ＝ ∴异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值6．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝ 1，M 为线段 PD 的中点．（ I ）求证： BM ⊥PD（ II ）求直线 CM 与 PB 所成角的余弦值．∴ ＝（，0），＝（），＝（0，﹣ 2，1），∵ ＝， ∴，D （0，1，1），E （0，﹣1，∴A （0，﹣ 1，0），B（| | ＝【解答】（ I ）证明：连接 BD ，∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1， ∴PB ＝BD ＝∵ M 为线段 PD 的中点，∴BM ⊥PD（II ）解：连接 AC ，与 BD 交于 O ，连接 OM ，则∵ M 为线段 PD 的中点，∴MO ∥PB∴直线 CM 与 PB 所成角的余弦值为7．如图，在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，所有棱长都等于 2．（ 1）当点 M 是 BC 的中点时，① 求异面直线 AB 1和 MC 1 所成角的余弦值；② 求二面角 M ﹣AB 1﹣C 的正弦值；（2）当点 M 在线段 BC 上（包括两个端点）运动时，求直线 MC 1与平面 AB 1C 所成角的∴∠ CMO （或其补角）为直线 CM 与 PB 所成角，在△ MOC中， ∴ cos ∠ CMO＝CM ＝＝，．．解答】解：（1）取 AC 的中点为 O ，建立空间直角坐标系 O ﹣ xyz ，则，C （ 0，1，0），当 M 是 BC 的中点时，则． ①，设异面直线 AB 1 和 MC 1 所成角为 θ，则＝＝．＝＝．② ，，，，令 x ＝ 2，∴ ，∴ ．设二面角 M ﹣ AB 1﹣ C 的平面角为 θ，则＝．所以．（ 2）当 M 在 BC 上运动时，设．设平面 MAB 1的一个法向量为，则．∴ 设平面 AB 1C 的一个法向量为，令，则 y ＝﹣ 1，z ＝﹣ 1，∴，，则正弦值的取值范围．设M（x，y，z），∴，∴ ，则，∴ ．设直线MC1 与平面AB1C 所成的角为θ ，则设，设t＝λ+1 ∈[1，2]，所以，t∈[1，2]．设，∴∵ ，∴ ，∴∴直线MC 1与平面AB1C 所成的角的正弦值的取值范围为6．如图，在四棱锥 A ﹣BCDE 中，平面 ABC ⊥平面 BCDE ，∠ CDE ＝∠ BED ＝90°， AB ＝CD ＝ 2，DE ＝BE ＝1，AC ＝．（ 1）证明： DE ⊥平面 ACD ；（ 2）求棱锥 C ﹣ ABD 的体积．【解答】解：（ 1）在直角梯形 BCDE 中，∵DE ＝ BE ＝ 1， CD ＝ 2，∴ BC ＝＝，又 AB ＝2， AC ＝，∴ AB 2＝AC 2+BC 2，即 AC ⊥ BC ，又平面 ABC ⊥平面 BCDE ，平面 ABC ∩平面 BCDE ＝BC ，AC? 平面 ABC ，∴AC ⊥平面 BCDE ，又 DE? 平面 BCDE ，∴AC ⊥ DE ，又 DE ⊥DC ，AC ∩CD ＝C ，∴ DE ⊥平面 ACD ．1．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ ACB ＝90°， 2AC ＝AA 1，D ，M分别是棱 AA 1， BC 的中点．证明：S △BCD ?AC ＝V C ﹣ABD ＝V A ﹣BCD ＝1)AM∥平面BDC12)DC1⊥平面BDC ．∴AD ∥ MN ，且 AD ＝ MN ；∴四边形 ADNM 为平行四边形，∴DN ∥AM ；又 DN? 平面 BDC 1，AM? 平面 BDC 1，∴ AM ∥平面 BDC 1⋯（ 6 分）（ 2）由已知 BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，又 CC 1∩ AC ＝ C ，∴ BC ⊥平面 ACC 1A 1，又 DC 1? 平面 ACC 1A 1，∴ DC 1⊥BC ；由已知得∠ A 1DC 1＝∠ ADC ＝45°，∴∠ CDC 1＝ 90°，∴DC 1⊥DC ；又 DC ∩BC ＝C ，∴ DC 1⊥平面 BDC ．⋯（ 12分）【解答】证明：（ 1）如图所示，取 BC 1 的中点 N ，连接 DN ，MN ．则 MN ∥ CC 1，且 M N ＝ CC 1；又 AD ∥CC 1，且 ADV ＝，2．如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE ⊥平面 ABCD ．（ 1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ．因为 BE ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，所以 AC ⊥BE ，⋯（ 2 分）又因为 DB ∩BE ＝B ，所以 AC ⊥平面 BED ．⋯（ 3分）又 AC? 平面 AEC ，所以平面 AEC ⊥平面 BED ．⋯（ 5 分）2）取 AD 中点为 M ，连接 EM ．因为∠ ABC ＝ 120°．，AB ＝2，所以 AB ＝DB ＝ 2，AG ＝，DG ＝ 1，因为 AE ⊥EC ，所以 EG ＝＝，所以 BE ＝，⋯（ 6 分）所以 AE ＝DE ＝，又所以 AD 中点为 M ，所以 EM ⊥AD 且 EM ＝．设点 G 到平面 AED 的距离为为 h ，则三棱锥 E ﹣ADG 的体积为求点 G 到平面 AED 的距离．为菱形，所以 AC ⊥BD ，⋯（ 1 分）即，解得 h ＝．PAD ⊥平面 ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB? 平面 ABCD ，∴ AB ⊥平面 PAD ，∵PD? 平面 PAD ，∴AB ⊥PD ，又 PD ⊥PA ，且 PA ∩AB ＝A ，∴ PD ⊥平面 PAB ；（ 2）解：取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO ⊥ AD ，又平面 PAD ⊥平面 ABCD ， ∴PO ⊥平面 ABCD ，∵PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AD ＝2，∴ PO ＝1．10 分）所以点 G 到平面 AED 的距离为AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝．1）求证： PD ⊥平面PAB ；在△ ACD 中，由 AD ＝2，AC ＝CD ＝，可得．4．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中， AB ∥CD ，且∠ BAP ＝∠ CDP ＝901）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；P ﹣ABCD 中，∠ BAP ＝∠ CDP ＝ 90°，∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，又 AB ∥ CD ，∴ AB ⊥PD ，∵PA ∩PD ＝P ，∴ AB ⊥平面 PAD ，∵AB? 平面 PAB ，∴平面 PAB ⊥平面 PAD ．解：（2）设 PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取 AD 中点O ，连结 PO ，∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠ APD ＝90°，平面 PAB ⊥平面 PAD ，∵四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为由 AB ⊥平面 PAD ，得 AB ⊥ AD ，∴V P ﹣ABCD ＝2）若 PA ＝PD ＝ AB ＝ DC ，∠ APD ＝90°，且四棱锥 P ﹣ ABCD 的体积为求该四棱 ∴ PO ⊥底面ABCD ， O P＝＝＝＝，解得 a ＝2，∴ PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝2 ，PO ＝， ∴ PB ＝ PC ＝＝2 ，∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝ S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝+1）证明： AC ⊥ BD ；2）已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝ BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点， ∵△ ABC 是正三角形， AD ＝CD ，∴DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵DO ∩BO ＝O ，∴ AC ⊥平面 BDO ，∵BD? 平面 BDO ，∴AC ⊥BD ．解：（2）法一：连结 OE ，由（ 1）知 AC ⊥平面 OBD ， ∵OE? 平面 OBD ，∴ OE ⊥ AC ，设 AD ＝ CD ＝，则 OC ＝ OA ＝ 1， EC ＝ EA ，2 2 2 ∵AE ⊥CE ，AC ＝2，∴ EC 2+EA 2＝AC 2，∴ EC ＝ EA ＝＝ CD ，∴E 是线段 AC 垂直平分线上的点，∴ EC ＝EA ＝CD ＝，由余弦定理得：AE ⊥＝ 6+2 ．AD ＝CD ．∵BE＜＜BD＝2，∴BE＝1，∴ BE＝ED ，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h，∵ BE＝ED ，∴ S△DCE＝S△BCE，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．法二：设AD＝CD＝，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1，∴ BO＝＝，∴ BO2+DO2＝BD2，∴ BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）＝λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），∴ ＝（1，），＝（﹣ 1 ，），∵AE⊥EC，∴＝﹣1+3λ2+ （1﹣λ）2＝0，由λ∈[0 ，1]，解得，∴ DE＝BE，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h，∵DE＝BE，∴ S△DCE＝S△BCE，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．AEF⊥平面EFCB，EF＝2，四边形EFCB 是高为的等腰梯形，EF∥BC，O 为EF 的中点．1）求证：AO⊥CF；O 为EF 的中点，所以AO⊥ EF ⋯（ 1 分）又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO? 平面AEF，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ，所以AO ⊥平面EFCB，⋯（ 4 分）又CF? 平面EFCB ，所以AO⊥ CF ⋯（ 5 分）（2）解：取BC 的中点G，连接OG．由题设知，OG⊥BC ⋯（ 6 分）由（1）知AO⊥平面EFCB ，又BC? 平面EFCB ，所以OA⊥BC，因为OG∩OA＝O，所以BC⊥平面AOG⋯（8 分）过O 作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥ OH ，因为AG∩BC＝G，所以OH⊥平面ABC．⋯（10 分）因为，所以，即O 到平面ABC 的距离为．（另外用等体积法亦可）⋯（12 分）10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若∠ BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1 与B1C 所成角的余弦值为（A．0 B．C．。

平行与垂直关系的综合问题

考点144：平行与垂直关系的综合问题1.（13北京T17）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（1）PA ⊥底面ABCD ；（2）BE 平面PAD ；（3）平面BEF ⊥平面PCD第1题图Yxj5【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂直.【试题解析】证明：（I ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且PA 垂直于这个平面的交线AD所以PA 垂直底面ABCD .（II ）因为AB CD ,2CD AB =,E 为CD 的中点，所以AB DE ,且AB DE =，（步骤1）所以ABDE 为平行四边形，所以BE AD ,又因为BE ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD所以BE 平面PAD （步骤2）（III ）因为AB AD ⊥,而且四边形ABED 为平行四边形所以,BE CD AD CD ⊥⊥,由（I ）知PA ⊥底面ABCD ,（步骤3）所以PA CD ⊥,所以CD ⊥平面PAD （步骤4）所以CD PD ⊥,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD EF ,所以CD EF ⊥,所以CD ⊥平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面PCD .（步骤5）2.（13浙江T4）设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，（）A.若m α ，n α 则m nB.若m α ,m β 则αβC.若m n ， m α⊥,则n α⊥D.若m α ,αβ⊥,则m β⊥【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】根据线线关系判断线面关系.【参考答案】C【试题解析】用直线与平面平行的性质定理判断A 的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判定定理判断C 的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误.A.m α ，n α ，则m n ，m α ,αβ⊥,则m 与n 可能相交也可能异面，所以A 不正确；B. m α ,m β 则αβ ，还有α与β可能相交，所以B 不正确；C. m n ， m α⊥,则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故C 正确.D. m α ,αβ⊥,则m β⊥，也可能m β ，也可能m A β= ，所以D 不正确.3.（13江苏T16）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG ∥平面ABC ;(2)BC SA ⊥.【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】线面平行⇒面面平行，线面垂直⇒线线垂直.【试题解析】证明：（1）因为AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，所以F 是SB 的中点. （步骤1）又因为E 是SA 的中点，所以EF AB ∥.（步骤2）因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （步骤3）同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E = ，所以平面EFG ∥平面ABC .（步骤4）（2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥，所以AF ⊥平面SBC . （步骤1）因为BC ⊂平面SBC ，所以AF BC ⊥. （步骤2）又因为AB BC ⊥，AF AB A = ，AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB . （步骤3）因为SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥.（步骤4）4.（13辽宁T18）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点. （I ）求证：BC ⊥平面PAC ；（II ）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心，求证：QG ∥平面PBC .【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】由线线垂直证明线面垂直，借助做辅助线，由面面平行证明线面平行 .第4题图【试题解析】（1） AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，（步骤1）PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC . （步骤2）又 PA AC A = ,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC . （步骤3）(2)连接OG 并延长交AC 于点M ，连接QM ,QO ,G 为AOC △的重心，∴M 为AC 中点. （步骤4）Q 为PA 中点，∴QM ∥PC , （步骤5）又 O 为AB 中点，∴OM ∥BC . （步骤6）QM MO M = ,QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ,BC PC C = ,BC ⊂平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,∴平面QMO ∥平面PBC . （步骤7）第4题图 QG ⊂平面QMO ,∴QG ∥平面PBC .5. (13山东T19)如图，四棱锥P ABCD -中，,,AB AC AB PA ⊥⊥,2,,,,,AB CD AB CD E F G M N = 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证：CE PAD 平面；(Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】根据所给出的直线间的位置关系,用线线平行推导线面平行，根据线面垂直，去证明面面垂直.【试题分析】要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证明面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑的;要证明EFG EMN ⊥平面平面，第5题图SFT3可先考虑证明平面EMN 中的MN 垂直于平面EFG ,即转化为证明线面垂直，而要证明MN EFG ⊥平面，需要证明MN 垂直于平面EFG 中的两条相交直线(1):如图，取,PA H EH DH 的中点，连接E 为PB 的中点1,.2EH AB EH AB ∴= (步骤1) 1,2AB CD CD AB = ,.EH CD CD EH ∴= (步骤2)所以四边形DCEH 是平行四边形 (步骤3).CE DH ∴ (步骤4),DH PAD CE PAD ⊂又平面平面ÜCE PAD ∴平面 (步骤5)(2)因为,E F 分别为,PB AB 的中点，所以.,.EFPA AB PA AB EF ⊥∴⊥又 (步骤6)同理可证AB FG ⊥(步骤7) ,,EF FG F EF EFG FG =⊂⊂ 又平面平面EFGAB ⊥因此平面EFG (步骤8)又,M N 分别为,PD PC 的中点MN DC ∴ (步骤9)又,,AB DC MN AB MN ∴∴⊥ 平面EFG (步骤10)MN ⊂又平面,EMN 所以平面EFG ⊥平面EMN (步骤11)6. (13四川T19) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积．（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）GXX18第5题图【测量目标】平行与垂直关系的综合问题，柱、锥、台、球的体积.【考查方式】已知三棱柱和三棱柱中线段的关系.（1）由线面、线线平行，线面、线线垂直证明.（2）利用三棱柱的等价转化方法求体积.GXX19 第5题图【试题解析】（1）只需在平面ABC 内过点P 作//,l BC 由线面平行、垂直的相关知识得证.（2）借助等面积转换法求解.（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线BC l //，因为l 在平面BC A 1外，BC 在平面BC A 1 内，由直线与平面平行的判定定理可知，//l 平面1A BC ．（步骤1）由已知，AC AB =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线AD l ⊥，（步骤2）又因为1AA ⊥底面ABC ，所以l AA ⊥1，（步骤3）又因为AD ，1AA 在平面11A ADD 内，且AD 与1AA 相交，所以直线⊥l 平面11A ADD （步骤4）．（Ⅱ）过D 作AC DE ⊥于E ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以DE AA ⊥1，（步骤5）因为AC ，1AA 在平面C C AA 11内，且AC 与1AA 相交，所以⊥DE 平面C C AA 11，（步骤6）由2==AC AB ，∠BAC ︒=120，有1=AD ，∠DAC ︒=60，所以在△ACD 中，2323==AD DE ，（步骤7）又1111112AQC S AC AA == △，所以11111111133A QC D D A QC A QC V V DE S --==== 因此三棱锥11A QC D -的体积为63．（步骤8） 7.（13广东T8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l α∥，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ∥ D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ 【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系.【参考答案】B【试题解析】选项A ，若l α∥，l β∥，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B ，若l l αβαβ⊥⊥，，则∥，故正确；选项C ，若l l αβαβ⊥⊥，∥，则，故错误；选项D ，若,l αβα⊥∥，则l 与β的位置关系有三种可能：l l l βββ⊥⊂，∥，，故错误.故选B.8. (13湖南T17)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，AB AC ==13AA = ，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动．⑴证明：1AD C E ⊥；⑵当异面直线AC ，1C E 所成的角为60时，求三棱柱111C A B E -的体积．【测量目标】平行与垂直关系的综合问题，异面直线所成角，柱、锥、台、球的体积．第8题图hy6【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱111E A B C -的高1EB 再求体积．【试题解析】⑴AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．(步骤1) ① 又在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面11BB C C ，∴1AD BB ⊥．（步骤2） ② 由①②，得AD ⊥平面11BB C C ，由E 点在棱1BB 上运动，得1C E ⊂平面11BB C C 1C E AD ∴⊥．（步骤3）⑵11CA C A ∥，1160AC E ∴∠= ⇒在11Rt AC E △中，1A E =，（步骤4） ⇒在11Rt A B E △中，12EB =．（步骤5）111ABC A B C - 是直棱柱，1EB ∴是三棱柱111E A B C -的高．（步骤6）11111111111212333C A B E E A B C A B C V V S EB --==⨯⨯=⨯⨯=△．所以三棱柱111C A B E -的体积是23．（步骤7） 9.(13天津T17) 如图, 三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱A A 1⊥底面ABC ,且各棱长均相等.F E D ,,分别为棱11,,C A BC AB 的中点.(Ⅰ) 证明EF 平面CD A 1;(Ⅱ) 证明平面CD A 1⊥平面11ABB A ；(Ⅲ) 求直线BC 与平面CD A 1所成角的正弦值. 第9题图1 jxq25【测量目标】平行与垂直关系的综合应用【考查方式】(1)由线线关系⇒线面平行(2)线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 (3)利用三棱柱中线段关系求出线面角的正弦值.【试题解析】 (1)证明：如图，在三棱柱中111C B A ABC -，11AC AC ，且11AC AC ＝，连接ED ，在ABC △中，因为D E ，分别为AB BC ，的中点，所以AC DE 21=且DE AC （步骤1）第9题图2 jxq26 又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE ＝，且1AF D E ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以1EF DA .（步骤2）又EF ⊄平面1ACD ，1DA ⊂平面1ACD ，所以EF 平面1ACD .（步骤3） (2)证明：由于底面ABC △是正三角形，D 为AB 的中点，故CD AB ⊥，（步骤4）又由于侧棱1A A ⊥底面ABC CD ⊂，平面ABC ，所以1A A CD ⊥.（步骤5）又1A A AB A ＝，因此CD ⊥平面11A ABB ，而CD ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD ⊥.平面11A ABB （步骤6） (3)解：在平面11A ABB 内，过点B 作1BG A D ⊥交直线1A D 的延长线于点G ，连接CG . 由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线1A D 是平面1ACD 与平面11A ABB 的交线，故BG ⊥平面1ACD .由此得BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．（步骤7）设棱长为a ，可得1A D =，由1A AD BGD △∽△，易得5BG ＝.（步骤8）在Rt BGC △中，sin BCG ∠＝5BG BC =.所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为5（步骤9）。

数学综合算式专项练习题平行线与垂直线的性质

数学综合算式专项练习题平行线与垂直线的性质平行线与垂直线是数学中非常重要的概念，它们具有许多特殊的性质。

在本篇文章中，我们将通过一些综合算式专项练习题来深入理解和应用这些性质。

题目一：平行线的性质1. 若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

解答：设直线l与直线m分别与直线n平行，即l∥n，m∥n。

根据平行线的性质，l与m平行。

证毕。

2. 两条相交直线的同位角互补，则这两条直线平行。

解答：设直线l与直线m相交于点O，若∠AOC和∠BOD互补，则l与m 平行。

证明如下：由∠AOC和∠BOD互补可得∠AOC + ∠BOD = 90°。

由线性对顶角互补定理可得∠AOD + ∠BOC = 180°。

由此可知，∠AOD和∠BOC互补，即直线l与m平行。

证毕。

题目二：平行线与三角形的性质1. 平行线截断两个平行线所形成的线段是比例的。

解答：设直线l与直线m平行，直线n与l相交于A，与m相交于B。

根据平行线截断比例定理可知，AB与n的交点所形成的线段与BC（B 为m与n的交点）比例相等，即AB/BC = AC/CD = AD/DB。

证毕。

2. 直线与平行线的交点所对的对应角相等。

解答：设直线l与平行线m相交于点A，n与l平行，与m相交于B。

根据对应角定理得到∠CAB = ∠DBA。

证毕。

题目三：垂直线的性质1. 若一条直线与另一条直线垂直，则这两条直线互相垂直。

解答：设直线l垂直于直线m，即l⊥m。

根据垂直线的性质可知，m⊥l，即直线m也垂直于直线l。

证毕。

2. 垂直线与平行线的关系直线与一平行于另一直线的平面垂直。

即如果直线l与平行于直线m的平面垂直，则l与m垂直。

解答：设直线l与平行于直线m的平面P垂直，即P⊥l。

由垂直线与平面的关系定理可得m⊥P，即m与P垂直。

证毕。

综上所述，平行线和垂直线在数学中有着重要的性质和应用。

通过上述综合算式专项练习题的求解，我们巩固了对平行线与垂直线性质的理解和应用能力。

平行与垂直综合问题

平行与垂直综合问题xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•引言•平行的基本性质•垂直的定义与判定方法•平行与垂直的综合应用•平行的辅助线添加方法•垂直的辅助线添加方法•练习题和解析01引言1课程背景23平行与垂直综合问题在计算机视觉、物理、数学等领域的应用广泛。

平行与垂直综合问题在解决现实世界中的优化问题时具有重要意义。

针对平行与垂直综合问题的研究具有重要的理论和应用价值。

平行四边形定理平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

定义和定理介绍垂直的定义两条直线相交成直角，则两条直线互相垂直。

平行与垂直的性质平行线与垂直线的交点为直角点；垂直线段的长度等于平行线段长度的乘积；两个平行平面同时垂直于第三个平面，则它们相互平行。

课程目标和意义掌握平行与垂直的基本概念、性质和定理；掌握平行与垂直问题的求解方法和技术；学习平行与垂直在计算机视觉、物理、数学等领域的应用；学习如何利用平行与垂直解决现实世界中的优化问题。

02平行的基本性质两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平行的定义平行公理，三角形内角和定理，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

平行的判定平行的定义和判定平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的性质对边平行，对边相等，对角线互相平分。

平行四边形的基本性质等腰梯形的定义两底平行且相等的梯形是等腰梯形。

等腰梯形的性质上底和下底平行，两腰相等，对角线互相平分。

等腰梯形的基本性质03垂直的定义与判定方法两条直线或线段相交成直角，则称它们互相垂直(perpendicular)，记作$a \perp b$，或$\angle 1 \perp \angle 2$。

垂直定义在平面几何中，垂直通常用符号"$ \perp $"表示，其中一条直线或线段为$a$，另一条直线或线段为$b$。

符号表示垂直的定义及符号表示定义法根据垂直的定义，通过判断两条直线或线段是否相交成直角来判定垂直关系。

高一平行与垂直的综合应用知识点+例题+练习含答案

1.证明方法(1)证明平行关系的方法：①证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.②证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.③证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：①证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.②证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.③证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB 和∠A ′O ′B ′中OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′且方向相同⇒∠AOB＝∠A ′O ′B ′易忽略“方向相同” 线面平行的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄α，b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α易丢掉“a ⊄α”或“b⊂α” 线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b易忽略“α∩β＝b ”直线和平面垂直的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a ，l ⊥b a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O⇒l ⊥α易忽略“a ∩b ＝O ”两个平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝c a ⊂α，a ⊥c ⇒a ⊥β易忽略“a ⊂α”面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，b ∥αa ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝O ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”面面平行的判定定理的推论 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oc ⊂β，d ⊂βc ∩d ＝O ′a ∥c ，b ∥d ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”或“c ∩d ＝O ′”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( × )(2)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.(×)(3)若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)(4)α，β，γ为三个不同平面，α∥β，β∥γ⇒α∥γ.(√)(5)若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.(×)1.(教材改编)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD 与平面FGA的位置关系为________.答案平行3.如图所示，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是________.①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′—FED的体积有最大值；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.答案④解析由题意知，DE⊥平面A′FG，又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，且它们的交线是AF ，过A ′作A ′H ⊥AF ，则A ′H ⊥平面ABC ，所以A ′在平面ABC 上的射影一定在线段AF 上，且平面A ′GF ⊥平面BCED ，故①②均正确；三棱锥A ′—EFD 的体积可以表示为V ＝13S △EFD ·A ′H ，当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，A ′H 最大，故三棱锥A ′—EFD 的体积有最大值，故③正确；连结CD ，EH ，当CD ∥EH 时，BD ⊥EH ，又知EH 是A ′E 在平面ABC 内的射影，所以BD ⊥A ′E ，因此异面直线A ′E 与BD 可能垂直，故④错误.4.已知点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为________. 答案 4 5解析取BC 的中点D ，连结AD ，PD .∵AD ⊥BC ，P A ⊥BC ，且AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，∴BC ⊥PD ， ∴在Rt △P AD 中，PD ＝82＋42＝4 5.5.(教材改编)如图，在三棱锥V —ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，则平面VBA 与平面VBC 的位置关系为_____________________________________________________.答案垂直解析 ∵∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，VA ⊥AC ，VA ⊥AB ，由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥AB VA ⊥AC ⇒VA ⊥平面ABC ， ∴VA ⊥BC ，由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥BC AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面VAB ∴BC ⊥AB ，又BC ⊂平面VBC ， ∴平面VBC ⊥平面VBA.题型一线、面平行垂直关系的判定例1 (1)如图所示，在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是AB 的中点，则AC 1与平面CDB 1的关系为________.①AC 1∥平面CDB 1； ②AC 1在平面CDB 1中； ③AC 1与平面CDB 1相交； ④无法判断关系.(2)已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥β，n ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n .其中正确的命题是________. 答案 (1)① (2)②③解析 (1)连结BC 1，BC 1与CB 1交于E 点，(如图)连结DE ，则DE ∥AC 1，又DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(2)对于①，n 可能在α内；对于④，m 与n 可能异面.易知②，③是真命题. 思维升华对线面平行、垂直关系的判定：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，从而SG⊥平面EFG.(2)已知三个平面α，β，γ.若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直线c⊂β，c∥b.①判断c与α的位置关系，并说明理由；②判断c与a的位置关系，并说明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α与β没有公共点.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D. 证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OE∥DC，OE＝12DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四边形D1FEO为平行四边形，∴EF∥D1O.又∵EF ⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四边形AEB1G是平行四边形，∴B1E∥AG.同理GF ∥AD .又∵GF ＝AD ， ∴四边形ADFG 是平行四边形，∴AG ∥DF ，∴B 1E ∥DF ，∴DF ∥平面EB 1D 1. 又∵BD ∩DF ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 命题点3 直线与平面垂直的证明例4 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 相交于点O ，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，点G 为BC 的中点.(1)求证：OG ∥平面EFCD ； (2)求证：AC ⊥平面ODE .证明 (1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴OG ∥平面EFCD .(2)∵BF ＝CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC . ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ， FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1. 命题点5 平行、垂直的综合证明例6 如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ∩DE ＝D ，从而AC ⊥平面BDE .(2)如图，延长EF ，DA 交于点G .因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13.因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13，所以AM ∥GB .又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ，所以AM ∥平面BEF .思维升华 (1)空间线面的位置关系的判定方法①证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.②证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法①证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.②证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1⊂平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF ∥平面AB 1C .∵D ，F 分别为边A 1B 1，AA 1的中点，∴DF ∥AB 1. ∵DF ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴DF ∥平面AB 1C .∵EF ∩DF ＝F ，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面AB 1C .∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C .题型三平行与垂直的应用例7 (2015·安徽)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.(1)解由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1. 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连结BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝ANNC＝13.思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面P AC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF；(3)求三棱锥B—AFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面P AC平行.证明如下：在△PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面P AC，而PC⊂平面P AC，∴EF∥平面P AC.(2)证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面P AD.又AF⊂平面P AD，∴AF⊥CD.∵P A＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF.即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B —AEF ＝V F —AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312.∴三棱锥B —AFE 的体积为312.6.立体几何平行、垂直的证明问题典例 (14分)(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积. 规范解答(1)证明在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB .[1分] 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，[2分] 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.[3分](2)证明取AB 的中点G ，连结EG ，FG .[4分]因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .[6分]因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG .[8分]又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .[10分](3)解因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.[12分]所以三棱锥E －ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.[14分]证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. 第二步：证明线线平行.第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行. 第四步：反思回顾.检测关键点及答题规范. 证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面.第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行. 第四步：转化为线面平行. 第五步：反思回顾，检查答题规范. 证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线. 第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线.第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面.第四步：转化为面面垂直.第五步：反思回顾，检查答题规范.温馨提醒(1)证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线.(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.[方法与技巧]1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意.口诀：线不在多，重在相交.4.面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线.注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么.A组专项基础训练(时间：45分钟)1.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α.其中真命题的序号是________.答案①③④解析①由α∥β，l⊂α知，l与β无公共点，故l∥β.②当m⊂α，n⊂α，m与n相交，m∥β，n∥β时，α∥β.③由l∥α知，α内存在l′，使得l′∥l.因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α内存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号)答案③④解析对于①，平面α与β可能相交，故①错；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则直线m 与n可能平行，可能相交，也可能异面，故②错；对于③，由面面垂直的判定可知③正确；对于④，由面面垂直的性质可知m⊥n，故④正确.因此真命题的序号为③④.3.在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是________时，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中点解析当M 是PC 中点时，连结AC ，BD 交于O ，由题意知，O 是AC 的中点，连结MO ，则MO ∥P A .∵P A ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面ABCD . 4.如图，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.答案m n解析设AE ＝a ，EB ＝b ，由题意知，EF ∥AC ，得EF ＝bm a ＋b ，同理EH ＝ana ＋b.因为EF ＝EH ，所以bm a ＋b ＝an a ＋b，所以a b ＝mn .5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可. 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得AC AF ＝A 1F A 1D ，即2a x ＝3a －x a ，整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .6.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，P A ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM .求证：(1)OM ∥平面P AD ； (2)OM ⊥平面PCD .证明 (1)连结AC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点.在△P AC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥P A . 因为OM ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，所以OM ∥平面P AD .(2)连结PO .因为O 是BD 的中点，PB ＝PD ，所以PO ⊥BD .因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，从而PO ⊥CD . 因为CD ⊥PC ，PC ∩PO ＝P ， PC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC .因为OM ⊂平面P AC ，所以CD ⊥OM .因为P A⊥PC，OM∥P A，所以OM⊥PC.因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥面ABB1A1.因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)证明：B1F∥平面A1BE；(3)若正方体棱长为1，求四面体A1—B1BE的体积.(1)证明如图，连结AB1.因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B ⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)证明如图，连结EF，DC1，OE，B1F.由已知条件得EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形，所以B1F∥OE.因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，(3)解 VA 1—B 1BE ＝VE —A 1B 1B ＝13S △A 1B 1B ·B 1C 1＝16. B 组专项能力提升(时间：25分钟)9.在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，给出下面三个结论： ①BC ∥平面PDF ；②DF ⊥平面P AE ；③平面PDF ⊥平面ABC .其中不成立．．．的结论是________.(填写所有不成立的结论的序号) 答案 ③解析如图，由题知BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∵四面体P —ABC 为正四面体，∴BC ⊥P A ，AE ⊥BC ，BC ⊥平面P AE ，∴DF ⊥平面P AE ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴①和②成立.设此正四面体的棱长为1，则P A ＝1，AM ＝34，PM 2＝PD 2－DM 2＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫142＝1116，∴P A 2≠AM 2＋PM 2，故③不成立.10.如图，过四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面ACC1A1.(1)解在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于E，F两点，则EF为所作的锯线.在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D，B1B＝D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.又EF∥B1D1，所以EF∥BD，故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线，故EF为所作锯线.如图所示.(2)证明由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱的底面为菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面A1C1CA.11.如图，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝P A＝2，CD＝22，E，F分别是AB，PD 的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PECF的体积.(1)证明设G为PC的中点，连结FG，EG.∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，∴FG 綊12CD ，AE 綊12CD ，∴FG 綊AE ， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF ∥GE . ∵GE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PCE .(2)证明 ∵P A ＝AD ＝2，∴AF ⊥PD .又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∵AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD .∵GE ⊂平面PEC ，∴平面PCE ⊥平面PCD .(3)解由(2)知GE ⊥平面PCD ，所以EG 为四面体PEFC 的高，又EG ＝AF ＝2，CD ＝22，S △PCF ＝12PF ·CD ＝2，所以四面体PEFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.。

平行与垂直综合问题课件

(3)∵DM∥BN，BN⊥平面CAE，
∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
点评：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中CE，所以 AF∥平面 BCE. (2)解析：易得 DE⊥AF，AF⊥CD，所以 AF⊥平面 CDE，又 AF∥MB 故 BM⊥平面 CDE，所以 VABCDE＝VB－ACD＋VB－CDE ＝ 33＋23× 23×2＝ 3.
►跟踪训练 2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC， BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.
►跟踪训练
1．如右下图所示，在棱长均为2的斜三棱柱ABCDEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE，连接AO，求证：AO⊥平面FEBC. 证明：∵BCFE是菱形，∴BF⊥EC，又∵BF⊥AE，且AE∩EC＝E， ∴BF⊥平面AEC，而AO⊂平面SEC， ∴BF⊥AO， ∵AE＝AB，AB＝AC，∴AE＝AC. ∴AO⊥EC，且BF∩CE＝O， ∴AO⊥平面BCFE.
分析：由题目可获取以下主要信息： (1)EC⊥平面ABC，正三角形ABC； (2)BD∥CE且CE＝CA＝2BD. 解答本题可先由线∥线，线⊥面的性质，再由M是EA 的中点得线⊥线，线⊥面，进而证得面⊥面．证明：(1)如右图所示，取EC的中点F，连接DF， ∵EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴EC⊥BC，易知DF∥BC， ∴DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC，EC＝2BD， FD＝BC＝AB， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA. (2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN∥EC，且MN＝EC. ∵EC∥BD，∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内． ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN， ∴BN⊥平面ECA. ∵BN在平面MNBD内， ∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.

平行线和垂直线的综合练习题

平行线和垂直线的综合练习题1. 综合题一在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A(1, 2)和B(3, 4)，直线L2的斜率为-2，且过点C(2, 0)。

判断L1和L2的关系，并求出L2的方程。

解析：首先，我们可以计算出直线L1的斜率：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 2) / (3 - 1) = 2 / 2 = 1因为直线L2的斜率为-2，所以直线L1和直线L2不平行。

同时，根据平行线的性质，如果两条直线不平行，则它们必定相交，因此L1和L2会在某个点相交。

接下来，我们可以利用点斜式求出L2的方程：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1, y1)是直线L2上的任意一点，我们可以选择点C(2, 0)。

因此，L2的方程为：y - 0 = -2(x - 2)化简得到：y = -2x + 42. 综合题二在平面直角坐标系中，已知直线L1通过点A(2, 1)和B(5, 4)，直线L2与L1垂直且过点C(0, 2)。

判断L1和L2的关系，并求出L2的方程。

解析：首先，计算直线L1的斜率：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 1) / (5 - 2) = 3 / 3 = 1根据垂直线的性质，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。

因此，我们可以计算出直线L2的斜率为-1。

接下来，我们需要确定直线L2过点C(0, 2)。

利用点斜式，我们可以得到L2的方程：y - y1 = m(x - x1)选择点C(0, 2)，我们可以得到方程：y - 2 = -1(x - 0)化简得到：y = -x + 2综上所述，直线L1和L2既不平行也不重合，它们正好互相垂直。

同时，L2的方程为y = -x + 2。

通过以上两个综合练习题的讨论，我们可以更好地理解平行线和垂直线的概念和相互关系。

在平面直角坐标系中，平行线指的是两条直线的斜率相等且不相交，垂直线指的是两条直线的斜率的乘积为-1。

《平行与垂直》专题练习(含答案)

《平行与垂直》专题练习（时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点P到直线AB的距离的是 ( )A．PD B．PC C．PO D．PE2．仔细观察下列方格中的线段AB，CD，其中不平行的是 ( )3．下列说法中正确的个数是 ( )①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离．A．1 B．2 C．3 D．44．在同一平面内，如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF相交，那么直线AB与EF的位置关系是 ( )A．平行B．相交C．相交或平行D．不能确定5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点D的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，P为直线a外一点，点A，B，C为直线a上的三点，已知PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝5 cm．则点P到直线a的距离 ( )A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．不大于2 cm9．在如图所示的长方体中，和棱AB平行的棱共有 ( )A．1条B．2条C．3条D．4条10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中各线段所在的直线互相平行的有 ( )A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（每小题3分，共24分）11．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是_______；两条平行直线的公共点的个数是______；两条直线重合，公共点有______个．12．如图，根据图上的标注可以知道，直线EF的垂线有_______条，分别是_______．13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，图中线段______的长度表示点C到AB的距离，线段_______的长度表示点A到BC的距离，线段BC的长度表示______的距离．14．如图，直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H请你用量角器量一量，然后判断∠1与∠2的关系是______，∠2与∠3的关系是_______．15．如图，BA⊥AC，AD⊥BC，其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有___条．16．某人画AB⊥l，CB⊥l，B为垂足如图情况，判断A，B，C三点不在同一条直线上，你认为有道理吗？答：_______；请将你的理由写出：_______．17．已知直线a与b都经过P点，且直线a∥c，b∥c，那么a与b必______，这是因为______________．18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”，根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题（共46分）19．（6分）如图，点D在∠BAC的内部，请根据下列要求完成画图并回答问题：(1)过点D画直线DE//AB，交AC于点E；(2)过点D画直线DF//AC，交AB于点F；(3)诵讨度量判断AE与DF的大小关系以及∠A与∠EDF的大小关系．20．（6分）如图，OA⊥OC，∠1＝∠2，试判断OB与OD的位置关系，并说明理由．21．（7分）点P在∠AOC的边OA上，PB⊥OA，交OC于点B，PM⊥OC交OC于点M．(1)图中哪条线段的长表示P到OB的距离？(2)线段OP的长表示什么？(3)比较线段PM与线段OP的大小，你能说出其中的道理吗？22．（7分）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠AOC＝60°，求∠DOE的度数．（填空并添写理由）解：因为AB，CD交于O点，∠AOC＝60°（已知），所以∠BOD＝∠AOC＝_______度(_______)因为OE⊥AB(_______)，所以∠BOE＝_______度(_______)，所以∠EOD＝∠BOE－∠BOD＝_______度．23．（10分）如图①，一条直线l1把平面分成了2个部分；如图②，两条直线l2，l3把平面分成了3个或者4个部分（分l2∥l3和l2与l3相交两种情况）．画出图形，并探究：如果是三条直线l4，l5，l6，那么它们把平面分成多少个部分？（不需要说明理由）24．（10分）如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，(1)①当∠BOC＝30°时，∠DOE＝_______；②当∠BOC＝60°时，∠DOE＝_______．(2)通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由．参考答案一、1．C 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D二、11．1 0 无数 12．2 AB，CD 13．CD AC 点B到AC 14．相等互补 15．5 16．没有道理过一点有且只有一条与已知直线垂直17．重合经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 18．4 三、1 9．(1)图略 (2)图略．(3)AE＝DF，∠A＝∠EDF．20．OB⊥OD．21．(1)P到OB的距离应该是P点到OB垂线段的长度，即线段PM的长度． (2)线段OP可以看成是点D到直线PB的一条垂线段，所以OP的长表示点O到PB 的距离．(3)PM<OP，因为线段PM是点P到射线OC的垂线段，而线段PO是点P到射线OC 的斜线段．22．因为AB，CD交于O点，∠AOC＝60°（已知），所以∠BOD＝∠AOC＝60度（对顶角相等），因为OE⊥AB（已知），所以∠BOE＝90度（垂直的定义），所以∠EOD＝∠BOE－∠BOD ＝30度．故答案为60，对顶角相等，已知，90，垂直的定义，30.23．如图，可以分四种情况，故三条直线可以把平面分成4或6或7个部分．24．(1)①45°.②45°．(2)∠DOE＝∠AOB．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

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