典型例题分析及解答

典型例题分析及解答

第二章点、直线、平面的投影

§2－2 点的投影

例1．已知点的两个投影，画出其第三投影，如图2-2-1所示。

（a）（b）（c）

图2-2-1

分析：

在图2-2-1（a）中，因点E的X、Y、Z坐标均不为零，故点E是空间点，应按点的投影规律作图。

在图2-2-1（b）中，因点F的Y坐标为零，故点F是V面上的点，f”在OZ轴上。

在图2-2-1（c）中，点G的X、Y坐标为零，故点G是坐标轴上的点，g在原点。

作图结果见图2-2-2。

图2-2-2

§2－3 直线的投影

例1．已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30°夹角（图2-3-1）。

图2-3-1 图2-3-2

分析：

根据题目给的条件，欲求CD，必须用直角三角形法，条件有α=30°；c、d点的Z坐标差值已定（因AB 线为水平线），作出的直角三角形的另一直角边即为CD线的水平投影长度。

作图：见图2-3-2

(1) 以c’c为一边作∠f’c’e’=60°得直角Δe’f’c’。

(2) 以c为圆心，以e’f ’为半径画弧交ab于d。

(3) 求出d’，cd、c’d’即是所求直线CD的投影。

§2－4 平面的投影

例1 已知ΔABC与H面的倾角α=45°，试完成ΔABC的水平投影，见图2-4-1。

分析：

求平面与投影面夹角的方法是先求出平面的最大斜度线，最大斜度线与投影面的夹角即为平面与投影面的夹角。根据以上思路，先作一水平线c’d’，水平线CD的水平投影与平面的最大斜度线垂直，即可求出平面的投影。

作图：

(1) 作CD水平线的正面投影c’d’，得出平面对H面的最大斜度线BE的Z坐标差。

(2)以b为圆心，以BE的Z坐标差为半径画弧。因为α=45°，所以水平投影长与正面高差相等。过c 作线与弧相切得切点E并与dd’相交于d（因为水平投影要反映垂直）。

(3)过b经d画出ab。CD为水平线；BE为最大斜度线，Δabc即为所求，见图2-4-2。

图2-4-1 图2-4-2

例2 已知平面图形的正面投影及部分平面的水平投影，完成平面图形的水平投影，见图2-4-3（a）。

分析：

平面图形的水平投影已有三点，平面已确定，利用在平面内求点、求线的方法即可得解。

作图：

(1) 过b作bg∥ah，得c、f、g，图2-4-3（b）

(2) 过c、f作cd∥fe∥ab，得d、e。

(3) 依次连接各点，见图2-4-3（c）。

(a) (b) (c)

图2-4-3

§2－5 直线与平面、平面与平面之间的相对位置

例1．过点M作一正平线平行于ΔDEF平面，如图2-5-1（a）所示。

分析：

过平面外一点可以作出无数条直线平行于该平面，但本题要求作的直线是正平线，那么，在平面上与其平行的必定是平面上的正平线。

作图如图2-5-1（b）所示

1）在平面ΔDEF上任作一正平线DG。

2）过点M作直线MN平行于DG（m’n’∥d’g’、mn∥dg），则MN为所求直线。

（a）（b）

2-5-1

例2．过已知点K作平面平行于已知平面ΔDEF，图2-5-2（a）。

分析：

据两平面互相平行的条件，可过点K作相交的两直线分别平行于ΔDEF的两条边，则作相交两直线决定的平面必平行于ΔDEF。

作图[图2-5-2（b）]：

1）过点K作直线KM∥DF边，即作k’m’∥d’f’、km∥df。

2）过点K作直线KN∥DE边，即作k’n’∥d’e’、kn∥de。由直线KM和KN所决定的平面必平行于平面ΔDEF。

(a) (b)

2-5-2

例3．已知直线MN与正垂面相交，求其交点并判别它们的投影的可见性（图5-3）。

分析：

由于交点K是直线与正垂面的共有点，所以它的正面投影k’一定是直线MN与正垂面ΔABC正面投影的交点。根据点线的从属关系，可由k’求得交点K的水平投影k，结果见图5-3（b）。

例4．平面ΔABC与平面ΔDEF相交，求交线MN[图5-4（a）]

分析：

根据两面相交交线的共有性，从水平投影中可以看出，平面ΔABC中只有mn一条线与平面ΔDEF 重合，故交线的水平投影为已知。再根据直线MN属于平面ΔABC，用面上找线的方法可以求得m’n’。判别可见性：交线MN把ΔABC分成两部分。从水平投影可以看出CMN在平面ΔDEF之前，所以正面投影中c’m’n’为可见。而a’m’n’与Δd’e’f’的重影部分为不可见，见图5-4（b）

例5．求直线MN与平面ΔBCD的交点，并判别其可见性[图5-5（a）]

分析：

一般位置平面与一般位置直线相交，求交点可包含直线作一平面P，P与平面ΔBCD的交线与MN的交点即为所求交点。为简化作图，P平面一般为垂直面。

作图：

1）过直线MN作辅助面P（在图中可以不标出），这里取P为正垂面。

2）求出交点K，如图5-5（b）所示。

3）判别可见性，如图5-5（c）所示。

例6．求M点到平面ΔABC的距离[图5-6(a)]

分析：

为了过点M向平面ΔABC作垂线，根据垂线的投影特性，应首先在ΔABC上作正平线和水平线，用以确定垂线方向。即过M点的正面投影m’作线垂直于a’d’，过M点的水平投影m作线垂直于bc。

其次，求垂线与平面ΔABC的交点N。

最后用直角三角形求出MN的实长，该实长即为点M到平面ΔABC的实际距离。作图过程见图5-6(b)、(c)。

例7．过已知点K作平面垂直于平面ΔEFH，见图5-7（a）