余弦定理公式的含义及其证明

余弦定理公式的含义及其证明

少三(2) 宋伊辰在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？

我向爸爸提出了我的疑问。

“可以用余弦定理求啊。”他回答道。

“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

如左图所示，在△ABC 中，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。

法一（代数证明）：

如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边写作：

将等式两边同乘以c得到：

①

同理，

②

①+②得：

法二（运用相交弦定理证明）：

如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 以B 为圆心，以长边AB 为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆

内）。

延长BC ，交⊙B 于点D 和E

∴DC=a-b ，CE=a+b ，AC=c

∵AG=2acos α

∴CG=2acos α-c 。

∵DC ×CE=AC ×CG

∴(a-b)(a+b)=c(2acos α-c)

化简得：)(cos 22

22αac c a b ++= 法三（平面几何）： 在△ABC 中，已知AC=b ，BC=a ，∠C=γ，求c 。 过点A 作AD ⊥BC 于D ，

∴AD=AC ·sin γ=b ·sin γ，CD=AC ·cos γ=b ·cos γ

∴BD=BC-CD=a- b ·cos γ

在Rt △ABD 中，∠ADB=90°

∴222BD AD AB +==（b ·sin γ2)+（a- b ·cos γ2)

﹦cos 222ab b a --γ

法四(解析几何)：

以点C 为原点O ，AC 为x 轴，建立如右图所示的平

面直角坐标系。

在△ABC 中，AC=b ， CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的

坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)．

|AB|222)0sin ()cos (-+-=C a b C a

C a b C ab C a 2sin cos 22cos 222++-= C ab b a cos 22

2-+=

即C ab b a c cos 2222-+=

经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？

网上的资料给了我答案。

余弦定理可应用于以下两种需求：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

余弦定理还可以变换成以下形式： A bc c b a cos 22

2-+= bc a c b A 2cos 2

22-+= ， A B C

D

B ac a c b cos 22

2-+= ca b a c B 2cos 2

22-+= C ab b a c cos 22

2-+= ab c b a C 2cos 2

22-+= 由此看来，余弦定理是一个简洁却实用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推广，应用也更广泛。余弦定理是高中数学中的一条基本定理，但它却在平面几何，立体几何，平面三角形解析等领域中发挥着巨大的作用。