转动惯量知识讲解

rr 在定轴转动中，M 和 均沿转轴方位。
3、沿定轴的角动量守恒定律
当 M z 0 时， Lz J 常量
对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即
2
J1 J2
1
o
o
1
2
5.3.3 定轴转动的动能定理
由于刚体是质点系，满足质点系的动能定理。即
Ae Ai Ek 2 Ek1
1、刚体转动动能
质元动能：
r Fi
r Fiz
r Fiz
r Fiz
Finnr
Fir
Fiz
一个外力元功为
r Fi
dAi
r Fiz
r Fin n
Fir
dsr
Fi ds Fi rid M id
o d
ri
r Fi
r
r Fin
Fi z
所有外力的总功为
A 2 1
Mid
2 Md
1
力矩的功
4、刚体定轴转动的动能定理
2
v
Lz J
2、转动定理 由于刚体的转动惯量为常量，所以有
Mz
dLz dt
J
d
dt
J
即
Mz J
当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动 惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力
距。 —— 定轴转动定律
转动惯量是刚体绕定轴转动惯性大小的度量。
与牛顿第二定律 F ma 相比，地位相当。
瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
Eki
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
刚体的转动动能：
Ek
1 2
miri2 2
1 2
miri2 2
Ek
1 2
J 2
z
ri vvi
mi
2、内力的功为零
r
r
以刚体内两质点为例，
讨论一对内力的功。
质点1：
dA1
r F1
r dr1
质点2：
dA2
r F2
r dr2
1
r r1
Fr1 r12
rr1
• 刚体的质量分布
• 转轴的位置
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc ，则刚体对与该轴相距为 d 的平行 轴 z 的转动惯量 Jz 是
Jz
Jc
R
m
Jz Jc md 2
如图所示：
Jc
1 2
mR2
Jz
1 2
mR2
mR2
3 2
mR2
垂直轴定理
对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动
惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互
正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。
z
J z Jx Jy
y
o
例如：薄盘绕直径的转动
惯量
Jz
Jx
Jy
1 2
mR2
x
Jx
Jy
1 4
mR2
组合定理
若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转
动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。
即
z
J Ji
m1 l
例如：有质量为 m1 ,长 为 l 的均质细杆和质
量为m2 ，半径为R 的
P
x
d
dt
角加速度 ：描述角速度变化的快慢
d
dt
d 2
d 2t
v
z r
v
P
角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右
手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直
的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转
动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正，
角速度方向可用正负号表示。
加速转动
v
v方向一致
F2
rr2
r
r2
2
dA12
r F1
r dr1
r F2
r dr2
r F1
d
r r1
or r2
r F1
drr12
F1 r12
rr12
drr12
0
r12
dr12
(刚体)
转 分 作3过力功、如。力dFri图z即角 不矩所时 做的示功,功：，作设法用F向点ri 为分的刚力元体F位ri所n移不受为作的功任ds一，r个只, 外有沿力切轴，r 向方当分向刚力的体Fri
刚体运动
平 动
转 动
A•
c•
•A
c•
（质点A既随质心平动又绕质心转动）
刚体运动微分方程式
质心运动定理 刚体质心运动（平动）
角动量定理 刚体的取向与方位（转动）
刚体运动积分方程式
动能定理 刚体的平动和转动
• 作用于刚体上的力
力的
使质心平动
两种效果
绕质心转动
施于刚体的力不是自由矢量
B
A
F
B
F
A
力的作用线过质心 （平动）
Jo mR2
（2）圆盘、圆柱绕中心轴转动
对于质量为m 、半径为 R 、厚为 l 的均匀圆盘
取半径为 r 宽为 dr的薄圆环，则有
Z
dm 2 rdr l
dJ r2dm 2lr3dr
O r dr
lR
J dJ R 2 lr3dr 1 R4l
0
2
由于
m
R2l
则有 J 1 mR2 2
将方程
1 2
mgl
sin
1 2
1 3
ml 2
2
两边对时间求导数得
g cos d 2 l d
dt 3 dt
d 3g cos
dt 2l
（2）当杆摆到竖直位置时， 。
2
3g
l
0
r
由质心运动定理得
Nx
macx
m
l 2
r
Nx o
Ny
m,l
Ny
mg
macy
m
l 2
2
c
由上两式解得
r
转盘组成的力学体系。整体绕定轴转动，但其中 的各个部分有的作平动，有的作转动。
•解决此类问题的基本方法为：
1、隔离分析法：
平动体 牛顿第二定律 F ma
o
转动体 转动定律 M J
找出关系式
平动体
转动体
2、整体分析法：
从力的角度 质点系的角动量定理
d
Miz dt
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Liz
若 Mz Miz o Lz Liz 常量
本章将介绍一种特殊的质点 系—刚体—所遵从的力学规律。 它实际上就是质点系的基本原 理在刚体上的应用。重点是定 轴转动，重要的概念是转动惯 量。
5 . 刚体运动概述：
0 • 刚体——一种特殊质点系 节
质点
刚体
质点系
刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任 意两质点之间的距离保持不变的质点系（理想模型）。
t
0
M dt J d
0
0
t
J0
1 2
mR
20
3R0
M 23 mgR 4 g
（2）根据动能定理：
0
M阻d
0
1 2
J02
2 3
mgR
1 2
1 2
mR2
02
则转过的角度： 3R02 8 g
则转过的圈数： n 3R02 2 16 g
解：根据对支点O的转动定律 Fd Jo
根据质心运动定理
1
Md
1 2
J22
1 2
J12
刚体在作定轴转动的过程中，其转动动能的 增量等于刚体所受的沿定轴方向的合力矩对刚体 所作的功 —为定轴转动的动能定理。
5、机械能守恒定律
如果仅有保守力对定轴转动的刚体做功，则其 机械能守恒，即转动动能与势能的总和为常量。
若质量为m的刚体，仅在重力场中作定轴转动，
以yc表示刚体质心的竖直坐标，则机械能守恒方程 为
Nx 0
Ny
5 2
mg
mg
例5.3.2 粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘
一半径为R 的匀质圆盘，以初角速度0在摩擦系 数为 的水平桌面上,绕光滑质心轴转动。若转动过
程中盘面与桌面始终紧密接触，求：
1）从开始到停止所经历 的时间；
2）圆盘转动几圈后停止。
m oR
解： （1）以圆盘为研究对象，将圆盘分割
节始终保持不动，整个刚体绕着这根直线转动，该直
线称作转轴。 Z
只有一个转动自由度。
各质元的线速度、加速
度一般不同，但角量（角 位移、角速度、角加速度） 都相同。
P X
Q
X
描述刚体整体的运动用角量最方便。
2、定轴转动的角量描述
z
角坐标 ：确定刚体的位置
运动学方程： t
角速度 ：描述转动的快慢
若质量连续分布
J r2dm
线分布
面分布
体分布
质量为线分布 dm dl
质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体
密度。
2、转动惯量的计算：
（1 ） 质点、圆环、圆筒绕中心轴转动
z
Rm
z
oR m
R
m
o
质点的转动惯量为
Jo mR2
对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距离 都相同，则有
F Nx macx
又因
acx b
A点为打击中心 N x 0
则解得 d J0 mb
对于匀质细棒：
r
r
Ny
Nx
Ox
db C
Jo
1 3
ml 2
b l , d 2l .
2
3
r F
A
5 . 5.4 力学体系绕定轴转动
4 •力学体系：是指由质点、变形质点系、刚体等 节多个物体组成的整体。如图所示：由人、哑铃、
球壳： 转轴沿直径
5 . 5.3 定轴转动的基本方程
3 节5.3.1 基本方程
刚体作定轴转动时，一个自由度。确定刚体
的位置只需一个独立变量 — 角坐标，因而需要一 个动力学方程 — 角动量定理
Mz
dLz dt
5.3.2 对定轴的转动定理
1、对定轴的角动量
Lz Ji miri2 J
即
r
r mi
1）杆摆到 位置时的角速度
和角加速度；
2）杆摆到竖直位置时，轴
o
与杆的相互作用力。
m,l
c
mgr
解： （1）方法一，利用转动定理求 ，积分求 。
由 M J 得：
3g cos
因为 2l
mg 1 l cos 1 ml2
2
3
d d d d
dt d dt d
所以，分离变量并积分得：
力的作用线不过质心 （平动加转动）
施于刚体的力r 是滑移矢量 r
BF
AF
力沿作用线滑移不改变作用效果
作用于刚体的力的三要素：大小、方向r和作用线
AF
rd
r
F c F
的施力于Fr刚（体平的动力）等和效一于力一偶作Fr 用和线Fr（过转质动心）
5 . 5.1定轴转动的角量描述
11、刚体的定轴转动: 刚体中有根确定的直线
• 刚体 —— ?个自由度
自由度——为确定该力学系统的位置所需要的独立 变量的个数。（若运动受到约束，自由度将减少）
一个自由质点： 三个自由度 一个自由刚体： 六个自由度
三个平动自由度 三个转动自由度
注：不共线的三点可以确定刚体 的位置（9个），而任意两个质 点间的距离都保持不变（6个）。
• 刚体的运动形式
om
JO
2 mR2 5
（4）求长为 l、质量为 m 的均匀细棒绕垂直轴的转
动惯量。
取一小段dx ，可视为质点
轴位于端点A：
A
JA
l x2 m dx 1 ml2
0l
3
轴位于中心C：
A
JC
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 12
ml2
dx
B
l
x
C l2
dx B
l2
x
注 决定刚体转动惯量的因素： 意
o
m,l
c
d
3g
cos d
0
2l 0
r
3g sin
mg
l
方法二，利用动能定理求 ，求导数得 。
重力矩作功：
A
Md
mg l cos d 1 mgl sin
0
02
由动能定理：
2
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
o
1 2
1 3
ml 2
2
m,l
c
3g sin
l
mgr
本题也可用机械能守恒定律计算
E
1 2
J 2
mgyc
常量
根据柯尼希定理，则
E
1 2
mvc2
1 2
Jc 2
mgyc
常量
6、应用转动动能定理解题方法
理论依据
2 1
Md
1 2
J22
1 2
J12
（1）确定研究对象。
（2）受力分析，确定做功的力矩。
（3）确定始末两态的动能。
（4）列方程求解。
例5.3.1 自由摆下的杆 有匀质细杆长为 l，质 量为m，可以绕过端点的水平轴在竖直平面内自由 摆动。今使杆自水平位置由静止释放，求：
减速转动
v
v方向相反
两类基本问题
已知运动方程求角速度和角加速度 已知角加速度求角速度和运动方程
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
刚体上任一P点线量 与角量的关系：
v
z r
v
v r a r an r 2
P
矢量式 vr r rr
ar
dvr
可见，转动惯量与厚度 l 无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量与圆盘的相同。
（3） 球体绕其直径的转动
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
JO
1 dm r 2 2
1 2
r
2 dz
r
2
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R2 2 mR2 即
15
5
z
r
z
dz R
（角动量守恒）
从能的角度 质点系的能动定理
Ae Ai Ek 2 Ek1
若 A保 Ae Ai E Ek Ep 常量
匀质球体组成的刚体，
m2 R
对Z轴的转动惯量为
Jz
J杆 J球
1 3
m1l
2
2 5
m2
R2
m2
l
R
2
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直
圆柱体： 转轴沿几何轴
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
球体： 转轴沿直径
转轴沿直径
圆筒： 转轴沿几何轴
圆柱体： 转轴通过中心与几何轴垂直
细棒： 转轴通过端点与棒垂直
成无限多个圆环。每个圆环的质量为：
dm dS m 2 rdr 2m rdr
R2
R2
每个圆环产生的摩擦力矩为，
dM阻
dmg
r
2mg
R2
r 2dr
整个圆盘产生的摩擦力矩为
M阻 dM阻
2mg R2
R r 2dr
0
2 mgR
3
m
dr
ro R
根据转动定律：
M J J d
dt
其中M 为常量，将上式分离变量并积分，则
d
(r rr
)
r
rr
r
vr
即
dt ar
dt ar
arn
r
rr
r
vr
可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。
5 . 5.2 转动惯量及其计算 21、转动惯量：反映刚体在转动中的惯性。 节 定义
（单位： kg m2 ）
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。