《空间直角坐标系中点的坐标》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

《空间直角坐标系中点的坐标》

教学设计

本节课为高中必修二第二章第三节第二课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。空间直角坐标系是工具，用来解决立体几何中一些用常规方法难以解决的问题，并且为机械电子专业的学习打下基础，也为学生将来的后续学习做好准备。

【知识与能力目标】

理解空间中点的坐标表示。

【过程与方法目标】

通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。【情感态度价值观目标】

让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，提高学生的数学素养。

【教学重点】

空间直角坐标系中点的坐标表示。

【教学难点】

空间直角坐标系中点的坐标表示。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分

下图是一个房间的示意图，空间中我们如何表示板凳和气球的位置？

◆教学重难点

◆

◆课前准备

◆

◆教材分析

◆教学过程

◆教学目标

二、研探新知，建构概念

1.电子白板投影出上面实例。

可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图所示。

2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

（1）空间直角坐标系中点的坐标

①空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画。

②空间任意一点P的坐标记作（x，y，z），第一个是横坐标，第二个是纵坐标，第三个是竖坐标。

③空间直角坐标系中：点三元有序数组。

（2）若已知点P(x，y，z)，要确定点P在空间直角坐标系中的位置，可以先确定点P′(x，y,0)在xOy平面上的位置。令|PP′|＝|z|，

①若z＝0，则点P′即为点P；

②若z＞0，则点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧；

③若z＜0，则点P与z轴的负半轴在xOy平面的同侧。

（3）如图所示：如图

设M为空间一个定点，过M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序数组(x，y，z)。这就是M点的坐标。

(4)空间对称点的坐标规律

空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置。空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”。如关于x轴对称的点x坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点x，y不变，z坐标相反。特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数。

三、质疑答辩，发展思维

1.举例：如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系确定E，F，G三点的坐标。

解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系。

E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为（1，12，0）.

∴B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，

故F 点坐标为（1，1，12）.同理可得G 点坐标为（1，12，12）.

2.思考：空间直角坐标系中的点的坐标怎么确定？

解：（1）空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来，因此，要确定各点到xOy 面、yOz 面、xOz 面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用。

(2)设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点P (x ，y ，z )坐标满足：

x =x 1+x 22， y =y 1+y 22， z =

z 1+z 22。

3.例题

例1 正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )

A.(13,13,13)

B. (23,23,23)

C. (13,23,13)

D. (23,23,13)

解：如图所示

如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为(23,23,13)，故选D.

例2 求点M (a ，b ，c )关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标。

解：点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，

关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，

关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－a ，b ，c )。

关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)，

关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)，

关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)，

关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)。

4.巩固练习

（1）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G是DD1，BD，BB1的中点，且正方体棱长为1，请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E，F，G的坐标。

解析：如图所示，建立空间直角坐标系

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B1(1，1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，

E（0,0，1

2），F（1

2

，1

2

，0），G（1,1，1

2

）.

（2）已知点A(2,3－μ，－1＋υ)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，υ的值为( )

A。λ＝－2，μ＝－4，υ＝－5 B。λ＝2，μ＝－4，υ＝－5

C。λ＝2，μ＝10，υ＝8 D。λ＝2，μ＝10，υ＝7

解：关于x轴对称的点，x轴上的坐标不变，其他是相反数，则{λ＝2

3−μ=−7−1+v=6

得{λ＝2

μ=10

v=7

四、课堂小结：

（1）空间直角坐标系中点的坐标

①空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画。

②空间任意一点P的坐标记作（x，y，z），第一个是横坐标，第二个是纵坐标，第三个是竖坐标。

③空间直角坐标系中：点三元有序数组。

（2）若已知点P(x，y，z)，要确定点P在空间直角坐标系中的位置，可以先确定点P′