高三数学 教案 平面向量复习课资料
(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案
平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。
高考数学第二轮专题复习平面向量教案
高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一.考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二.知识梳理1. 向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量(共线向量)，相等向量，向量的模等。
2. 向量的基本运算(1)向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设 a =(x i,y”, b =(X2,y2)则a+b=(x i+X2,y i+y2) a-b=(x i- X2,y i-y 2)(2)平面向量的数量积：a *b=a b cos日设 a =(x i,y i), b =(X2,y2)贝U a • b=x i X2+y i y2r(3)两个向量平行的充要条件一：// 一"二入:-若-i =(x i,y i), " =(x2,y 2)，贝U ：i // : - x i y2-X2y i=0r ‘r r3. 两个非零向量垂直的充要条件是一；丄一；• 1 =0f设」=(x i,y i)，- =(x2,y 2)，则富丄1 x i X2+y i y2=0三.教学过程(一)基础知识训练1. 下列命题正确的是( )(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若AB二a，FA二b，则BC -( )1 1 1(A) 一(a -b) (B) 一(a - b) (C) a —b (D) 一a - b2 2 23. 已知向量e10，「- R， a = ej • ' e2, b =2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是( )(A) ' =0 (B) e? =0 (C) e i // e2 (D) e“ // e?或，=04.若向量a=(—1,x) , b=(—x,2)共线且方向相同，x= ____________________ 。
高三数学一轮复习教案――平面向量(附高考分类汇编)
高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。
a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
平面向量复习教案
平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。
6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。
7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。
2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。
人教高中数学必修二B版《平面向量及其线性运算》平面向量初步说课教学课件复习(向量的概念)
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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②字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联
系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与
终点表示向量，如A→B，C→D，E→F等．
(2)两种向量表示方法的作用
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中可以看成是向量的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．
栏目 导引
第六章 平面向量初步
关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的 课件
【解】 (1)可以写出 12 个向量，分别是：A→B，A→C，A→D，B→C，
B→D，C→D，B→A，C→A，D→A，C→B，D→B，D→C，故填 12.
(2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距 课件
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6．1 平面向量及其线性运算 6．1.1 向量的概念
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第六章 平面向量初步
考点
学习目标
理解向量的有关概念及向量的几 向量的概念
何表示
高三数学复习教案设计： 《平面向量》
人类的心正是凭借着希望而得到宽慰，一直生活到生命的最后时刻。
下面是为您推荐高三数学复习教案设计：《平面向量》。
【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.【考点指津】1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念.2.掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.【知识在线】1.（2a 8b）-（4a-2b）=2.在△ABC中，BC→=a，CA→=b，则AB→=3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30o走3km，则a b表示的意义为4.画出不共线的任意三个向量，作图验证a-b-c=a-（b c）.5.向量a、b满足|a|=8，|b|=10，求|a b|的最大值、最小值.【讲练平台】例1 化简以下各式：①AB→ BC→ CA→ ；②AB→ -AC→ BD→ -CD→ ；③OA→ -OD→ AD→ ；④NQ→ QP→ MN→ -MP→ .结果为0的个数为（）分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.答 D.点评本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB→=-BA→ ，CB→=AB→ .变题作图验证A1A2→ A2A3→ A3A4→ … An-1An→=A1An→ （n≥2，n∈N）.例2 如图，在δABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→ ，CE→ .分析本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .解AB→=AC→ CB→=-3a 2b，因D、E为AB→ 的两个三等分点，故AD→=AB→=-a b=DE→ ，CD→=CA→ AD→=3a-a b=2a b，CE→=CD→ DE→=2a b-a b=a b.点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→=mPA→ nPB→ ，且m n=1.分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得AC→=λAB→ .很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用PC→=PA→ AC→ 来转化，以便进一步分析求证.证明充分性，由PC→=mPA→ nPB→ ， m n=1，得PA→ AC→=mPA→ n（PA→ AB→ ）=（m n）PA→ nAB→=PA→ nAB→ ，∴AC→=nAB→ .∴A、B、C三点共线.必要性：由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→=λAB→ ，即AP→ PC→=λ（AP→ PB→ ）.PC→=（λ-1）AP→ λPB→=（1-λ）PA→ λPB→ ，m=1-λ，n=λ，m n=1，PC→=mPA→ nPB→ .点评逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.变题在δA BC 所在平面上有一点P ，满足PA→ PB→ PC→=AB→ ，试确定点 P的位置.答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点（距 A点较近）例4 （1）若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA→ OB→ OC→=0；（2）若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA→ OB→ OC→ OD→=0；（3）若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA→ OB→ OC→ OD→ OE→=0.若 O为正n边形A1A2A3…A n的中心，OA1→ OA2→ OA3→ …OAn→=0 还成立吗？说明理由.分析本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似.正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2→ A2A3→ A3A4→ … An-1An→ AnA1→=0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢？运用向量相等的定义试试看.解证（3）以 A为起点作AB′→=OB→ ，以B′为起点作B′C′→=OC→ ，以C′为起点作C′D′→=OD→ ，以D′为起点作D′E′→=OE→ .∵∠AOB=72o，∴∠OAB′=108o.同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，故E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.OA→ OB→ OC→OD→ OE→=OA→ AB′→ B′C′→ C′D′→D′E′→=0.正三角形，正方形、正n边形可类似获证.点评本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA→ OB→ 与OC→ OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.【知能集成】1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.【训练反馈】1.下列各式正确的是：（）A.∣a-b∣≤∣a∣ ∣b∣B. a b∣>∣a∣ ∣b∣C.∣a b∣>∣a-b∣D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣2.下面式子中不能化简成AD→ 的是（）A.OC→ -OA→ C D→B.PB→ -DA→ -BP→C.AB→ -DC→ BC→D.（AD→ -BM→ ）（BC→ -MC→ ）3.正方形ABCD的边长为1，AB→=a，BC→=b，AC→=c，则a b c、a-b c、-a-b c 的摸分别等于 .4.设a、b 为已知向量，若3x 4y=a，2x-3y=b ，则 x=.y=.5. 已知 e1、e2 不共线，AB→=2e1 ke2，CB→=e1 3e2，C D→=2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→=a，OE→=b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为（），-b-a，-a B. b，-a，b-a，a，，-a，a b7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→=，则P在（）A.∠AOB的平分线所在直线上B. 线段AB的中垂线上C. AB边所在的直线上D. AB边的中线上.9.设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P为任意点，求证：PA1→ PA2→ PA3→ … PAn→=nPO→ .10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶BC→=2∶3，OA→=a，OB→=b，OC→=c，则OP→ ，OQ→ .为△ABC所在平面内一点，PA→ PB→ PC→=0 ，则P为△ABC的（）A.重心B.垂心C. 内心D.外心12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF→=（AB→DC→ ）.第30课向量的坐标运算【考点指津】1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.【知识在线】1. 若向量a的起点坐标为（-2，1），终点坐标为（2，-1），则向量a的坐标为2.若O为坐标原点，向量a=（-3，4），则与a共线的单位向量为3.已知a=（-1，2），b=（1，-2），则a b与a-b的坐标分别为（）A.（0，0），（-2，4）B.（0，0），（2，-4）C.（-2，4），（2，-4）D.（1，-1），（-3，3）4.若向量a=（x-2，3），与向量b=（1，y 2）相等，则（）A. x=I，y=3，B. x=3，y=1C. x=1，y=-5D. x=5，y=-15.已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点.（1）求证四边形ABCD为平行四边形；（2）试判断AM→ 、CN→ 是否共线？为什么？【讲练平台】例1 已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka b与a-3b平行？分析已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.解由已知a=（1，2），b=（-3，2），得a-3b=（10，-4）， ka b=（k-3，2k 2）.因（ka b）∥（a-3b），故10（2k 2） 4（k-3）=0.得k=- .点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.例2 已知向量a=（，），b=（-1，2），c=（2，-4）.求向量d，使2a，-b c及4（c-a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.分析四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d （x，y）的方程组，不难求得x、y.简解设向量d的坐标为（x，y），由2a （-b c） 4（c-a） d=0，可解得d=（-9，23）.点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.例3 已知平面上三点P（2，1），Q（3，-1），R（-1，3）.若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.简解设S的坐标为（x，y）.（1）当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，若PQ→=RS→ ，则（3，-1）-（2，1）=（x 1，y-3），即（1，-2）=（x 1，y-3），得S点坐标为（0，1）.若PQ→=SR→ ，则S点坐标为（-2，5）.（2）当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，若PR→=SQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PR→=QS→ ，则S点的坐标为（0，1）.（3）当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，若PS→=RQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PS→=QR→ ，则S点的坐标为（-2，5）.综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，-3），（-2，5）.点评本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.例4 向量PA→=（k，12），PB→=（4，5），PC→=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线.分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→=λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.解AB→=PB→ -PA→=（4-k，-7），BC→=PC→ -PB→=（6，k-5）.当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→=λBC→ ，将坐标代入，得4-k=6λ，且 -7=λ（k-5），故（4-k）（k-5）=-42.解得k=11，或k=-2.点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.变题求证：互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1）.证明必要性（略）.充分性若（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1），由A、B、C互不重合，得（x2-x1）、（y3-y1）、（x3-x1）、（y2-y1）中至少有一个不为零，不妨设x3-x1≠0.令x2-x1=λ（x3-x1），若λ=0，则x2-x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）.而已知等式不成立，故λ≠0.于是（x3-x1）（y2-y1）=λ（x3-x1）（y3-y1）.因x3-x1≠0 ，故（y2-y1）=λ（y3-y1）.于是（x2-x1，y2-y1）=λ（x3-x1，y3-y1），即AB→=λAC→ ，且AC→ ≠0 .又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.【知能集成】基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类讨论思想.【训练反馈】1.若a=（2，3），b=（4，y-1），且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D. 82.已知点B的坐标为（m，n），AB→ 的坐标为（i，j），则点A的坐标为（）A.（m-i，n-j）B.（i-m，j-n）C.（m i，n j）D.（m n，i j）3.若A（-1，-1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x=.4.已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a-3b平行的单位向量为5.有下列说法① 已知向量PA→=（x，y），则A点坐标为（x，y）；② 位置不同的向量，其坐标有可能相同；③ 已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i-4j ；④ 设a=（m，n），b=（p，q），则a=b的充要条件为m=p，且n=q.其中正确的说法是（）A.①③B.①④C.②③D.②④6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是（）A.a=（-1，2），b=（0，5）B.a=（1，2），b=（2，1）C.a=（2，-1）b=（3，4）D.a=（-2，1），b=（4，-2）7.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=（3，-2），用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa qb，则（）A.p=4， q=1B.p=1， q=-4C.p=0 ， q=4D.p=1， q=48.设i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形ABCD中，AC→=4i 2j，BD→=2i 6j，则AB→ 的坐标为 .9.已知3s inβ=sin（2α β），α≠kπ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan （α β）），b=（1，tanα），求证：a∥b.10.已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标（x，y）.11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→=OA→ tAB→ .（1）当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？（2）当t取何值时，点P在y轴上？（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由.第31课平面向量的数量积【考点指津】1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.3. 掌握向量垂直的条件.【知识在线】1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a？b=-6，则a与b的夹角等于（）A.150o B 120o C.60o D.30 o2.若a=（-2，1），b=（1，3），则2a2-a？b=（）A，3.已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量2i j垂直的一个向量为（）A. 2i-jB. i-2jC. i jD. i-j4.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，且c⊥a，则C点坐标为5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60o，∣ka-2b∣=13，求k的值【讲练平台】例1 （1）在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ？BC→（2）若a=（3，-4），b=（2，1），试求（a-2b）？（2a 3b）分析（1）中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式a？b=|a||b|cosθ求解.（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a？b，也可求a-2b与2a 3b 的坐标，进而用（x1，y1）？（x2，y2）=x1x2 y1y2求解.解（1）在△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC=，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π-∠ABC，∴AB→ ？BC→=-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3×=-9.（2）解法一 a-2b=（3，-4）-2（2，1）=（-1，-6），2a-3b=2（3，-4） 3（2，1）=（12，-5），（a-2b）？（2a 3b）=（-1）×12 （-6）×（-5）=18.解法二（a-2b）？（2a 3b）=2a2-a？b-6b2=2[32 （-4）2]-[3×2 （-4）×1]-6（22 12）=18.点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1）中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a？（b c）=a？b b？c，而（a？b）c≠a（b？c）.例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2 BC2=OB2 CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .分析要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ ？OC→=0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→=AO→ OB→ 代换，于是只需证AO→ ？OC→=BO→ ？OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.证明由已知得OA→ 2 BC→ 2=OB→ 2 CA→ 2，即OA→ 2 （BO→OC→ ）2=OB→ 2 （CO→ OA→ ）2，整理得AO→ ？OC→=BO→ ？OC→ ，即OC→ ？（BO→ OA→ ）=0，故OC→ ？AB→=0.所以AB→ ⊥OC→ .点评用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.例3.设OA→=a=（ 1， -1），OB→=b=（，3），试求∠AOB及δAOB的面积.分析已知a、b可以求|a|、|b|及a？b，进而求得∠AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S=∣a∣∣b∣sinθ求面积.解设∠AOB=θ，δAOB的面积为S，由已知得：∣OA→ ∣=∣a∣==2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，∴cosθ===.∴θ=.又S=∣a∣∣b∣sinθ=？2=2 ，即∠AOB=，δAOB的面积为2 .点评向量的数量积公式a？b=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）.变题设δABC的面积为S，AB→=a，AC→=b，求证S=例4.已知a与b都是非零向量，且a 3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.分析要求夹角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a？b与∣a∣∣b∣的比值（不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值）.由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a？b的关系.解∵（a 3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），∴ （a 3b）？（7a-5b）=0，（a-4b）？（7a-2b）=0.即 7a2 16a？b-15b2=0，7a2-30a？b 8b2=0.两式相减，得 b2=2a？b.故 a2=b2 ，即∣a∣=∣b∣.∴cosθ==.∴θ=60o ， a与b的夹角为60o .点评从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a？b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.在本题求解过程中注意，b2=2a？b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.【知能集成】基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.【训练反馈】。
高中数学平面向量系列复习教案4
第四教时教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：一、 复习：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走23km解：OB = OA +AB233322=+=OB (km ) 例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则： AB = AO +OB ,由已知：AO =OC ∴AB =DC 即AB 与CD 平行且相等∴ABCD 为平行四边形例三、在正六边形中，若OA = a , OE = b ，试用 向量a 、b 将OB 、OC 、OD 解：设正六边形中心为P 则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a =+=PC OP OC a + b + a + b由对称性：OD = b + b + a二、有时间可处理“备用题”：例一、化简FA BC CD DF AB ++++解：FA BC CD DF AB ++++= FA DF CD BC AB ++++=FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=FA AF += 0B a +b bCC E F例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30︒夹角，即指向河的上游。
三、作业：上述三课中的练习部分（选）B游下游。
(新人教A)高三数学教案《平面向量》复习
高三数学（第13讲）主讲教师：孙福明主审教师：高三数学组一、本讲进度《平面向量》复习二、本讲主要内容1、向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用三、学习指导1、向量是数形结合的典范。
向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。
在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA+→--OB=→--OC→--OB-→--OA=→--AB记→--OA=(x1,y1)，→--OB=(x1,y2)则→--OA+→--OB=(x1+x2,y1+y2)→--OB-→--OA=（x2-x1,y2-y1）→--OA+→--AB=→--OB实数与向量的乘积→--AB=λ→aλ∈R记→a=(x,y)则λ→a=(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 23、运算律加法：→a +→b =→b +→a ，(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )实数与向量的乘积：λ(→a +→b )=λ→a +λ→b ；(λ+μ)→a =λ→a +μ→a ，λ(μ→a )= (λμ) →a两个向量的数量积：→a ·→b =→b ·→a ；(λ→a )·→b =→a ·(λ→b )=λ(→a ·→b )，(→a +→b )·→c =→a ·→c +→b ·→c说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(→a ±→b )2=22b b a 2a →→→→+⋅±4、重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果1e →+2e →是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量→a ，有且只有一对数数λ1，λ2，满足→a =λ11e →+λ22e →，称λ11e →λ+λ22e →为1e →，2e →的线性组合。
平面向量复习教案
平面向量复习教案（精品）一、本章的知识提炼 （一）、向量的概念1．向量的表示方法：（1）几何表示法：用有向线段表示 （2）字母表示法：（3）坐标表示法：),(y x a=2．向量的长度（模）（1≤±≤ （2）模的坐标表示：设),(y x =22y x +=3．两个特殊向量：（1）零向量：长度为0的向量，其方向任意 （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量坐标表示：)sin ,(cos ,1),,(22θθ==+=y x y x 或且 与向量),(y x a =),(2222yx y yx x ++=4．向量之间的关系： （1）相等向量 （2）相反向量（3）两个向量平行（共线）的充要条件：①字母表示（向量式）：λλ=⇔≠，使得有且只有一个实数)(// ②坐标表示：若0//),,(),,(12212211=-⇔≠==y x y x y x y x 则其中 （4）两个非零向量垂直的充要条件：①字母表示（向量式）：0=⋅⇔⊥b a b a②坐标表示：0),,(),,(21212211=+⇔⊥==y y x x y x y x 则（5）两个非零向量的夹角：）（001800≤≤θ①当与01800==θθ与⊥=时反向；当090θ②夹角公式：222221212121cos y x y x y y x x +++==θ（二）向量的运算（三）、向量的应用 1.212212)()(y y x x -+-=2．线段的定比分点：（1）若),,(),,(),,(222111y x p y x p y x p p 分有向线段21p p 所成的比为λ，则 ①向量公式：21pp p λ=②坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 当1=λ时为中点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x③三角形中的定比分点：21P OP ∆中，λλ++=121OP OP OP（2）ABC ∆重心坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x3．平移：（1）点平移：若点P 按向量),(k h =平移至P /（（x /,y /）,则有平移公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=k y y hx x //（2）图象平移：将函数)(x f y =的图象F 按),(k h a =平移，得到F /，则F /所对应的函数解析式为k h x f y +-=)(二、高考考点分析及复习建议：（一）考试内容：向量，向量的加法和减法，实数与向量的积，平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦余弦定理。
平面向量复习高中数学会考复习课件及教案
平面向量复习教学目标：1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点积。
3. 能够应用向量的知识解决实际问题。
教学重点：1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的运算规则。
教学难点：1. 向量的运算规则的理解和应用。
教学准备：1. 教案和课件。
2. 黑板和粉笔。
教学过程：第一章：平面向量概念及表示方法1.1 向量的定义1. 引入向量的概念，引导学生理解向量的定义。
2. 通过示例说明向量的表示方法，包括箭头表示法和坐标表示法。
1.2 向量的性质1. 引导学生学习向量的性质，如方向、长度、相等性、相反性等。
2. 通过示例讲解向量的性质，并让学生进行练习。
第二章：平面向量的运算规则2.1 向量加法1. 引导学生理解向量加法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量加法的运算方法，并让学生进行练习。
2.2 向量减法1. 引导学生理解向量减法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量减法的运算方法，并让学生进行练习。
第三章：平面向量的数乘3.1 数乘向量1. 引导学生理解数乘向量的定义和规则。
2. 通过示例讲解数乘向量的运算方法，并让学生进行练习。
3.2 数乘向量的应用1. 引导学生学习数乘向量的应用，如向量的大小、方向等。
2. 通过示例讲解数乘向量的应用，并让学生进行练习。
第四章：平面向量的点积4.1 点积的定义和性质1. 引导学生理解点积的定义和性质。
2. 通过示例讲解点积的运算方法，并让学生进行练习。
4.2 点积的应用1. 引导学生学习点积的应用，如向量的垂直性、夹角等。
2. 通过示例讲解点积的应用，并让学生进行练习。
第五章：平面向量的应用5.1 向量在几何中的应用1. 引导学生学习向量在几何中的应用，如向量的加法、减法、数乘和点积。
2. 通过示例讲解向量在几何中的应用，并让学生进行练习。
5.2 向量在物理中的应用1. 引导学生学习向量在物理中的应用，如速度、加速度等。
平面向量运算复习课教案
平面向量运算复习课教案一、知识概述1.向量的定义平面向量平面向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
2.向量的表示向量有多种表示方法，常用的有以下几种：- 以带箭头的有向线段表示，箭头所指的方向为向量的方向；- 以字母表示；- 以坐标形式表示。
3.向量的运算加法- 几何意义：将两个向量的初点合并，终点相连得到一个新向量；- 可以满足交换律和结合律。
减法- 几何意义：将被减向量平移至与减向量重合，然后连接两个向量的起点和终点来得到一个新向量；- 等价于加上对应的相反向量。
数乘- 几何意义：将向量的长度乘上一个实数得到一个与原向量方向相同或相反的向量，当实数为负时，向量方向相反；- 支持分配律和结合律。
数量积- 几何意义：两个向量的数量积是一个标量，它等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上的投影长度；- 支持交换律和分配律。
二、教学目标- 理解向量的定义和表示方法；- 掌握向量的加、减和数乘运算；- 熟悉向量的数量积及其应用。
三、教学重点和难点1.教学重点- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
2.教学难点- 向量的数量积的理解和应用。
四、教学方法- 以例题带动思考；- 鼓励学生自主思考，课后布置练。
五、教学过程1.引入- 向学生提出问题：有两个向量 a 和 b，如何求它们的和？- 让学生自由讨论一段时间，然后引出向量的加法运算。
2.讲解向量的加法、减法和数乘运算- 通过几何图形演示，讲解向量加法、减法和数乘的定义、性质和计算方法。
3.讲解向量的数量积- 通过几何图形演示，讲解向量数量积的定义和计算方法；- 通过例题，讲解向量数量积的性质和应用。
六、教学效果评估1.课堂测验- 布置一些选择题和填空题，考察学生对向量的定义、表示、运算和数量积的掌握情况。
2.作业- 布置一些练题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用。
七、板书设计- 向量的定义；- 向量的表示；- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
高考数学知识点《平面向量》复习教案
届高考数学知识点《平面向量》复习教案【小编寄语】小编给大家整理了届高考数学知识点《平面向量》复习教案，希望能给大家带来帮助!平面向量的坐标运算一.复习目标：1.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件;2.学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。
二.主要知识：1.平面向量坐标的概念;2.用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等;3.会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题.三.课前预习：1.若向量 ,则 ( )2.设四点坐标依次是，则四边形为 ( )正方形矩形菱形平行四边形3.下列各组向量，共线的是 ( )4.已知点 ,且有 ,则。
5.已知点和向量 = ,若 =3 ,则点B的坐标为。
6.设 ,且有 ,则锐角。
四.例题分析：例1.已知向量，，且，求实数的值。
小结：例2.已知，(1)求 ;(2)当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向?小结：例3.已知点 ,试用向量方法求直线和 ( 为坐标原点)交点的坐标。
小结：例4.已知点及 ,试问：(1)当为何值时, 在轴上? 在轴上? 在第三象限?(2)四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由。
小结：五.课后作业：班级学号姓名1. 且，则锐角为 ( )2.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则，其中 ( )2 -23.已知向量且，则 = ( )(A) (B) (C) (D)4.在三角形中，已知，点在中线上，且，则点的坐标是 ( )5.平面内有三点，且∥ ，则的值是 ( )1 56.三点共线的充要条件是 ( )7.如果 , 是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 ( )若实数使，则空间任一向量可以表示为，这里是实数对实数，向量不一定在平面内对平面内任一向量，使的实数有无数对8.已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ ____.9.已知，则与平行的单位向量的坐标为。
高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案
1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与表示1.1 向量的定义1.2 向量的表示1.3 向量的几何表示1.4 向量的坐标表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法2.2 向量的减法2.3 向量的数乘2.4 向量的点积2.5 向量的叉积第三章：向量的性质与运算规律3.1 向量的模3.2 向量的方向3.3 向量的单位向量3.4 向量的平行与共线3.5 向量的垂直与正交3.6 向量的运算律第四章：向量的应用4.1 向量在几何中的应用4.2 向量在物理中的应用4.3 向量在计算机图形学中的应用第五章：向量的线性空间与基底5.1 向量空间的概念5.2 向量空间的基底5.3 向量空间的维数5.4 向量空间的线性组合5.5 向量空间的线性变换第六章：向量组的线性相关性6.1 线性相关的定义6.2 线性相关的判定6.3 线性无关的定义6.4 线性无关的判定6.5 向量组的秩第七章：向量空间的标准基底与坐标系7.1 标准基底的概念7.2 标准基底的性质7.3 坐标系的定义7.4 坐标系的转换7.5 向量在坐标系中的表示第八章：向量的线性变换8.1 线性变换的定义8.2 线性变换的性质8.3 线性变换的矩阵表示8.4 线性变换的图像8.5 线性变换的应用第九章：向量组的极大线性无关组9.1 极大线性无关组的定义9.2 极大线性无关组的判定9.3 极大线性无关组的性质9.4 极大线性无关组与基底的关系9.5 极大线性无关组的应用第十章：向量代数在实际问题中的应用10.1 向量代数在物理学中的应用10.2 向量代数在工程学中的应用10.3 向量代数在计算机科学中的应用10.4 向量代数在经济学中的应用10.5 向量代数在其他领域中的应用重点和难点解析一、向量的概念与表示补充说明：向量的定义是本节课的基础，理解向量是具有大小和方向的量，能在物理、几何等多个领域中表示各种对象。
向量的几何表示是通过箭头表示向量的大小和方向，坐标表示则是将向量的大小和方向用数对的形式表示出来。
高三数学第一轮复习教案(平面向量4)
4.3 平面向量的数量积教学内容：平面向量的数量积（2课时）教学目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的运算及其应用（解决有关长度、角度和垂直的问题）． 教学难点：平面向量数量积的几何意义．教学用具：三角板教学设计：一、知识要点1.平面向量的数量积的定义（1）向量的夹角：已知两个非零向量，，过O 点作=，=，则θ=∠AOB )1800(︒≤≤︒θ叫做向量，的夹角. 当且仅当两个非零向量，同向时，︒=0θ；当 且仅当两个非零向量，反向时，︒=180θ；当且仅当两个非零向量，的夹角︒=90θ 时，称与垂直，记作⊥.注：两个向量a ，b 平移成有公共起点时两个向量所成的角才是向量的夹角；要注意它的取值 范围是︒≤≤︒1800θ；零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.（2）向量的数量积：两个非零向量，的夹角为θ，则θcos ||||b a 叫做向量，的数量积（或内积），记作⋅.（3）向量数量积的几何意义：θcos ||b 叫做在方向上的投影，⋅等于的长度与在 a 方向上的投影的乘积.2.注：)(⋅⋅≠； 消去律不成立，即由⋅=⋅不能得到=；此外由0=⋅也不能得到0=或0=.3. 重要定理、公式的坐标表示二、典型例示例1已知3||=，2||=，与的夹角为︒135，求⋅；)()(-⋅+；2)2(+； )()2(-⋅+；)2()(-⋅+.注：数量积的计算是基本的技能，在展开时与多项式乘法类似（乘法公式仍然适用），但与乘法的法则比较，数量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦..例2（1）设a ，b 满足1||||==b a ，a 与b 的夹角为︒60，求b a a a ⋅+⋅和|2|b a -；（2）已知两个单位向量a 与b 的夹角为︒120，若b a c -=2，a b d -=3，求c 与d 夹 角的余弦；（4）已知3||=，5||=，12=⋅，求向量在向量方向上的投影.注：本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题（数量积的计算及有关长度、角 度），体现了向量的工具性，要切实把握好解决这些问题的基本方法；其中角度的计算是以数 量积和向量长度的计算为基础的.例3（1）已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角都是︒120， 求证：⊥-)(；（2）设，满足3||=a ，4||=b ，6=⋅，若向量k +与k -互相垂直，求 实数k 的值（是否存在实数k ，使得向量k +与k -互相垂直？说明理由）. （3）若a r ,b r 是两个非零向量，且3+与57-垂直，4-与27-垂直，试求 a 与b 的夹角.注：向量垂直的充要条件的应用是重要而且关键的知识点，需要通过举一反三的方式训 练落实，这里根据向量满足的不同条件列出方程（组）求解是确定参数值的基本方法.例4 已知2||=a ，3||=b ，与的夹角为︒45，求当向量k +与k +的夹角是 钝角时，实数k 的取值范围.解：由已知得345cos 23=︒=⋅，因为向量k +与k +的夹角是钝角，所以 0)()(<+⋅+b a k b k a ①， 且k +与k +不反向共线 ②， 由①得0)1(222<+⋅++b k b a k a k ρρ，即031132<++k k ， 解得6851168511+-<<--k ； 由②得)(b a k b k a +=+λ，有1=k λ且k =λ，解得1±==k λ，则有1-≠λ， 综上所述，当向量k +与k +的夹角是钝角时，实数k 的取值范围是6851168511+-<<--k 且1-≠λ． 注：根据向量满足的不同条件列出不等式（组）求解是确定参数值取值的基本方法；不可 忽略向量的特殊位置关系的探讨.三、课堂练习1. 已知3||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为︒30，则||b a +等于（ ） A. 13 B. 32 C. 5 D. 32. 已知3||=a ，4||=b ，则向量34+与34-的位置关系是（ ）A. 平行B. 夹角为︒45C. 垂直D. 不平行也不垂直3. 设a ，b 满足1||||==b a ，且b a ⊥，若b a 32+与b a k 4-互相垂直，则实数k 的值是（ ） A. 6- B. 6 C. 3 D. 3-4. 若a r ,b r 是两个非零向量，且a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b 的夹角是（ ） A. 6π B. 3πC. 32πD. 65π四、课堂小结 向量的数量积所涉及到的基本问题包括：数量积的计算、有关长度和角度的计算、垂直问题的探讨，体现了向量的工具性.五、课外作业 1．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则 ① ⋅⋅-⋅⋅)()(不与c r 垂直； ②0)()(=⋅⋅-⋅⋅；③||||||-<-；④22||4||9)23()23(-=-⋅+ 中，是真命题的有 （ ）A ． ① ②B ． ② ③C ．③ ④D ． ② ④ 2．已知下列各式：（1）22||a =ρ；（2）a b a b a ρρρρρ=⋅2；（3）2222)(b a ρρ+⋅-=-； （4）222)(b a b a ρρρ⋅=⋅，其中正确的有 （ ）A ． 1个B ．2个C ． 3个D ． 4个 3. 已知a r 、b r 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|3|a b +r r =（ ）.A B C D ．44．已知2||=，5||=，3-=⋅，则||+等于 （ ）A ． 23B ． 35C ．D ．5. 若向量a r 与b r 的夹角为60o ，||4b =r ，72)3()2(-=-⋅+，则向量a r 的模为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 12 6．已知36||=，1||=，9-=⋅，则a r 与b r 的夹角是 （ ）A ． 120︒B ． 150︒C ． 60︒D ． 30︒ 7. 若1||=a ，2||=b ，+=，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 8．已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意R t ∈，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r |，则 （ ） A ．a r ⊥e r B ． a r ⊥(a r －e r ) C ．e r ⊥(a r －e r ) D ． (a r ＋e r )⊥(a r －e r )9．已知8||=，5||=，则||的取值范围是 （ ）A ．]8,3[B ．)8,3(C ．]13,3[D ．)13,3(10. 已知正方形ABCD 的边长为1，=，=，=，则a b c ++r r r 的模等于（ ）A ．0B ．3CD ．11. ABC ∆中，3||=AB ，4||=BC ，5||=AC ，则=⋅+⋅+⋅ . 12．等腰ABC Rt ∆中，2||||==AC AB ，则=⋅. 13．设O 为ABC ∆内一点，⋅=⋅=⋅，则O 是ABC ∆的_______心。
平面向量复习高中数学会考复习课件及教案
平面向量的向量混合积
了解向量混合积的定义，掌握其基本性质。
向量混合积是平面向量的一种重要运算，定义为三个向量的点乘和叉乘的组合。它具有分配律、结合律和数乘性质等基本性质，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
总结词
详细描述
总结词
掌握向量混合积的坐标运算方法。
详细描述
通过坐标运算，可以将向量混合积的计算过程转化为代数运算，从而简化计算过程。具体方法包括利用向量的坐标表示、点乘和叉乘的定义以及向量的基本运算性质进行计算。同时，需要注意坐标的正负号和顺序对结果的影响。
运算律
坐标运算
在平面直角坐标系中，两个向量的坐标形式为(x1,y1)和(x2,y2)，它们的数量积为x1x2+y1y2。
坐标运算的应用
通过坐标运算可以方便地计算向量的数量积，并且可以将其应用于解决实际问题，如物理中的力矩、速度和加速度等。
平面向握向量积的性质。
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平面向量的应用
平面向量可以表示几何中的平行和垂直关系，如向量共线、向量垂直等。
平行与垂直
角度与距离
面积与体积
平面向量可以用来计算几何图形中的角度和距离，如向量的夹角、向量的模等。
平面向量可以用来计算几何图形的面积和体积，如向量的外积、向量的混合积等。
03
02
01
平面向量可以用来表示物理中的力，通过力的合成与分解解决物理问题。
详细描述
向量积是平面向量的一种基本运算，定义为向量A和向量B的模的乘积乘以两向量夹角的正弦值。向量积具有一些重要的性质，如反交换律、分配律等。了解这些性质对于理解和应用向量积非常重要。
VS
理解向量积的几何意义，掌握向量积的运算律。
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平面向量复习课
中山市实验高中高三数学备课组 2019。
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一．考试要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理
1．向量的概念：
向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)
(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ
设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2
（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0 设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程
（一）基础知识训练
1.下列命题正确的是 （ ）
)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线
2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）
)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +2
1
3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）
)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ
4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
（二）．典例分析
例1：（1）设a 与b 为非零向量，下列命题：
①若a 与b 平行，则a 与b 向量的方向相同或相反；
②若,, AB a CD b ==a 与b 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ③若a 与b 共线，则a b a b +=+；④若a 与b 反向，则a a b b
=-
其中正确命题的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（2）下列结论正确的是 （ ） （A ）a b a b = （B ）a b a b -<- （C ）若()()0a b c c a b -= （D ）若a 与b 都是非零向量，则a b ⊥的充要条件为a b a b +=-
错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。
分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。
共线向量（a 与b 共线）的充要条件中所存在的常数λ可看作为向量b 作伸缩变换成为另一个向量a 所作的伸缩量；若a ，b 为非零向量，则共线的a 与b 满足a 与b 同向时
b a a b =，a 与b 反向时b a a b =-。
第（2）小题中，正确答案为（D ）。
学生的错误多为与实数运算相混淆所致。
选择支D 同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。
例2 设a 、b 是两个不共线向量。
AB=2a +k b BC=a +b CD=a -2b A 、B 、D 共线则k=_____(k ∈R) 解：BD=BC+CD=a +b +a -2b =2a -b 2a +k b =λ(2a -b )=2λa -λb ∴ 2=2λ且 k=-λ ∴ k=-1
例3 梯形ABCD ，且|AB|=2|DC|,M 、N 分别为DC 、AB 中点。
AB=a AD=b 用a ，b 来标DC 、BC 、MN 。
解：DC= 21AB=2
1
a
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a + 21a =b - 2
1
a
MN=DN-DM=21a-b -41a = 4
1
a-b
例4 |a |=10 b =(3,-4)且a ∥b 求a
解：设a =(x,y)则 x 2+y 2=100 （1） 由a ∥b 得 -4x-3y=0 （2）
解（1）（2）得 x=6 y=-8 。
或 x=-6 y=8
∴ a =(6,-8)或(-6,8) 四． 归纳小结
1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形
中发现向量间的关系。
2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意
零向量与任何向量共线这一情况。
要善于运用待定系数法。
五．作业：
1、下列命题正确的是（ ）
A ．若0||=，则0=a
B ．若||||=，则b a =或b a -=
C ．若||，则||||=
D ．若=，则=-
2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ）
A ．)2,1(
B ．)2,2(
C ．)1,2(
D ．)2,2(--
3、设)0(||>=m m ，与a 反向的单位向量是0b ，则a 用0b 表示为
A ．0b m =
B ．0b m -=
C ．01b m =
D ．01
b m
-=
4、D 、E 、F 分别为ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，下列命题中正确命题的个数是（ ）
①b a AD --=21；②b a BE 21+=；③b a CF 2
1
21+-=；
④=++。
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5、化简：--+=__________。
6、已知向量)2,1(,3==b a
，且b a ⊥，则a 的坐标_____________。
7、若()
0,2,122=⋅-==a b a b a
，则b a 与的夹角为______________。
8、已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a
其中
求 （1）b a b a
+⋅;的值； （2）a 与b 的夹角。
9、如果向量a 与b ，c 的夹角都是︒60，而c b ⊥，且1||||||===c b a ，求
)()2(c b c a +•-的值。
10、如图，设O 为ABC ∆内一点，PQ ∥BC ，且
t BC
PQ
=，=OA a ，=OB b ，=OC c ，试用a ，b ，c 表示OQ OP ,． 答案
基础知识训练：D ，C ，D ，2
达标练习： D ，B ，B ，D ， 5，0； 6，（556，—5
5
3），（—
556，5
5
3） 7，450， 8，(1)a •b=10, b a +=52 (2) θ=arccos 221
10
9,-1 10,OP =(1-t)a +t b , OQ =(1-t)a +t b。