高三数学一轮复习 数列求和常用方法课件

分析：1
1 2
1
1 2
3
1 4

3
1 4
5
1 8

5
1 8
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个
首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为12 、
公比为
1 2
的等比数列的和数列。所以它的前n
项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等
比数列的前n项和的和。
解：
Sn

1
1 2

3
1 4
5
1 8
)
1 q

a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
（2）分组求和法:
有一类数列，既不是等差数列，也不是等 比数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和.
例1
求数列
1
1 2
，3 14
，5 81
，7 116
，9 312
，
的前n项和
1、运 用 公 式 法 2、分 组 求 和 法 3、裂 项 相 消 法 4、错 位 相 减 法
(1) 公式法:如等差数列和等比数列均可直接套 用公式求和.
等差数列求和公式：S n

n(a1 an ) 2

na1

n(n 1) d 2
等比数列求和公式：Sn


na1 a1 (1
q
n
1 2n
的积数列
解：
这里等比数列的公比
q
=
1 2
Sn

1 2

3 22

5 23

7 24

2n1 2n
1 2
Sn

1 3 5
22 23 24
2n3 2n
2n1 2n1
两式相减：(1
1 2
)Sn

1 2

2 22

2 23

2 24

2 2n

2n1 2n1
(2n 1
1 2n
)

1
3

5

(2n
1)

1 2

1 4

1 8

1 2n
n(12n1) 2
1 2
(1
1 2n
)
1
1 2
n2
1
1 2n
1
变式练习：
求通项公式为 an 2n 2n 的数列的前n项和
（3）裂 项 相 消 法
顾名思义，“裂项相消法”就是把数 列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为 0达到求和目的的一种求和方法。
两式相加(n 得1)C：nn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
（倒序相加法）
数列求和基本方法
学习内容 ：
1、数列求和的基本方法。 2、数列求和过程中相关的数学思想
学习要求：
1、整理化简数列的通项公式，应 是数列求和首先考虑的问题
2、数列求和的基本方法
学习指导：
化简数列的通项公式，非等差、等 比数列转化为等差、等比数列，把无 规律的求和化为有规律的求和。
求一个数列的前 n 项和的几种常用方法：
， ， ，， 1 1 1
例2 求数列 14 47 710
1 (3n2)(3n1) 的前n 项和。
分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，
以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变
为公差3，就可以裂项了。
a （ ) 1 n (3n2)(3n1)
11
1
所以：
S 1
1
2n 2
（ 12 1
1 2n1
)
1
1 2
2n1 2n1
运算整理得：
Sn
3
2n3 2n
2
变式练习：
a 求通项公式为 n

n 2n
的数列的前n项和
例5.求Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn
的值
解：设
Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
2)
的数列的前n项和
（4）错位相减法:
这种方法是在推导等比数列的前n项和公 式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{an bn}的前n项和sn ，其中{ an }、{ bn }分别
是等差数列和等比数列.
例3 求数列
1 2
，3 ，5 ，7 4 8 16
，，22nn1
的前n项和
分析：该数列可看作等差数列2n 1 等比数列
3 3n2 3n1
S 解：
11
1
n 14 47 710
1 (3n2)(3n1)
Hale Waihona Puke Baidu
1 3
(1
1 4

1 4

1 7

1 7

1 10

1 3n2

) 1
3n1

1 3
(1
) 1
3 n 1
n 3 n 1
变式练习：
求通项公式为
an

1 n(n