平行与垂直的综合问题

所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 12分 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又因为CD⊥EF.EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 13分 所以平面BEF⊥平面PCD. 14分
常见失分探因 易漏写BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD而失分
(2)证明：在等腰直角三角形BCD中， ∵F为BD的中点， ∴CF⊥BD，①
在正方体ABCD A1B1C1D1中， DD1⊥平面ABCD，∵CF⊂平面ABCD， ∴DD1⊥CF，② 综合①②，且DD1∩BD＝D， DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴CF⊥平面BDD1B1， 而B1E⊂平面BDD1B1， ∴CF⊥B1E.
(2)∵在折起前的图形中 E 为 CD 的中点，AB＝2，BC＝1， ∴在折起后的图形中，AE＝BE＝ 2， 从而 AE2＋BE2＝4＝AB2， ∴AE⊥BE. ∵平面 ADE⊥平面 ABCE，平面 ADE∩平面 ABCE＝AE， ∴BE⊥平面 ADE， ∵BE⊂平面 BDE， ∴平面 BDE⊥平面 ADE.
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如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面CA1D； (2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.
证明： (1)连接AC1交A1C于E，连接DE， ∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1. 又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. (2)∵AC＝BC，D为AB的中点，
典例 如图，在四棱锥P ABCD中，AB // CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE //平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
教你快速规范审题 1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向 3．建联系，找解题突破口
3. (2015 年 惠 州 调 研 ) 如 图 所 示 ， 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC1D1； (2)求证：CF⊥B1E； (3)求三棱锥B1 EFC的体积．
解析：(1)证明：如图，
连接BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点， ∴EF为△DD1B的中位线， ∴EF∥D1B， 而D1B⊂平面ABC1D1， EF⊄平面ABC1D1， ∴EF∥平面ABC1D1.
(3)连接 B1D1，由(2)可知 CF⊥平面 BDD1B1，
∴CF⊥平面 EFB1，即 CF 为高，CF＝BF＝ 2.
∵
EF
＝
1 2
BD1
＝
3 ， B1F ＝
BF2＋BB21 ＝
22＋22 ＝
6 ， B1E ＝
B1D12＋D1E2＝ 2 22＋12＝3， ∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90°，
BC1⊄平面 AB1D1， ∴BC1∥平面 AB1D1.∴当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1. (2)已知平面 BC1D∥平面 AB1D1，且平面 A1BC1∩平面 BC1D＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O 得 BC1∥D1O， ∴DA11DC11＝AO1BO， 又由题可知DA11DC11＝DADC，AO1BO＝1， ∴DADC＝1，即DADC＝1.
∴在△ABC中，AB⊥CD.
又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC， ∴AA1⊥CD.又AA1∩AB＝A， Βιβλιοθήκη BaiduCD⊥平面AA1B1B. 又CD⊂平面CA1D， ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
1.如图所示，斜三棱柱ABC A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1 上的点．
(1)当DA11DC11等于何值时，BC1∥平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求DADC的值．
平行与垂直的综合问题
空间线面平行，垂直的综合问题一直是命题的热点，多以解答题 形式考查，此类题目重点考查了线、面、平行，垂直的判定与性质， 解答时易忽视平行垂直判定与性质定理中满足条件．
复习
线面平行 面面平行 线面垂直
判定定理
面面垂直 菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学 性质定理
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2．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F 为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答 下列两问：
(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证 明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.
解析：(1)如图所示，取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时DA11DC11＝1. 连接 A1B，交 AB1 于点 O，连接 OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点． 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1. 又∵OD1⊂平面AB1D1，
解析：(1)线段 AB 上存在一点 K，且当 AK＝41AB 时，BC∥平面 DFK， 证明如下：
设 H 为 AB 的中点，连接 EH，DK，KF，则 BC∥EH， 又∵AK＝41AB，F 为 AE 的中点， ∴KF∥EH，∴KF∥BC， ∵KF⊂平面 DFK，BC⊄平面 DFK， ∴BC∥平面 DFK.
教你准确规范解答 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. 3分 (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 4分 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 6分 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. 8分 (3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 10分 由(1)知PA⊥底面ABCD.