高三数学一轮复习 数列求和常用方法课件
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数列的求和方法课件-2024届高考数学一轮复习
（2） 当数列{ an }的通项公式为 an ＝
其中{ bn }，
，为偶数.
{ cn }
分别为等差或等比数列时，可采用分组转化法求解.
2. 利用分组转化法求和的关键点
观察数列的通项公式的特征，若数列由若干个简单数列（如等差数
列、等比数列、常数列等）组成，则求其前 n 项和时可用分组转化
法，把数列分成几个可以直接用公式法求和的数列.
列.所以 an －1＝ −
.所以数列{ an }的通项公式为 an ＝1＋ −
.因
+
2
为 nbn ＋1－（ n ＋1） bn ＝ n ＋ n ＝ n （ n ＋1），所以
－ ＝1.所以
+
数列
是以1为公差的等差数列.所以 ＝ ＋（ n －1）.因为 b 1＝1，
−
＋1·n
＝2 2 n ＋1 ＋ n －2，即 T 2 n ＝2 2 n ＋1 ＋ n －2.
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[变式演练]
1. 若例1（2）中的条件不变，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
解：由例1（2）知， bn ＝2 n ＋（－1） nn.当 n 为偶数时， Tn ＝（2＋22
）
（
−
＝2.所以数列{ bn }的通项公式为 bn ＝2 n .
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（2） 数列{ anbn }的前 n 项和 Tn .
解：（2） 由（1），得 anbn ＝（3 n －1）·2 n .所以 Tn ＝2×2＋5×22＋
＋23＋24＋…＋2 n ）＋[－1＋2－3＋4＋…－（ n －1）＋ n ]＝
其中{ bn }，
，为偶数.
{ cn }
分别为等差或等比数列时，可采用分组转化法求解.
2. 利用分组转化法求和的关键点
观察数列的通项公式的特征，若数列由若干个简单数列（如等差数
列、等比数列、常数列等）组成，则求其前 n 项和时可用分组转化
法，把数列分成几个可以直接用公式法求和的数列.
列.所以 an －1＝ −
.所以数列{ an }的通项公式为 an ＝1＋ −
.因
+
2
为 nbn ＋1－（ n ＋1） bn ＝ n ＋ n ＝ n （ n ＋1），所以
－ ＝1.所以
+
数列
是以1为公差的等差数列.所以 ＝ ＋（ n －1）.因为 b 1＝1，
−
＋1·n
＝2 2 n ＋1 ＋ n －2，即 T 2 n ＝2 2 n ＋1 ＋ n －2.
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[变式演练]
1. 若例1（2）中的条件不变，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .
解：由例1（2）知， bn ＝2 n ＋（－1） nn.当 n 为偶数时， Tn ＝（2＋22
）
（
−
＝2.所以数列{ bn }的通项公式为 bn ＝2 n .
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（2） 数列{ anbn }的前 n 项和 Tn .
解：（2） 由（1），得 anbn ＝（3 n －1）·2 n .所以 Tn ＝2×2＋5×22＋
＋23＋24＋…＋2 n ）＋[－1＋2－3＋4＋…－（ n －1）＋ n ]＝
2025届高中数学一轮复习课件《数列求和》ppt
高考一轮总复习•数学
由③－④得12Tn＝1211－－1212n－n·12n＋1， ∴Tn＝2－(2＋n)·12n.
第19页
高考一轮总复习•数学
第20页
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和 时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
解析：①当 n 为偶数时，an＋2＝an＋2，则偶数项是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 故 a2＋a4＋…＋a100＝50×1＋50×2 49×2＝2 500.②当 n 为奇数时，an＋2＝－an＋2，即 an＋ an＋2＝2，故 a1＋a3＋…＋a99＝2×25＝50.综上，S100＝2 550.
高考一轮总复习•数学
第1页
第七章 数 列
第4讲 数列求和
高考一轮总复习•数学
第2页
01 重难题型 全线突破 02 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第3页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第4页
题型
分组求和法
典例 1(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足a21＋a222＋…＋a2nn＝2nn. 从结构特点分析，属于由 Sn 求 an 的类型，应用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)的运算，求通项公式． (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意的 n∈N*，令 bn＝a2na，n，n为n为奇偶数数，， 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解：(1)由 2an＋1－an＝16an＋1an 可得an1＋1＝a2n－16，于是an1＋1－16＝2a1n－16，即 bn＋1＝ 2bn，
而 b1＝a11－16＝2，所以{b×2n－1＝2n.
高考数学一轮复习 数列求和课件
第四节 数列求和
常用数列求和的方法
1.公式法 直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平 方和公式，立方和公式等公式求解. 2.倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末 两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就
得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和.
n项和的数列来求之.
2.常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
(2)an＝a· qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
【注意】
的取值.
应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q
若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情 况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.
数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2
＋sin2 ，n＝1,2,3，…
)· an
(1)求a3、a4可利用a1、a2递推，求an时需先化简 递推关系； (2)用错位相减法求.
(1)求a3，a4的值，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
( ＋3n－2)
＋4)＋(
＋7)＋…＋
＝(1＋
)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，
设S1＝1＋
当a＝1时，S1＝n； 当a≠1时，S1＝ ，
，
S2＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝
.
∴当a＝1时，Sn＝S1＋S2＝n＋
；
当a≠1时，Sn＝S1＋S2＝
.
1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数
常用数列求和的方法
1.公式法 直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平 方和公式，立方和公式等公式求解. 2.倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末 两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就
得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和.
n项和的数列来求之.
2.常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
(2)an＝a· qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；
(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
【注意】
的取值.
应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q
若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情 况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.
数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2
＋sin2 ，n＝1,2,3，…
)· an
(1)求a3、a4可利用a1、a2递推，求an时需先化简 递推关系； (2)用错位相减法求.
(1)求a3，a4的值，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
( ＋3n－2)
＋4)＋(
＋7)＋…＋
＝(1＋
)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，
设S1＝1＋
当a＝1时，S1＝n； 当a≠1时，S1＝ ，
，
S2＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝
.
∴当a＝1时，Sn＝S1＋S2＝n＋
；
当a≠1时，Sn＝S1＋S2＝
.
1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
高考数学一轮复习第四章第四讲数列求和课件
已知数列{an} 的首项 a1＝1，且________. (1)求{an} 的通项公式； (2)若 bn＝ana2n＋1，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：(1)选①(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)，an＞0， 由(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)， 可得 (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为 an＞0，所以 an－an－1＝2(n≥2)， 所以 {an} 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
则数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋ b4＋…＋b2n)
＝(1＋5＋…＋4n－3)＋4113－17＋17－111＋…＋4n1－1－4n1＋3 ＝12n(1＋4n－3)＋1413－4n1＋3 ＝2n2－n＋3(4nn＋3).
考点二 裂项相消法求和
[例 2](2022 年全国Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，Sann是公差为13的等差数列.
(2)由(1)及 bn＝laong，2ann为，偶n为数奇，数，
得 bn＝n2－ n-1，1，n为n为偶奇数数，， ∴T2n ＝ (0 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2n － 2) ＋ (2 ＋ 23 ＋ … ＋ 22n-1) ＝ 0＋22n－2×n＋2(11－－44n)＝23×4n＋n2－n－23＝13×22n+1＋n2－n－32.
【题后反思】
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或 等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝abnn， ，nn为 为偶奇数数，， 其中数列 {an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
解：(1)选①(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)，an＞0， 由(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)， 可得 (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为 an＞0，所以 an－an－1＝2(n≥2)， 所以 {an} 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
则数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋ b4＋…＋b2n)
＝(1＋5＋…＋4n－3)＋4113－17＋17－111＋…＋4n1－1－4n1＋3 ＝12n(1＋4n－3)＋1413－4n1＋3 ＝2n2－n＋3(4nn＋3).
考点二 裂项相消法求和
[例 2](2022 年全国Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，Sann是公差为13的等差数列.
(2)由(1)及 bn＝laong，2ann为，偶n为数奇，数，
得 bn＝n2－ n-1，1，n为n为偶奇数数，， ∴T2n ＝ (0 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2n － 2) ＋ (2 ＋ 23 ＋ … ＋ 22n-1) ＝ 0＋22n－2×n＋2(11－－44n)＝23×4n＋n2－n－23＝13×22n+1＋n2－n－32.
【题后反思】
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或 等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝abnn， ，nn为 为偶奇数数，， 其中数列 {an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
高三数学一轮复习数列求和(必修5)精品PPT课件
考点一 分组转化求和
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
课堂互动讲练
考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
课堂互动讲练
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课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
课堂互动讲练
考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
+1
送分试题;(2)当递推公式为 an+1=f(n)an 时,把原递推公式先转化为 =f(n),再利用累乘法
(逐商相乘法)求解。第(2)问的实质是数列的求和问题,常用的方法为错位相减法和裂项
相消法。
【变式训练】
则数列
1
+ +1
2 - 2 = 2 - 2 (n≥2),
(1)已知各项都为正数的数列{an}中,a1=1,a2= 3,+1
②当 n≥2 时,Tn=2+2×2 +2×2 +…+2×2
2
3
n
1, = 1,
2, ≥ 2。
22 (1−2 −1 ) (1+2−1)
-[1+3+5+…+(2n-1)]=2+2×
=
2
1−2
2n+2-n2-6,又 T1=1 也满足 Tn=2n+2-n2-6,所以 Tn=2n+2-n2-6。
=
1−2
-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2。所
易错题
4.(不能准确分组致误)已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n-2),则数列{an}的前 n 项和
1 − , 为奇数,
Sn=
, 为偶数
。
解析 Sn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1) (n-1)]=
1
+…+f
−1
+f(1)(n
an=2(n+1)
则数列
的通项公式为
送分试题;(2)当递推公式为 an+1=f(n)an 时,把原递推公式先转化为 =f(n),再利用累乘法
(逐商相乘法)求解。第(2)问的实质是数列的求和问题,常用的方法为错位相减法和裂项
相消法。
【变式训练】
则数列
1
+ +1
2 - 2 = 2 - 2 (n≥2),
(1)已知各项都为正数的数列{an}中,a1=1,a2= 3,+1
②当 n≥2 时,Tn=2+2×2 +2×2 +…+2×2
2
3
n
1, = 1,
2, ≥ 2。
22 (1−2 −1 ) (1+2−1)
-[1+3+5+…+(2n-1)]=2+2×
=
2
1−2
2n+2-n2-6,又 T1=1 也满足 Tn=2n+2-n2-6,所以 Tn=2n+2-n2-6。
=
1−2
-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2。所
易错题
4.(不能准确分组致误)已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n-2),则数列{an}的前 n 项和
1 − , 为奇数,
Sn=
, 为偶数
。
解析 Sn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1) (n-1)]=
1
+…+f
−1
+f(1)(n
an=2(n+1)
则数列
的通项公式为
2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
【解析】 ∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1 ∴数列{an}的前 n 项和 Sn＝1－n＋1 1＝n＋n 1 又 Sn＝22001290，∴n＝2019，故选 B.
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
高三数学一轮复习数列求和的方法总结课件 (共19张PPT)
2 23
3 24
n2n1
n 2n1
由－得
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
5
1 2 Sn
1 [1 ( 1 ) n ]
2
2
1 1
n 2 n1
2
得：
Sn
2
2n 2n
6
例、求1， 数 3， 5列 ， 7， ， 2n1 2 4 816 2n
的前 n项.和 解 S n ： 1 2 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 n 2 n 1
1 (1 1 1 1 1 1 )
4 223
n n1
1 (1 1 ) n 4 n 1 4(n 1)
14
五、分组求和法 如果一个数列的通项公式可写成 cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是 等差数列或等比数列或可转化为能 够求和的数列，可采用分组求和法.
15
例、已知等比数{列 an}的前n项和为Sn, a4 2a3, S2 6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{bn}满足:bn an log2 an,求数列 {bn}的前n项和Tn. 解:设数 {an列 }的首项 a1,公 为比q(q为 0) 则 a1q32a1q2
.
.
.
.
.②
①
-②
：1 2
Sn
1 2
2 22
+
2 23
+
2 24
+
+
2 2n
2n 1 2 n1
11+ 1 + 1 + 2 2 22 23
+
1 2 n1
高考数学一轮总复习第六章数列第四节数列求和课件
1
1 +1
T
+2×
+…+(n-1)·
+n·
,
n=1×
2
2
2
2
2
1 1- 1
2
2
1
③-④得,2Tn=
1
12
1
∴Tn=2-(2+n)·2 .
1 +1
-n·2
,
③
④
技巧点拨错位相减求和法的方法步骤
设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公
比为q(q≠1)的等比数列.则错位相减求和法的步骤如下.
第六章
第四节 数列求和
课标
解读
1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.
2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和
法、并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题.
强基础 增分策略
知识梳理
数列求和的常用方法
1.公式法
(1 + )
(-1)
(1)等差数列前 n 项和公式 Sn=
bn= 3 ,证明:b1+b2+…+bn<8.
证明(1)因为
所以
3
3
a1=4,an+1=1+2 ,
3 1
3 2
a2=
>0,a3=
>0,…,
1+2 1
1+2 2
以此类推可知,对任意的 n∈N*,an>0,
由已知得
1
1
+1
=
2 +1
1
1 +1
T
+2×
+…+(n-1)·
+n·
,
n=1×
2
2
2
2
2
1 1- 1
2
2
1
③-④得,2Tn=
1
12
1
∴Tn=2-(2+n)·2 .
1 +1
-n·2
,
③
④
技巧点拨错位相减求和法的方法步骤
设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公
比为q(q≠1)的等比数列.则错位相减求和法的步骤如下.
第六章
第四节 数列求和
课标
解读
1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.
2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和
法、并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题.
强基础 增分策略
知识梳理
数列求和的常用方法
1.公式法
(1 + )
(-1)
(1)等差数列前 n 项和公式 Sn=
bn= 3 ,证明:b1+b2+…+bn<8.
证明(1)因为
所以
3
3
a1=4,an+1=1+2 ,
3 1
3 2
a2=
>0,a3=
>0,…,
1+2 1
1+2 2
以此类推可知,对任意的 n∈N*,an>0,
由已知得
1
1
+1
=
2 +1
1
6.4数列求和课件高三数学一轮复习
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解 集为(1，2). (1)求数列{an}的通项公式； 解 设等差数列{an}的公差为d， 因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)， 所以Sa12＝1＋2＝3. 又S2＝2a1＋d，所以a1＝d， 易知a21＝2，所以 a1＝1，d＝1. 所以数列{an}的通项公式为an＝n.
即23Tn＝3111－－3131n－3nn＋1
＝121－31n－3nn＋1，
整理得 Tn＝34－24n×＋33n，
则 2Tn－Sn＝234－24n×＋33n －231－31n＝－3nn<0，故 Tn<S2n.
训练 3 在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1；③a2n＋1＝anan＋2，S2＝ －3，a3＝－4 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答. 问题：已知单调数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足________. (1)求{an}的通项公式；
即aann＋－11＝4，
所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4， 所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1； 由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，
同理可得，a2k＝－2×4k－1 ＝－22k－1(k∈N*). 综上，an＝－2n－1.
数列中的奇偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数 列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确奇偶项问题. (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的 和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解 集为(1，2). (1)求数列{an}的通项公式； 解 设等差数列{an}的公差为d， 因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)， 所以Sa12＝1＋2＝3. 又S2＝2a1＋d，所以a1＝d， 易知a21＝2，所以 a1＝1，d＝1. 所以数列{an}的通项公式为an＝n.
即23Tn＝3111－－3131n－3nn＋1
＝121－31n－3nn＋1，
整理得 Tn＝34－24n×＋33n，
则 2Tn－Sn＝234－24n×＋33n －231－31n＝－3nn<0，故 Tn<S2n.
训练 3 在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1；③a2n＋1＝anan＋2，S2＝ －3，a3＝－4 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答. 问题：已知单调数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足________. (1)求{an}的通项公式；
即aann＋－11＝4，
所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4， 所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1； 由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，
同理可得，a2k＝－2×4k－1 ＝－22k－1(k∈N*). 综上，an＝－2n－1.
数列中的奇偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数 列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确奇偶项问题. (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的 和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
等比数列求和方法.
2.非基本数列求和惯用方法
(1)倒序相加法:假如一个数列{an}前n项中与首末两端等“距离”
两项和相等,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法,如等差数
列前n项和公式即是用此法推导.
2/28
-3知识梳理
考点自测
(2)分组求和法:一个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数
列或可求和数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相
2.在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方
便下一步准确写出“Sn-qSn”表示式.
15/28
-16考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项
为2等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
1 1
1
+1
.(
)
关闭
)
答案
6/28
-7知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
2.若数列{an}通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}前n项和为(
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
)
关闭
2(1-2 )
Sn=
1-2
+
(1+2-1)
2
=2n+1-2+n2.
得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}前n项和为(3n-4)2n+2+16.
2.非基本数列求和惯用方法
(1)倒序相加法:假如一个数列{an}前n项中与首末两端等“距离”
两项和相等,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法,如等差数
列前n项和公式即是用此法推导.
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-3知识梳理
考点自测
(2)分组求和法:一个数列通项公式是由若干个等差数列或等比数
列或可求和数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相
2.在写出“Sn”与“qSn”表示式时,应尤其注意将两式“错项对齐”,方
便下一步准确写出“Sn-qSn”表示式.
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-16考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项
为2等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
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1
+1
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)
关闭
)
答案
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-7知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
2.若数列{an}通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}前n项和为(
A.2n+n2-1
B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
)
关闭
2(1-2 )
Sn=
1-2
+
(1+2-1)
2
=2n+1-2+n2.
得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}前n项和为(3n-4)2n+2+16.
专题2数列的求和课件——高三数学一轮复习
n( n k ) k n n k
1
1
1 1
1
3. 2
(
)
4n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
题型四 裂项相消法
4.
1
n 1 n
n n 1
1
1
5.
( n k n)
n nk k
1
6. log a (1 ) log a (n 1) log a n(a 0且a 1)
a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式； an＝2n－1
bn＝3n－1
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn.
解
由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，
则数列{cn}的前n项和为Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)
n1＋2n－1 1－3n 2 3n－1
1
1
1
1
(
)] =
.
2n 1 2 n 3
6 4n 6
题型四 裂项相消法
练2
[2021·惠州市高三调研考试试题]记Sn为等差数列{an}的前n项和，
若a4＋a5＝20，S6＝48.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
1
(2)设bn＝
，Tn为数列{bn}的前n项和，证明Tn＜ .
+1
3S n 1 (2)1 (2) 2 (2) n 1 n (2) n
n
1
(3
n
1)(
2)
1 (2) n
=
n (2) n . 所以 S n
1
1
1 1
1
3. 2
(
)
4n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
题型四 裂项相消法
4.
1
n 1 n
n n 1
1
1
5.
( n k n)
n nk k
1
6. log a (1 ) log a (n 1) log a n(a 0且a 1)
a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式； an＝2n－1
bn＝3n－1
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn.
解
由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，
则数列{cn}的前n项和为Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)
n1＋2n－1 1－3n 2 3n－1
1
1
1
1
(
)] =
.
2n 1 2 n 3
6 4n 6
题型四 裂项相消法
练2
[2021·惠州市高三调研考试试题]记Sn为等差数列{an}的前n项和，
若a4＋a5＝20，S6＝48.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
1
(2)设bn＝
，Tn为数列{bn}的前n项和，证明Tn＜ .
+1
3S n 1 (2)1 (2) 2 (2) n 1 n (2) n
n
1
(3
n
1)(
2)
1 (2) n
=
n (2) n . 所以 S n
数列求和课件高三数学一轮复习(完整版)
考点一 分组（并项）法求和
【点拨】分组求和法就是对一类既不是（或不明显是）等差数列，也不 是（或不明显是）等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，分为几个 等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.
考点二 裂项相消法求和
考点三 倒序相加法求和
考点四 错位相减法求和
祝你学业有成
2024年5月3日星期五9时47分29秒
6.4 数列求和
【常用结论】
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的著，程大位著，共17卷，书中有这样一个 问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到 其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离 出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为 _____.
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数列求和基本方法
学习内容 ：
1、数列求和的基本方法。 2、数列求和过程中相关的数学思想
学习要求：
1、整理化简数列的通项公式，应 是数列求和首先考虑的问题
2、数列求和的基本方法
学习指导：
化简数列的通项公式，非等差、等 比数列转化为等差、等比数列，把无 规律的求和化为有规律的求和。
求一个数列的前 n 项和的几种常用方法：
分析：1
1 2
1
1 2
3
1 4
3
1 4
5
1 8
5
1 8
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个
首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为12 、
公比为
1 2
的等比数列的和数列。所以它的前n
项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等
比数列的前n项和的和。
解：
Sn
1
1 2
3
1 4
5
1 8
2)
的数列的前n项和
（4）错位相减法:
这种方法是在推导等比数列的前n项和公 式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{an bn}的前n项和sn ，其中{ an }、{ bn }分别
是等差数列和等比数列.
例3 求数列
1 2
，3 ，5 ，7 4 8 16
，，22nn1
的前n项和
分析：该数列可看作等差数列2n 1 等比数列
两式相加(n 得1)C：nn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
（倒序相加法）
1 2n
的积数列
解：
这里等比数列的公比
q
=
1 2
Sn
1 2
3 22
5 23
7 24
2n1 2n
1 2
Sn
1 3 5
22 23 24
2n3 2n
2n1 2n1
两式相减：(1
1 2
)Sn
1 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
)
1
3
5
(2n
1)
1 2
1 4
1 8
1 2n
n(12n1) 2
1 2
(1
1 2n
)
1
1 2
n2
1
1 2n
1
变式练习：
求通项公式为 an 2n 2n 的数列的前n项和
（3）裂 项 相 消 法
顾名思义，“裂项相消法”就是把数 列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为 0达到求和目的的一种求和方法。
3 3n2 3n1
S 解：
11
1
n 14 47 710
1 (3n2)(3n1)
1 3
(1
1 4
1 4
1 7
1 7
1 10
1 3n2
) 1
3n1
1 3
(1
) 1
3 n 1
n 3 n 1
变式练习：
求通项公式为
an
1 n(n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
（2）分组求和法:
有一类数列，既不是等差数列，也不是等 比数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和.
例1
求数列
1
1 2
，3 14
，5 81
，7 116
，9 312
，
的前n项和
所以：
S 1
1
2n 2
（ 12 1
1 2n1
)
1
1 2
2n1 2n1
运算整理得：
Sn
3
2n3 2n
2
变式练习：
a 求通项公式为 n
n 2n
的数列的前n项和
例5.求Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn
的值
解：设
Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
， ， ，， 1 1 1
例2 求数列 14 47 710
1 (3n2)(3n1) 的前n 项和。
分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，
以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变
为公差3，就可以裂项了。
a （ ) 1 n (3n2)(3n1)
11
1
1、运 用 公 式 法 2、分 组 求 和 法 3、裂 项 相 消 法 4、错 位 相 减 法
(1) 公式法:如等差数列和等比数列均可直接套 用公式求和.
等差数列求和公式：S n
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1) d 2
等比数列求和公式：Sn
na1 a1 (1
q
n
学习内容 ：
1、数列求和的基本方法。 2、数列求和过程中相关的数学思想
学习要求：
1、整理化简数列的通项公式，应 是数列求和首先考虑的问题
2、数列求和的基本方法
学习指导：
化简数列的通项公式，非等差、等 比数列转化为等差、等比数列，把无 规律的求和化为有规律的求和。
求一个数列的前 n 项和的几种常用方法：
分析：1
1 2
1
1 2
3
1 4
3
1 4
5
1 8
5
1 8
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个
首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为12 、
公比为
1 2
的等比数列的和数列。所以它的前n
项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等
比数列的前n项和的和。
解：
Sn
1
1 2
3
1 4
5
1 8
2)
的数列的前n项和
（4）错位相减法:
这种方法是在推导等比数列的前n项和公 式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{an bn}的前n项和sn ，其中{ an }、{ bn }分别
是等差数列和等比数列.
例3 求数列
1 2
，3 ，5 ，7 4 8 16
，，22nn1
的前n项和
分析：该数列可看作等差数列2n 1 等比数列
两式相加(n 得1)C：nn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
（倒序相加法）
1 2n
的积数列
解：
这里等比数列的公比
q
=
1 2
Sn
1 2
3 22
5 23
7 24
2n1 2n
1 2
Sn
1 3 5
22 23 24
2n3 2n
2n1 2n1
两式相减：(1
1 2
)Sn
1 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
)
1
3
5
(2n
1)
1 2
1 4
1 8
1 2n
n(12n1) 2
1 2
(1
1 2n
)
1
1 2
n2
1
1 2n
1
变式练习：
求通项公式为 an 2n 2n 的数列的前n项和
（3）裂 项 相 消 法
顾名思义，“裂项相消法”就是把数 列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为 0达到求和目的的一种求和方法。
3 3n2 3n1
S 解：
11
1
n 14 47 710
1 (3n2)(3n1)
1 3
(1
1 4
1 4
1 7
1 7
1 10
1 3n2
) 1
3n1
1 3
(1
) 1
3 n 1
n 3 n 1
变式练习：
求通项公式为
an
1 n(n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
（2）分组求和法:
有一类数列，既不是等差数列，也不是等 比数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和.
例1
求数列
1
1 2
，3 14
，5 81
，7 116
，9 312
，
的前n项和
所以：
S 1
1
2n 2
（ 12 1
1 2n1
)
1
1 2
2n1 2n1
运算整理得：
Sn
3
2n3 2n
2
变式练习：
a 求通项公式为 n
n 2n
的数列的前n项和
例5.求Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn
的值
解：设
Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
， ， ，， 1 1 1
例2 求数列 14 47 710
1 (3n2)(3n1) 的前n 项和。
分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，
以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变
为公差3，就可以裂项了。
a （ ) 1 n (3n2)(3n1)
11
1
1、运 用 公 式 法 2、分 组 求 和 法 3、裂 项 相 消 法 4、错 位 相 减 法
(1) 公式法:如等差数列和等比数列均可直接套 用公式求和.
等差数列求和公式：S n
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1) d 2
等比数列求和公式：Sn
na1 a1 (1
q
n