补形巧解立体几何题

柱 ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１ 补成长方体 ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１， 连 结 Ｂ１Ｄ，则 Ｂ１Ｄ ∥ ＡＣ１，且 Ｂ１Ｄ ＝ ＡＣ１，所以 ∠ＤＢ１Ｃ 为 ＡＣ１ 与 Ｂ１Ｃ 所成角（或其补角）．
连结 ＣＤ，在 △Ｂ１ＣＤ 中，ＣＤ ＝ ５，Ｂ１Ｄ ＝ ５，Ｂ１Ｃ ＝
４
２ ，则由余弦定理得 ｃｏｓ∠ＤＢ１Ｃ
例 ３ 已知四面体 ＳＡＢＣ 的三组对棱相等，依次
为 ２ ５ 、 １３ 、５，求四面体的体积．
解析 如图 ３，把四面体 Ｓ—ＡＢＣ 补形为长方体
ＡＤＢＥ—ＧＳＨＣ．设长方体的长、 宽、 高分别为 ａ、ｂ、ｃ，
则有 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （２ ５ ） ２ ，ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ （ １３ ） ２ ，ｃ２ ＋ ａ２ ＝ ５２，联立以上三式并解之得：ａ ＝ ４，ｂ ＝ ２，ｃ ＝ ３． 故
解析 如图 １２，把原正三棱柱补成直平行六面
体 ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１， 则 四 边 形 ＡＢＣＤ 为 菱 形， 且 ∠Ｂ ＝ ６０°．
设 ＢＢ１ ＝ ａ，则 ＡＢ ＝ ２ ａ，连结 ＡＤ１，则 ＡＤ１ ∥ ＢＣ１，故 ∠Ｂ１ＡＤ１ 为 ＡＢ１ 与 Ｃ１Ｂ 所成角（ 或其补角） ，
ＡＢ１ ＝ ＡＤ１ ＝ ３ ａ．
＝
２２ ５
．
图 １１ 图 １２
例 １０ 在正三棱柱 ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中， 若 ＡＢ ＝ ２ ＢＢ１，则 ＡＢ１ 与 Ｃ１Ｂ 所成角的大小为（ ）．
Ａ．６０° Ｂ．９０° Ｃ．３０° Ｄ．４５°
中学数学杂志 ２０１４ 年第 １１ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
老师纠错，应从病源上讲清． 学生之所以错，是没有把
“值域”，“定义域” 等概念搞清楚，老师应引导学生澄
清这样几个问题．
① 什么是值域？ 值域是｛ｆ（ｘ） ｜ ｘ ∈ Ａ｝（Ａ 为函数
ｆ（ｘ） 的定义域）；
② 值域是 Ｒ，即函数值要对应全所有的实数，一
个都不能少；
{ ③ 满足 ａ ＞ ０， 即 ｔ ＝ ａｘ２ ＋ （ａ ＋ １）ｘ ＋ ２ ＞ ０ 对 Δ ＜ ０，
２１ １４ ．
例题讲解要“ 打开窗户说亮话”
安徽省怀远县包集中学 ２３３４００ 宋在馥
去教室听课，常遇到这种情况：对于例题教学，老 师在台上是不停的讲，学生在下面是不停的记，老师 讲到下题了，上题还没 记 完． 下 课 后 便 问 学 生， 为 什 么 要记得那么详细？ 学生回答很简单：怕忘了！ 简单的 三个字，让笔者陷入深思，引发了对“ 例题应如何讲 解”的思考．例题讲解是实现“ 知识掌握，能力培养，意 识内化，品质提升” 的主渠道，是数学教学的重要组成 部分；例题讲解必须让学生心里透亮，使之知其然，更 知其所以然． 达到融会贯通，触类旁通，才不会出现 “上课记笔记，下课看笔记” 的被动状态．这就要求例 题的讲解要打开窗户说亮话———依据题目特征，结合 学生思维特点，化生为熟、化繁为简、化难为易，讲清 讲透讲明白．促进学生从“ 为何如此” 的疑惑到“ 原来 如此”的顿悟再到“不过如此” 的通透，学生岂能再忘． 下面是笔者的思考与实践． １ 正本清源 从概念上讲清
在 △Ａ１Ｂ１Ｄ１ 中，Ａ１Ｂ１ ＝ Ａ１Ｄ１ ＝ ２ ａ，∠Ｂ１Ａ１Ｄ１ ＝
１２０°，所以 Ｂ１Ｄ１ ＝
６
ａ，所以
ＡＢ
２ １
＋
ＡＤ２１
＝
Ｂ１ Ｄ２１ ，所以
∠Ｂ１ＡＤ１ ＝ ９０°，应选 Ｂ．
９ 将四棱锥补成三棱锥
例 １１ 在底面是直角梯形的四棱锥 Ｓ—ＡＢＣＤ 中，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，ＳＡ ⊥ 面 ＡＢＣＤ，ＳＡ ＝ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １，
的中点．
（１） 求证：ＡＭ ∥ 平面 ＢＤＥ；
（２） 求二面角 Ａ—ＤＦ—Ｂ 的大小．
解析 如 图 １０， 将 原 几 何 体 补 成 长 方 体
ＡＢＣＤ—ＦＢ１ ＥＤ１ ． （１） 设 ＡＣ 与 ＢＤ 的交点为 Ｏ，连结 ＯＥ，则易知
ＯＥ ∥ ＡＭ，故 ＡＭ ∥ 平面 ＢＤＥ．
（２） 由长方体的性质知，ＢＡ ⊥ 面 ＡＤＤ１Ｆ， 过 Ａ 作 ＡＧ ⊥ ＤＦ，连 ＢＧ，则 ＢＧ ⊥ ＤＦ，所以 ∠ＡＧＢ 为所求
例 １ 己知 ｆ（ｘ） ＝ ｌｇ（ａｘ２ ＋ （ａ ＋ １）ｘ ＋ ２） 的值域
为 Ｒ，求实数 ａ 的取值范围．
分析 这是道常规题，表现在常见、常错、常说不
清． 学 生 通 常 作 法 是： 由 条 件 知 ａ 应 满 足
{ａ ＞ ０，
Δ
＝ （ａ
＋
１） ２
－
８ａ
＜
解得 ０ ０，
＜
ａ
＜
３＋２
２ ．此时
１，则 ＡＢ 与 ＣＤ 的距离就是平面 ＡＢＥ 与平面 ＦＣＤ 的
距离，即三棱柱的高 ｈ
＝
２，且 ∠ＤＣＦ
＝
π ３
或２３π ．
所以 Ｖ柱 ＝ Ｓ△ＦＣＤ·ｈ ＝
１ ２
×
ＣＤ
×
ＣＦ
×
ｓｉｎ
π ３
×
２＝
３
１
２ ．故四面体的体积为 ３ Ｖ柱
＝
１ ２．
图 ５ 图 ６
３７
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１４ 年第 １１ 期
ＡＤ
＝
１ ２
，求面
ＳＣＤ
与面
ＳＡＢ
所成二面角的正切值．
解析 如图 １３，延长 ＢＡ、ＣＤ 交于 Ｅ，连结 ＳＥ．
因为 ＡＤ
＝
１ ２
ＢＣ，且 ＡＤ ∥ ＢＣ，所以 ＥＡ
＝ ＡＢ
＝ ＳＡ
＝ １，ＳＥ ⊥ ＳＢ．
又因为 ＳＡ ⊥ 面 ＡＢＣＤ，所以面 ＳＥＢ ⊥ 面 ＡＢＣＤ，
因为 ＢＣ ⊥ ＥＢ，所以 ＢＣ ⊥ 面 ＳＥＢ，ＢＣ ⊥ ＳＥ，
也就是三棱锥 Ｃ—ＡＢＥ 的高 ｈ ＝ ２．
所以 ＶＡ — ＢＣＤ
＝ ＶＡ — ＢＥＣ
＝ ＶＣ — ＡＢＥ
＝
１ ３ ｈ·Ｓ△ＡＢＥ
＝
１ ３
×２×
１ ２
×
ＡＢ
×
ＢＥ
×
ｓｉｎ
π ３
＝
１ ２
．
解法 ２ 如图 ５， 把四面体 ＡＢＣＤ 补成三棱柱
ＡＢＥ—ＦＣＤ，则面 ＡＢＥ ∥ 面 ＣＤＦ，ＡＢ ∥ ＣＦ，且 ＣＦ ＝
解析 如图 １４，把原长方体补上一个大小与之 相等的长方体 ＢＧＨＣ—Ｂ１Ｇ１Ｈ１Ｃ１， 在 ＧＨ 上取一点 Ｆ１， 使 ＧＦ１ ＝ １， 连 结 ＥＦ１、Ｃ１Ｆ１， 则 Ｄ１Ｆ ∥ Ｃ１Ｆ１， ∠ＥＣ１Ｆ１ 为 ＥＣ１ 与 ＦＤ１ 所成角（或其补角）．
在 △ＥＣ１Ｆ１ 中，由余弦定理易得 ｃｏｓ∠ＥＣ１Ｆ１ ＝
π ３
，则四面体的体
积等于 ．
解法 １ 如图 ４， 将四面体 ＡＢＣＤ 补成四棱锥
Ａ—ＢＤＣＥ，且 ＢＥ
∥ ＣＤ，ＢＥ
＝
ＣＤ，则
∠ＡＢＥ
＝
π ３
或
２π ３
，ＢＥ
＝
３ ，ＣＤ ∥ 面 ＡＢＥ，所以 ＣＤ 与 ＡＢ 的距离即
为 ＣＤ 到平面 ＡＢＥ 的距离，亦即 Ｃ 到平面 ＡＢＥ 的距离
图 １ 图 ２
２ 把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正） 方体 例 ２ 在球面上有四点 Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果 ＰＡ、ＰＢ、
ＰＣ 两两互相垂直，且 ＰＡ ＝ ＰＢ ＝ ＰＣ ＝ ａ，那么这个球 的表面积是 ．
解析 如图 ２，把三棱锥 Ｐ—ＡＢＣ 补形为一个棱 长为 ａ 的正方体，则正方体的对角线即为球的直径． 因为 ２Ｒ ＝ ３ ａ，所以 Ｓ球表面积 ＝ ４πＲ２ ＝ ３ａ２π． ３ 把对棱相等的四面体补成长方体
所以 ＳＥ ⊥ 面 ＳＢＣ，ＳＥ ⊥ ＳＣ，∠ＢＳＣ 是所求二面
角的平面角，又因为 ＳＢ ＝ ２ ，ＢＣ ＝ １，所以 ｔａｎ∠ＢＳＣ
＝
２ ２．
１０ 把长（ 正） 方体补成长（ 正） 方体
图 １３ 图 １４
例 １２ 如图 １４，在长方体 ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中， 已知 ＡＢ ＝ ４，ＡＤ ＝ ３，ＡＡ１ ＝ ２，Ｅ、Ｆ 分别是线段 ＡＢ、ＢＣ 上的点，且 ＥＢ ＝ ＦＢ ＝ １，求 ＥＣ１ 与 ＦＤ１ 所成角的余弦 值．
把原四棱锥补成正方体 ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｓ． （１） 因为 ＢＣ ⊥ 面 ＳＤＣＣ１，所以 ＢＣ ⊥ ＳＣ． （２） 连 Ａ１Ｂ，则面 ＡＳＤ 与面 ＢＳＣ 所成的二面角，
即为面 ＡＤＳＡ１ 与 ＢＣＳＡ１ 所成的二面角． 因为 Ａ１Ｓ ⊥ ＳＤ，Ａ１Ｓ ⊥ ＳＣ，所以 ∠ＣＳＤ 为所求二
面角的平面角，∠ＣＳＤ ＝ ４５°，故所求二面角为 ４５°． 例 ７ 如 图 ９， 在 四 棱 锥 Ｐ—ＡＢＣＤ 中， 底 面
例 １ 一个四面体的棱长都为 ２ ，四个顶点都 在同一球面上，则球的表面积为（ ）．
Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３ ３ π Ｄ．６π 解析 如图 １，把四面体补成一个棱长为 １ 的 正方体，则正方体的对角线就是球的直径．因为 ２Ｒ ＝ ３ ，所以 Ｓ球表面积 ＝ ４πＲ２ ＝ ３π，故应选 Ａ．
为Ｖ
＝
１ ６ ａｂｈｓｉｎθ．
５ 把首尾相连两两垂直的三棱锥补成长（正） 方体 例 ５ 如图 ７，ＰＡ ⊥ 平面 ＡＢＣ，∠ＡＣＢ ＝ ９０°，且
ＰＡ ＝ ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ａ，则异面直线 ＰＢ 与 ＡＣ 所成角的正 切值为 ．
解析 如图 ７ 所示，把三棱锥 Ｐ—ＡＢＣ 补成正 方体 ＡＣＢＤ—ＰＣ１Ｂ１Ｄ１，则 ＡＣ ∥ ＢＤ，∠ＰＢＤ 是异面 直线 ＰＢ 与 ＡＣ 所成的角．
ＶＳ — ＡＢＣ ＝ Ｖ长方体 —４ＶＳ — ＡＢＤ ＝ ａｂｃ － ４ ×
１ ３
×
１Hale Waihona Puke Baidu２
ａｂｃ
＝
１ ３
ａｂｃ
＝
８．
图 ３ 图 ４
４ 把三棱锥补成四棱锥（或三棱柱或平行六面体）
例 ４ 在四面体 ＡＢＣＤ 中，设 ＡＢ ＝ １，ＣＤ ＝ ３ ，
直线
ＡＢ
与
ＣＤ
的距离为
２，夹角为
连结 ＰＤ，在 Ｒｔ△ＰＤＢ 中，ｔａｎ∠ＰＢＤ ＝ ２ ．
图 ７ 图 ８
６ 把四棱锥补成长（正） 方体 例 ６ 如图 ８，四棱锥 Ｓ—ＡＢＣＤ 的底面是边长
为 １ 的正方形，ＳＤ 垂直于底面 ＡＢＣＤ，ＳＢ ＝ ３ ． （１） 求证：ＢＣ ⊥ ＳＣ； （２） 求面 ＡＳＤ 与面 ＢＳＣ 所成二面角的大小． 证与解 因为 ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １，所以 ＳＤ ＝ １，故可
二面角的平面角，在 Ｒｔ△ＡＧＢ 中，易求 ∠ＡＧＢ ＝ ６０°．
８ 把三棱柱补成四棱柱
例 ９ 如图 １１，在直三棱柱 ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，ＡＣ ＝ ３，ＢＣ ＝ ４，ＡＢ ＝ ５，ＡＡ１ ＝ ４，求异面直线 ＡＣ１ 与 Ｂ１Ｃ 所成角的余弦值．
解析 由条件知 ＡＣ ⊥ ＣＢ，如图 １１，把直三棱
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补形巧解立体几何题
安徽省灵璧县黄湾中学 ２３４２１３ 华腾飞
巧妙补形是求解立体几何问题较为常用的一种 解题方法，是把一个几何体补成另一个几何体，从而 在新形成的几何体中研究原几何体的有关问题，这 样可以使要求解的问题变得简单，解题过程简捷，思 维空间广阔，解题方法新颖，问题获解顺利． １ 把正四面体补成正方体
３８
ｃｏｓ∠ＢＰＣ１
＝
５７ １４
．故
ＡＣ
与
ＰＢ
所成角的余弦值
５７ 为 １４ ．
图 ９ 图 １０
７ 把互相垂直的两长（正） 方形补成长（正） 方体 例 ８ 如图 １０，已知正方形 ＡＢＣＤ 和矩形 ＡＣＥＦ
所在的平面互相垂直，ＡＢ ＝ ２ ，ＡＦ ＝ １，Ｍ 是线段 ＥＦ
解法 ３ 如图 ６，把四面体 ＡＢＣＤ 补成平行六面 １
体，则四面体的体积是平行六面体体积的 ３ ．
Ｖ平行六面体 ＝ Ｓ底 ·ｈ ＝
１ ２
×１×
３ × ｓｉｎ π × ２ ＝ ３
３ ２
，故四面体的体积为
１ ２
．
结论 在四面体 ＡＢＣＤ 中，设 ＡＢ ＝ ａ，ＣＤ ＝ ｂ，直
线 ＡＢ 与 ＣＤ 的距离为 ｈ，夹角为 θ，则四面体的体积
ＡＢＣＤ 为矩形，侧棱 ＰＡ ⊥ 底面 ＡＢＣＤ，ＡＢ ＝ ３ ，ＢＣ ＝ １，ＰＡ ＝ ２．求直线 ＡＣ 与 ＰＢ 所成角的余弦值．
解析 如图 ９ 所示，把四棱锥 Ｐ—ＡＢＣＤ 补成长 方体 ＰＢ１Ｃ１Ｄ１—ＡＢＣＤ， 连结 ＰＣ１，ＰＣ１ ∥ ＡＣ， 所 以 ∠ＢＰＣ１ 为 ＡＣ 与 ＰＢ 所成角， 连结 ＢＣ１， 在 △ＰＢＣ１ 中，由余弦定理可得：