有限元分析第三章

由此可知，两个主应力就是正应力的最大和最小 值。
过一点任意斜面的应力极值
再求切应力的极值。 将sx=s1，sy=s2 ，txy=0代入切应力公式（2－5）， 并利用两个方向余弦的平方和为1，得

由此可知，当 l2=0.5 ，s1≥s2 时，切应力的最大和 最小值如下，其作用平面的法线方向与x轴和y轴成 45°角：
3、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但 是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽 然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而 不是精确的。 而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的， 因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论 也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学 解答的精确程度，并确定它们的适用范围。
n x y
平面AB上的切应力tn即为
上面所求的全应力P向切线方 向的投影： t n mpx lp y 或
2 2 2 t n px py s n
过一点任意斜面的主应力与主方向 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求
此斜面上的主应力s和应力主方向a ？ 设如图所示的斜面上切应 力为0，则该面上的全应力等 于正应力，也等于主应力， 于是有 p x s nl sl
t xy l (s y s )m 0
2 xy
s (s x s y )s (s xs y t ) 0
展开得平面问题的主应力特征方程：
s I1s I 2 0
2
I1 s x s y I 2 s xs y t
2 xy
由求根公式有：
2 1
I1 I 4 I 2 s x s y s x s y 2 2 s 1,2 ( ) t xy 2 2 2
1、平面应力问题

构件几何特征：很薄的等厚度薄板。 厚度为h远远小于结构另外两个方向的 尺度。薄板的中面为平面。
外力与约束：其所受体力、面力和
约束均平行于中面Oxy面内，并沿厚 度方向Oz不变。而且薄板的两个表面 不受外力作用。因此应力沿厚度方向 不变。

用
表面面力边界条件：表面不受外力作
s z z t 0 t zx z t 0 t zy z t 0
2、由通过中心C点并平行于z 轴的直线为转轴，列出力矩的 平衡条件，并利用小变形假设， 可推导出“切应力互等定理”， 即 txy=tyx 3、由x轴和y轴两个方向的平 面力系的平衡条件，可推导出 “平衡微分方程”，即 s x t yx
平衡微分方程：注意事项

列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用 面积和体积，才能得到合力； 应用了两个基本假设：连续性假设（不同面间 应力分量采用泰勒级数展开）和小变形假设（受力 变形前后微分体尺寸不变），这也是其适用的条件。
两个应力主方向是相互垂直 的
过一点任意斜面的应力极值 问题4、已知任一点处两个主应力s1和s2，及其应力
主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最 小值。 为了分析简便，选取x轴和y轴分别与两个应力主方 向一致，则该点的应力分量为 sx=s1， sy=s2 ， txy=0

先求正应力的极值。 上式代入正应力公式（2－4），并利用两个方向余 弦平方和为1，得 sn=(s1-s2)l2+ s2

平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程 相同(平面应变问题中的正应力sz不影响方程的推 导)
3.3.2 几何方程——应变与位移的关系
3.3.3 物理方程——应力应变关系
1、平面应力问题
平面应力问题条件：
很薄的等厚度薄板，厚 度为h远远小于结构另外两 个方向的尺度。其所受体力、 面力和约束均平行于板面， 即只是Oxy面内的量，并沿 厚度方向不变。薄板的两个 表面不受任何外力和约束的 作用。
一点应力状态分析就是求解上述有关应力
分量，具体为：已知任一点处坐标面上的应 力分量sx，sy和txy，求解如下四个问题：
1：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何 斜面上的应力p？ 2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何 斜面上的正应力sn和切应力tn ？ 3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面 上的主应力s和应力主方向a ？

平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第 一式的各项为x方向的力，第二项为y方向的力；
平衡微分方程：注意事项

平面问题的平衡微分方程有2个方程，但包含 有3个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即 是超静定的。要想定解，还必须考虑几何学和物 理学方面的条件。

平衡微分方程表示了平面区域内任意点的微分 单元体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和 整个区域是满足平衡条件的，因而所考虑的静力 学条件是严格和精确的；
3：主应力s和应力主方向a ：
s x s y s x s y 2 2 s 1,2 ( ) t xy 2 2 t xy s1 s x tan a1 , tan a 2 t xy s 2 s y
4：经过该点的正应力sn和切应力tn 的最大和最小 值： (s ) s , s
n 极值 1 2
(t n )极值
(s 1 s 2 ) (s 1 s 2 ) , 2 2
3.3 弹性力学的平衡方程、几何方程及物理方程

平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力 学条件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推 导出应力分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
2 2 2
1、平面应力问题

应力分量分布特点：由于板很薄，外力沿厚度均匀分 布，同时应力沿厚度还是连续分布的，因此应力分量也沿 厚度均匀分布，所以板中各点均有：
sz 0
s x f x, y
t xz 0
t yz 0
t xy hx, y
因此只剩下Oxy面内的三个应力分量，且只是坐标x, y的函 数，沿厚度方向Oz不变，即
s y gx, y
p y s n m sm
又由于有
px s xl t xy m p y t xy l s y m
过一点任意斜面的主应力与主方向
从而有关于方向余弦l,m的线性方程组： 有
2
(s x s )l t xy m 0
t xy m s s x l t xy s s y
平面问题中一点应力状态分析
4：求经过该点的正应力sn和切应力tn 的最大和最小 值？
过一点任意斜面的全应力 问题1：已知任一点处坐标面上的应力分量sx，sy和
txy，求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何
斜面上的应力p？
取如图所示的微分三角板或
三棱柱PAB，当平面AB无限接 近于P点时，该平面上的应力即 为所求。 根据该微分单元的力系平衡 条件，在x和y轴方向上合力为0， 从而有：
过一点任意斜面的主应力与主方向
下面求应力主方向。
将所求主应力s1代入第一个方程：
m1 s 1 s x tan a1 l1 t xy
2
将所求主应力s2代入第二个方 程： t m
tan a 2
l2

xy
s 2 s y
(s x s )l t xy m 0
t xy l (s y s )m 0
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。 这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而 物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。
(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方 向的物理性质和机械性质都是相同的。
(5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体 所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角 都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以 用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差； 并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项 都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线 性方程。
取一微小的正平行六面体， 其x、y方向的尺寸分别为dx、 dy，为计算方便，设它在z方 向的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
由于六面体是微小的，各面上的应力可
认为是均匀分布，且作用于对应面的中心。
一般而论，应力分量是变量x 和y的函数，作用于左右两对 面或上下两对面的应力分量 不完全相同，具有微小的差 量。
第三章 弹性力学基础知识
弹性力学—区别与联系—材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动， 以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：变形体但也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件， 即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆 状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体 结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的 构件。
Fx 0 p x s xl t xy m Fy 0 p y t xy l s y m
过一点任意斜面的正应力与切应力 问题2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴
的任何斜面上的正应力和切应力？
平面AB上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方 向n的投影： s lp mp
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都 同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象 更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用 的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变 形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往 往需要冗长的数学运算。因此为了简化计算，便于数学处理， 它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：