人教版高中数学全套试题第五章平面向量章末检测

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人教版高三数学下学期平面向量多选题单元期末复习测试题试卷

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元期末复习测试题试卷一、平面向量多选题1．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-【答案】ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题. 2．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（） A ．数列{a n }为等差数列B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14n n n a a +-= 【答案】BD【分析】证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n n n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-，所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=，所以()11322n n n n a a a a +--=-，易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；因为2a -1a =4，114n n n n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n n n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（）A ．EG PG ⊥B ．EG BC ⊥ C ．//FG BCD ．FG EF ⊥【答案】ABD【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-， 11113333FG PG PF a b b a =-=+-=， 1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭， ∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.4．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AFCE G =，则（）A ．12AF AD AB =+B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系5．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AD【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等， ∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=；当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD.【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.6．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3) 【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.7．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（）A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确．对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．8．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.9．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -= 22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案.【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确；对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，+-=+-=-==，故D错误；FA OD CB OD DC CB OC OA AC||||||||3故选：BC.【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。

完整版)平面向量单元测试卷及答案

完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。

2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。

|b|；②a∥b；③|a|。

|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。

(完整版)高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案),推荐文档

A
B
《平面向量》答案解析
19.解：(1)由题意知则AB (3,5), AC (1,1),
一.选择题.(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
AB AC (2, 6), AB AC (4, 4)
BDBAD BAADC AB
AB AC 2 10, AB AC 4 2
A. a b c d 0
B. a b c d 0
a b mq np .下列说法错误的是（）
C. a b c d 0
D. a b c d 0
A.若 a与b 共线，则 a b 0
B. a b b a
7.若 a (我2,3)去,b 人(4也,7) ，就则有b在a人方向！上为的投U影R为扼（腕入）站内信不存在向你偶同C.意R调, 都剖有 (沙a)龙b 课 (反a 倒b) 是龙卷风D.前(a 一b)2天 (a我b)2分 a页2 b符2 ZNBX吃噶十
16.已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为
（3）若点 M 为直线 OD 上的一个动点，当 MA MB 取最小值时，求 OM 的坐标.
， DE DC 的最大值为
.
三.解答题.（本大题共 6 小题，其中 17 题 10 分，其余 5 个小题每题 12 分，共 70
AB AD
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(2)设C则(由x, 得y), AD BC (3,3) (x 3, y 2)
x 0, y 5
C (0, 5)
(3)设M则(a,b), OM (a,b),OD (1, 4)
O, M , D三点共线
a b 1 4
b 4a
MA MB (2 a,1 b) (3 a, 2 b)

《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(最新整理)

即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.整理得：2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te2<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－ . 2
当向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 夹角为 180°时，设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
5
3 由 5c＝－3a－4b 两边平方得 a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－ .故选 B.
5
【第 12 题解析】若 a＝(m，n)与 b＝(p，q)共线，则 mq－np＝0，依运算“⊙”知 a⊙b＝0，故 A 正确．由
于 a⊙b＝mq－np，又 b⊙a＝np－mq，因此 a⊙b＝－b⊙a，故 B 不正确．对于 C，由于 λa＝(λm，λn)，
k＋t2 y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求的最小值．
t
→
→
→
20．(本小题满分 12 分)设OA＝(2,5)，OB＝(3,1)，OC＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M，使 MA⊥MB？
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分 12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．
14．a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
1 15．已知向量 a＝(6,2)，b＝(－4， )，直线 l 过点 A(3，－1)，且与向量 a＋2b 垂直，则直线 l 的方程为

高中数学平面向量测试题及答案

高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。

以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。

给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。

给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。

给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。

给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。

给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。

给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。

给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。

给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。

给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。

给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。

以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。

解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。

选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。

解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。

高考数学一轮复习第五章《平面向量》精编配套试题(含解析)理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第五章平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1 ．【山东省诸城市2013届高三12月月考理】若向量(1,2),(4,)a x b y =-=r r相互垂直，则93x y +的最小值为 A ．6B ．23C ．32D ．122、.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13- D.1 3、（2013年高考湖北理）已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB u u u r 在CDu u ur 方向上的投影为（）A ．322 B ．3152C ．322-D ．3152-4、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)--5.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =r ，且a r 与br的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（）（A ）()2,-+∞（B ）11(2,)(,)22-+∞U （C ）(,2)-∞- （D ）(2,2)-6.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且ο120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R u u u r u u u r u u u r则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-7、若20AB BC AB ⋅+=u u u ur u u u r u u u r ，则ABC ∆必定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8、（2013高考湖南理）已知,a b 是单位向量,0a b =g.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9.如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r（A ）1122AB AD u u ur u u u r +（B ）1122AB AD -u u ur u u u r - （C ）1122AB AD -u u ur u u u r + （D ）1122AB AD u u ur u u u r -10、（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（）A ．=ga b a b B ．+=+a b a bC ．()()=gg a b c a b cD ．2=g a a a11、（2013年考安徽数学理）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是（）A ．22B ．23C ．42D ．4312 ．（2013年高考重庆数学理）在平面上,12AB AB ⊥u u u r u u u u r ,121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r .若12OP <u u u r ,则OA u u u r 的取值范围是（）A ．50,2⎛⎤ ⎥ ⎝B ．57,22⎛⎤⎥C ．5,22⎛⎤⎥D ．7,22⎛⎤⎥二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =u u u r u u u rg _______.14．（2013年上海市春季高考）已知向量(1 )a k =r，,(9 6)b k =-r ，.若//a b r r ,则实数 k = __________EDBA15、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】已知向量,a b r r 夹角为45︒，且 1,210a a b =-=r r r ；则b =r___ ___.16．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考理】已知(1,2)a =r,)2,3(-=b ,当k 为何值时，ka +r b 与3a -r b 平行？平行时它们是同向还是反向？18、(本小题满分12分) （江苏泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b +r r 的值（2）若a b ⊥r r，求θ（3）20πθ=，求证：a b r rP19、(本小题满分12分) （2013届闸北区二模）已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+b a ，求θsin 与⎪⎭⎫⎝⎛+82cos πθ的值．20、(本小题满分12分) （上海市浦东区2013年高考二模）已知向量()1,1,m =u r 向量n r 与向量m u r 的夹角为34π,且1m n ⋅=-u r r .(1)求向量n r;(2)若向量n r 与(1,0)q =r 共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +r u r的取值范围.21．(本小题满分12分) 【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】在边长为1的等边三角形ABC 中，设−→−−→−=BD BC 2,−→−−→−=CE CA 3 (1)用向量−→−−→−AC AB ,作为基底表示向量−→−BE （2）求−→−−→−•BE AD22．(本小题满分12分)【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理】已知定点(1,0)A 和定直线1x =-上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中o 为坐标原点）. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,2)B 的直线l 与（1）中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若0<⋅AN AM ，求直线l 的斜率的取值范围.参考答案 1、【答案】A【解析】因为a b ⊥r r ，所以0a b =r rg ，即4(1)20x y -+=，所以22x y +=。

2020年人教版高中数学单元测试-平面向量综合(附答案)

2020年人教版新课标高中数学模块测试卷平面向量综合一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知平面向量(1,2)=-a ；(1,0)=b ，则向量3+a b 等于（） A .(2,6)-B .(2,6)--C .(2,6)D .(2,6)-2.化简：AB DC CB --=（） A .ADB .ACC .DAD .DB3.下列说法中正确的是（）A .若AB DC =，则,,,A B CD 四点构成一个平行四边形 B .零向量与单位向量的模相等C .若a 和b 都是单位向量，则=a b 或=-a bD .零向量与任何向量都共线4.在四边形ABCD 中，设,,AB AD BC ===a b c ，则DC 等于（） A .-+a b c B .()-+b a c C .++a b cD .-+b a c5.已知平面内两点(2,1),(5,3)A B -，则与向量AB 同向的单位向量是（）A .34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B .34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C .43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D .43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭6.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，则EB =（） A .1344AB AC - B .3144AB AC - C .1344AB AC + D .3144AB AC + 7.如图所示，P Q 、是ABC △的边BC 上的两点，且BP QC =，则化简AB AC AP AQ +--的结果为（）A .0B .BPC .PQD .PC8.过ABC △内一点M 任作一条直线l ，再分别过顶点,A B C ,作l 的垂线，垂足分别为,D E F ,，若AD BE CF ++=0恒成立，则点M 是ABC △的（）A .垂心B .重心C .外心D .内心9.已知,,O A B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足0AB AC +=，则OC =（） A .2OA OB -B .2OA OB -+C .2133OA OB -D .1133OA OB -+10.在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，DC AB ∥，2AD DC ==，4AB =，E F 、分别为AB 、BC 的中点，P 为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点（如图所示）.若AP AF ED λμ=+，其中,λμ∈R ，则λμ-的值是（）A .4 B .4 C D .34二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 11.下列命题中不正确的是（）A .两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同B .若非零向量AB 与CD 共线，则A BCD 、、、四点共线 C .若非零向量a 与b 共线，则=a bD .四边形ABCD 是平行四边形，则必有AB CD = 12.下列说法中正确的是（） A .模相等的两个向量是相等向量 B .若230OA OB OC ++=，,AOC ABCSS 分别表示AOC △，ABC △的面积，则:1:6AOCABCSS=C .两个非零向量,a b ，若-=+a b a b ，则a 与b 共线且反向D .若∥a b ，则存在唯一实数入使得λ=a b三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知点O 固定，且2OA =，则A 点构成的图形是________.14.已知点O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量,,,OA OB OC OD 满足等式OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 的形状一定为________.15.设向量a ，b 不平行，向量14λ+a b 与-+a b 平行，则实数λ=________.16.如图，在长方形ABCD 中，,M N 分别为线段,BC CD 的中点，若()1212,MN AM BN λλλλ=+∈R ，则12λλ+的值为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知向量(1,2),(3,1)==-a b . （1）求与2+a b 同向的单位向量e ；（2）若向量113,3⎛⎫=-- ⎪⎝⎭c ，请以向量,a b 为基底表示向量c .18.（12分）已知平面内的三个向量(3,2),(1,2),(4,1)==-=a b c . （1）若(,)c λμλμ=+∈R a b ，求λμ+的值；（2）若向量k +a b 与向量2-b c 共线，求实数k 的值.19.（12分）如图，在OCB △中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA =a ，OB =b .（1）用,a b 表示向量,OC DC ；（2）若OE OA λ=，求λ的值.20.（12分）已知向量(,)x y =u 与向量(,2)y y x =-v 的对应关系用()f =v u 表示. （1）设(1,1),(1,0)==a b ，求向量()f a 与()f b 的坐标；（2）求使()(,)f p q =c （,p q 为常数）的向量c 的坐标；（3）证明：对任意的向量,a b 及常数,m n 恒有()()()f m n mf nf +=+a b a b 成立.21.（12分）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，设AB =a ，BC =b ，CA =c . （1）求33+-a b c 的值；（2）求满足m n =+a b c 的实数,m n 的值；（3）若线段AB 的中点为M ，线段BC 的三等分点为N （点N 靠近点B ），求MN .22.（12分）如图，已知河水自西向东流，流速为01m /s v =，设某人在静水中游泳的速度为1v ，在水中的实际速度为2v .（1）若此人朝正南方向游去，且1m /s v =，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和2v 的大小；（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且2m /s v =，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和1v 的大小.2020年人教版新课标高中数学模块测试卷平面向量综合·答案一、 1.【答案】A【解析】因为(1,2)=-a ，所以3(3,6)=-a ，又因为()1,0=b ，所以3(31,60)(2,6)+=-++=-a b ，故选A . 2.【答案】A【解析】AB DC CB AB BC CD AD --=++=，故选A . 3.【答案】D【解析】对于选项A ，,,,A B C D 四点可能共线，故A 不正确；对于选项B ，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B 不正确；对于选项C ，因为a 和b 都是单位向量，所以a b =，但它们的方向是任意的，故C 不正确；对于选项D ，零向量与任何向量都共线，故D 正确.故选D . 4.【答案】A【解析】因为四边形ABCD 中，AB =a ，AD =b ，=BC c ，所以DC AC AD AB BC AD =-=+-=-+a b c ，故选A . 5.【答案】B【解析】因为两点(2,1)A -，(5,3)B ，所以()3,4AB =，所以34(3,4),55||3AB AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以与向量AB 同向的单位向量为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，故选B .6.【答案】B【解析】因为在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，所以11131()22244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⨯⨯+=-，故选B . 7.【答案】A【解析】因为BP QC =，所以0PB QC +=，所以()()=0AB AC AP AQ AB AP AC AQ PB QC +--=-+-=+，故选A . 8.【答案】B【解析】因为过ABC △内一点M 任作一条直线l ，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，则0BE CF +=恒成立如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，所以点M 是ABC △的重心，故选B . 9.【答案】A【解析】由向量的运算法则可得AB OB OA =-，AC OC OA =-，又0AB AC +=，则()()0OB OA OC OA -+-=，即2OB OC OA +=，即2OC OA OB =-，故选A . 10.【答案】A【解析】因为P 为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点，所以2AP AD AE ===，45DAP EAP ∠=∠=︒，所以22AP AE AD =+，因为在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，DC AB ∥，2AD DC ==，4AB =，E F 、分别为AB BC 、的中点，所以易证得四边形BCDE 为平行四边形，故ED AD AE =-，11312222AF AB BF AB BC AB ED AE AD =+=+=+=+，若AP AF ED λμ=+，则23131()222222AE AD AEAD AD AE AE AD λμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3,221,2λμλμ=-⎪⎪=+解得2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故λμ-=A .二、11.【答案】ABC【解析】A 中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A 中命题不正确；B 中，向量AB 与CD 共线，只能说明AB 、CD 方所在直线平行或在同一条直线上，所以B 中命题不正确；C 中，向量a 与b 共线，说明a 与b 方向相同或相反，a 与b 不一定相等，所以C 中命题不正确；D 中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 与CD 是相反向量、所以AB CD =，所以D 中命题正确、故选ABC .12.【答案】BC【解析】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A 选项错误；设AC 的中点为M ，BC 的中点为D ，因为230OA OB OC ++=，所以2220OM OD ⨯+=，即2OM OD =-，所以O 是线MD 上靠近点M 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13，而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知B 选项正确；C 选项中，当a 与b 共线且反向时，可知-=+a b a b 成立，当a 与b 不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C 选项正确；D 选项错误，例如0=b .故选BC . 三、13.【答案】圆【解析】因为2OA =，所以点A 到点O 的距离为2，故A 点构成的图形是以点O 为圆心、2为半径的圆。

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元期末复习测试综合卷检测

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元期末复习测试综合卷检测一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（） A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．423+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立；必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =，所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=，由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC 选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=；（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ；观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -，设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--，故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 3【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.5．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有（）A．22 OA OD⋅=-B．2OB OH OE+=-C．AH HO BC BO⋅=⋅D．AH在AB向量上的投影为2【答案】AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH，其中||1OA=，对于32:11cos4A OA ODπ=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE+==-，故正确．对于:||||C AH BC=，||||HO BO=，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH在AB向量上的投影32||cos||4AH AHπ=-，||1AH≠，故错误．故选：AB．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．7．下列各式结果为零向量的有（） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=，因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确，因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误，所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误，因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确，故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.9．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（）A ．1-B ．113C D 【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得32k ±=综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确；对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。

（完整版）《平面向量》测试题及答案

（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。

高考数学总复习第五章平面向量配套章末综合检测(含解析)新人教A版

第五章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有)(检测范围：第五章) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝ ( )A ．24 B.27 C ．15D.54解析 B 由a 3＋a 4＋a 8＝9，得3(a 1＋4d )＝9，即a 5＝3.则S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝27.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B.15 C ．16D.17解析 C ∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和是A ．16 B.20 C ．33D.120解析 C a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.4．在数列1,2，7，10，13，4，…中，219是这个数列的第几项 ( ) A ．16 B.24 C ．26D.28解析 C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，a 6＝4＝16，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.5．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为 A ．第5项 B.第6项 C ．第7项D.第8项解析 C ∵S 13<0，∴a 1＋a 13＝2a 7<0，又S 12>0， ∴a 1＋a 12＝a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，且|a 6|>|a 7|.故选C. 6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 C ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.7．(2013·杭州月考)正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于 ( )A ．－16 B.10 C ．16D.256解析 C 由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16，则a 40a 60＝a 2a 98＝16.8．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N )，则f (n )＝ ( ) A.27(8n－1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 D ∵数列1,4,7,10，…，3n ＋10共有n ＋4项，∴f (n )＝2[1－23n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．9．△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 ( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D.以上均错解析 B 由题意知，tan A ＝－1－－47－3＝34＞0.又∵tan 3B ＝412＝8，∴tan B ＝2＞0，∴A 、B 均为锐角．又∵tan(A ＋B )＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值为 ( )A.32B.53C.256D ．不存在解析 A 由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5(q >0)，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2.又由已知条件a m a n ＝4a 1，得a 1q m －1·a 1qn －1＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24m n·n m ＝32，当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时，取“＝”．11．(2013·银川一中模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17 B.S 18 C ．S 15D.S 14解析 C 由a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8是定值，可知a 8是定值．所以S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8是定值．12．数列{a n }的通项公式a n ＝1nn ＋1，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10 B.－9 C ．10D.9解析 B ∵a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1，由nn ＋1＝910，得n ＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0，其在y 轴上的截距为－9.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{}a n 中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21114．若数列{a n }满足关系a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则该数列的通项公式为________．解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－1.【答案】 a n ＝2n ＋1－115．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝3x＋r 的图象上，则实数r ＝________.解析 ∵{a n }是等比数列，且{n ，S n }在函数y ＝3x＋r 上，即S n ＝3n＋r ， ∴公比q ＝3，且a 1＝S 1＝3＋r ，a 2＝S 2－S 1＝6，∴a 2a 1＝63＋r＝q ＝3，∴r ＝－1. 【答案】－116．给定：a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做数列{a n }的“企盼数”，则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M ＝________.解析设a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·…·log k (k ＋1)·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)为整数m ，则k ＋2＝2m， ∴k ＝2m－2.又1≤k ≤2 013， ∴1≤2m－2≤2 013， ∴2≤m ≤10.∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18 ＝22×1－291－2－18＝2 026. 【答案】 2 026三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 3＝a 3，T 2＝3，求T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 4＝6，a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >0)．∵a n ＝2n －2，∴a 3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b 1q 2＝4，b 11＋q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，b 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－23，b 1＝9(舍去)，∴T n ＝b 11－q n 1－q ＝1－2n1－2＝2n－1.18．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N *，有S n＝32a n －32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由已知得S n ＝32a n －32，∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－32，∴S n －S n －1＝32a n －32a n －1，即a n ＝32a n －32a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝3a n －1，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3；又当n ＝1时，S 1＝32a 1－32，即a 1＝32a 1－32，∴a 1＝3.∴a n ＝3n.(2)由(1)知a n ＝3n，故b n ＝1log 33n·log 33n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 19．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴a 1＝13，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)， ②①－②得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，化简得a n ＝13n (n ≥2)．显然a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)由①得b n ＝n ·3n.于是S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n，③ 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1，④③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1，即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，S n ＝n 2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.20．(12分)(2013·长沙模拟)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当b n ＝1－－1n2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解析 (1)∵{a n }是递减数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)b n ＝8[1－－1n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n ，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0n ＝2k ，k ∈N *a nn ＝2k －1，k ∈N *∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <163. 21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1. (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设3nb n ＝n (3n－a n )，求|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |. 解析 (1)∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)．又a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，即a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2， ∴a n －3n≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．(3)由(2)及3nb n ＝n (3n－a n )，可得 3nb n ＝－n (a n －3n)＝－n [2×(－2)n －1]＝n (－2)n，∴b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，∴|b n |＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.∴T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n | ＝23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，①①×23，得23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1， ②①－②得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1 ＝2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，∴T n ＝6－2(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.22．(14分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (3)设b n ＝(9－n )f n ＋1f n，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．解析 (1)令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，整理，得T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<2.(3)∵f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴b n ＝(9－n )f n ＋1f n＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0.∴当n ＝8或9时，S n 取到最大值．。

高考数学总复习第五章平面向量配套单元测试(含解析)理新人教A版

第五章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．与向量a ＝(－5,12)方向相反的单位向量是 ( )A ．(5，－12)B ．(－513，1213)C ．(12，－32)D ．(513，－1213)答案 D解析与a 方向相反的向量只能选A ，D ，其中单位向量只有D. 也可用公式n ＝－a |a |＝－－5，12－52＋122＝(513，－1213)求得． 2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4答案 C解析如图，四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为1的等边三角形，记AB →＝a ，AD →＝b ，则a 与b 的夹角为2π3，故选C.3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A.4．已知复数z ＝1＋2i23－4i ，则1|z |＋z 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2答案 A解析 z ＝1＋2i23－4i ＝4i －33＋4i25＝－16－925＝－1，所以1|z |＋z ＝1－1＝0.故选A.5．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析方法一由(z －i)(32－12i)＝1可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.方法二 (z －i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i. 6．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于 A ．(2,1) B ．(1,0) C ．(32，12)D ．(0，－1)答案 A解析设c ＝(x ，y )，由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0，y ＋1＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，因此c ＝(2,1)．7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝ ( )A ．2B ．3C. 3 D ．4答案 A解析由|a ＋b |＝7，可得|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×|b |cos π3＋|b |2＝7，所以|b |2＋|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－3(舍去)．故选A.8．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形或等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形答案 C解析由(OB →＋OC →－2OA →)(AB →－AC →)＝0，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|. ∴AB ＝AC .9．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为A ．(2,14)B ．(2，－27)C ．(－2，－27)D ．(3,6)答案 B解析方法一 (验证排除法) ∵b 在x 轴上的投影为2，∴b 的横坐标为2，排除C ，D 项；又|b |≤14，排除A 项；故选B.方法二设向量b ＝(2，y )，由题意得a ·b |a ||b |＝cos α＝522|a |＝22.将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14不合题意，舍去．则y ＝－27，即b ＝(2，－27)．故应选B.10．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13)D ．(223，－13)或(－223，－13)答案 B解析方法一 |a |＝|b |，要使所求向量e 与a 、b 夹角相等，只需a ·e ＝b ·e . ∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C 、D. 又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二设a ＝OA →，b ＝OB →.由已知得|a |＝|b |，a ⊥b ，则与向量a ，b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角平分线上，与a ＋b 共线．∵a ＋b ＝(4，－3)，∴与a ＋b 共线的单位向量为±a ＋b |a ＋b |＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)．二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．已知复数z ＝1－3i 3＋i ，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________．答案 1解析 z ＝1－3i 3＋i ＝－i 2－3i 3＋i＝－ii ＋33＋i＝－i ，|z |＝|i|＝1.12．已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →＝________. 答案－32解析由题意知，OACB 为菱形，且∠OAC ＝60°，AB ＝3，∴AB →·OA →＝3×1×cos150°＝－32.13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝________. 答案 3解析易知a ＋b ＝(3，n ＋1)，a ·b ＝2＋n .∵|a ＋b |＝a ·b ，∴32＋n ＋12＝2＋n ，解得n ＝3.14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn＝________.答案 3解析方法一如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形． OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°， ∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1，故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴mn＝333＝3.方法二由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝(m ，3n )，故由tan30°＝3n m ＝33，可知mn＝3. 15．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．答案 ±2解析如图，作平行四边形OADB ，则OA →＋OB →＝OD →，OA →－OB →＝BA →，∴|OD →|＝|BA →|.又|OA →|＝|OB →|，∴四边形OADB 为正方形，易知|OA →|为直线在y 轴上的截距大小，a ＝2.验证a ＝－2时，成立．16．对于向量a ，b ，c ，给出下列四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ＝|c |·b ，c ＝|b |·a ，则|a |＝|b |＝|c |＝1； ③若|a |＝|b |＝2，则(a ＋b )⊥(a －b )； ④若|a ·b |＝|b ·c |且b ≠0，则|a |＝|c |. 其中正确的命题序号是________．答案 ③解析当b ＝0时，①不正确；当b ＝0时，且c ＝0时，②不正确；③中，∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )，故③正确；④中取a ≠0且a ⊥b ，而c ＝0时，则结论不正确，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．答案 (1)－12(2)2解析 (1)∵m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1，∴2cos 2A2－2sin 2A2＝－1，∴cos A ＝－12.(2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3.∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即23sin2π3＝2sin B.∴sin B ＝12.∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6.∴C ＝π－A －B ＝π6，∴C ＝B .∴c ＝b ＝2.18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，若实数k 使|k a ＋b |＝|a －k b |成立，求满足不等式a ·b ≥0的k 的取值范围．解析由|k a ＋b |＝|a －k b |，得(k a ＋b )2＝(a －k b )2. 即有k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2. ∴8k cos(α－β)＝3(k 2－1)．若k ＝0，则有|a |＝|b |，与已知矛盾． ∴k ≠0，∴cos(α－β)＝3k 2－18k. 而a ·b ＝cos α·2cos β＋sin α·2sin β＝2cos(α－β)＝3k 2－14k，且a ·b ≥0. ∴0≤3k 2－14k ≤2.解得－1≤k ≤－13或1≤k ≤3.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )．(1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？(2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．解析 (1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2.这与|cos2x |<1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x .又因为x ∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]．于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝22，当2sin x ＝1sin x，即sin x ＝22时取等号．故函数f (x )的最小值等于2 2. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2a ＋c )·BC →·BA →＋c ·CA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2 3.试求AB →·CB →的最小值．答案 (1)23π (2)－2解析 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0. 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0. 所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0. 即cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4. 当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4. 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2.即AB →·CB →的最小值为－2.21．(本小题满分12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？解析 (1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0，m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°＝(1＋t 2－t )|a |2. ∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。

2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试：第五章平面向量 Word版含解析(1)-推荐下载

43
B．(5，－5)或(－5，5)
22 1 C．( 3 ，－3)
22 1
D．( 3 ，－3)或(－ 3 ，－3)
答案 B
43
22 1
解析方法一 |a|＝|b|，要使所求向量 e 与 a、b 夹角相等，只需 a·e＝b·e.
71 4 3 1 7 4 3 5 ∵(2，2)·(5，－5)＝(2，－2)·(5，－5)＝2，排除 C、D.
1
31 31
－ 31
C．(2，2)
答案 A
解析设 c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b 可得Error!解得Error!因此
c＝(2,1)．
B．(1,0) D．(0，－1)
π 7．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|a＋b|＝ 7，〈a，b〉＝3，则|b|＝ ( )
A→B A→D 记＝a，＝b，则
C→ B
a
与
b
2π 的夹角为 3 ，故选
A→C 3．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 ＋
＝0，则等于
O→ C
O→A O→B A．2 －
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5 12
C.
O→A O→B B．－＋2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高考数学复习演练第五章平面向量(含真题)-人教版高三全册数学试题

第五章平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·某某，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·某某，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·某某，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A.1<r <R <3 B.1<r <3≤R C.r ≤1<R <3 D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.（2017•某某,15）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是________，最大值是________． 5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣|= ，则x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以z max = × =．综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．6.（2017•某某,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m +n （m ，n ∈R ），则m+n=________．6.3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos （α+45°）=（cosα﹣sinα）= ．sin（α+45°）=（sinα+cosα）= ．∴B ．∵=m +n （m ，n ∈R ），∴=m ﹣n ，=0+ n ，解得n= ，m= ．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋→＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·某某，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]12.(2014·某某，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•,6）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 1. A ，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件．故选A．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ +μ ，则λ+μ的最大值为（）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C 为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•某某,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞• ＞• ，• ＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选C ．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•（+）的最小值是（） A.﹣2B.﹣ C.﹣ D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0，），B （﹣1，0），C （1，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则•（+ ）=2x 2﹣2y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选B.5.(2016·某某，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ，同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心.DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.6.(2016·某某，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－946.B[∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6 C.6 D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·某某，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·某某，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·某某，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－→＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·某某，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2112.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t－1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·某某，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·某某，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B.2C.1 D.2216.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·某某，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 18.∵向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴= +4 •+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2．19.（2017•某某,12）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．19.，是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且• =0；又﹣ 与+λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ ）=| ﹣|×| +λ |×cos60°，即+（﹣1）• ﹣λ=××，化简得﹣λ= × × ，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．20.（2017·某某,13）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2 ，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为________．20. 如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴=+=+ = + （﹣）= + ，又=λ ﹣（λ∈R ），∴=（+）•（λ ﹣）=（λ﹣）•﹣+ λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·某某，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·某某，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·某某，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•某某,16）已知向量=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若∥，求x 的值；（Ⅱ）记f （x ）= ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx+3sinx=0，∴tanx=，∵x ∈[0，π]，∴x= ，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣sinx=2 （cosx ﹣sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+ ∈[ ，]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x=时，f （x ）有最小值，最大值﹣225.(2015·某某，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.25.解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.26. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]27.(2014·某某，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 27.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·某某，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·某某，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD→－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]。

高考数学第五章平面向量真题练习含答案

高考数学第五章平面向量真题练习含答案1．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) A. BA BC 21+- B. BA BC 21-- C. 21- D. 21+ ．21+-=+=，故选A. 2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用a b 、表示）解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+。

3．（2006年四川卷）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ）（A ）1213,PP PP（B ）1214,PP PP（C ）1215,PP PP（D ）1216,PP PP练.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（全国卷Ⅱ）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（ C ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）5.（2006年湖北卷）已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b = （B ） A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D. ()0,16. （全国卷III ）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=23- 练.（广东卷）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为____4_________．7.（福建卷）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（ D ） A ．5 B ．－5 C ．23 D ．23- 练．（2006年福建卷）已知1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AOC ∠30o =。

高考数学总复习第五章平面向量配套单元测试（含解析）理新人教A版

第五章单元测试一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求1．与向量a＝－5,12方向相反的单位向量是A．5，－12 B．－错误!，错误!C．错误!，－错误!D．错误!，－错误!答案 D解析与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D也可用公式n＝－错误!＝－错误!＝错误!，－错误!求得．2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为答案 C解析如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记错误!错误!错误!，n∈R，则错误!＝________答案 3解析方法一如图所示，∵错误!＝错误!，n＝错误!∴错误!＝错误!＝3方法二由错误!错误!，错误!n，故由tan30°＝错误!＝错误!，可知错误!＝315．已知直线＋＝a与圆2＋2＝4交于A、B两点，且|错误!错误!·n＝－11求co A的值；2若a＝2错误!，b＝2，求c的值．答案1－错误!22解析1∵m＝2co错误!，in错误!，n＝co错误!，－2in错误!，m·n＝－1，∴2co2错误!－2in2错误!＝－1，∴co A＝－错误!2由1知co A＝－错误!，且02a0，函数f＝m·n的最大值为61求A；2将函数＝f的图像向左平移错误!个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标不变，得到函数＝g的图像，求g在[0，错误!]上的值域．解析1f＝m·n＝错误!A inco＋错误!co2＝A错误!in2＋错误!co2＝A in2＋错误!．因为A>0，由题意知A＝62由1知f＝6in2＋错误!．将函数＝f的图像向左平移错误!个单位后得到＝6in[2＋错误!＋错误!]＝6in2＋错误!的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标不变，得到＝6in4＋错误!的图像．因此g＝6in4＋错误!．因为∈[0，错误!]，所以4＋错误!∈[错误!，错误!]．故g在[0，错误!]上的值域为[－3,6]．。

高中数学第五章平面向量练习含答案 2套精校打印版名校使用

第五章平面向量小题训练A1设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c3在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 4在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.455已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1，83 B.⎝⎛⎭⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43 D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( )A.14B.12C ．1D ．2 7.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．68已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( )A ．1B. 2C. 3D ．29在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2B ．2 C. 6D ．610已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3B. 3 C ．0 D ．－ 311.如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.26912 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心13．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值为______．15．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．16设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________.答案A 卷：D A D D DBC C C B B C 13、2 14、2 15 y 2=8x(x ≠0) 16、-252第五章平面向量小题训练B1已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线2．已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆3．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b5在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．2B.52C ．3D ． 7．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32B.22 C.52 D.728若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D ．π9已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45D.3410．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形12已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．1213．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．14已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________．15已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是____16．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．B 卷：B BC B B C A A A CD B 13、3 14、-2 15、18 16、m ≥−34且m ≠12。

高中数学必修5_平面向量检测卷

平面向量姓名分数时间45分钟总分100分2013年5月26日一、选择题1．若向量BA→＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4)C ．(6,10) D ．(－6，－10)2．(2012·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |3．(2012·陕西高考)设a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ的值等于( ) A.22 B.12 C ．0 D ．－14．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，则BC ＝( ) A.3B.7C ．22D.23二、填空题6．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.7．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为__________．8．(2006·安徽高考)在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC === ，M 为BC 的中点，则MN = _______。

（用a b 、表示）9. (2009·安徽高考)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是=________.三、解答题10．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB→＝1，求P 点的轨迹方程．11．已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x )，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0，π2]．求：(1)a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求正实数λ的值．12．(2012·济南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a ，sin B 的值．答案：10．【解】设A (x 0,0)(x 0>0)，B (0，y 0)(y 0>0)， ∵P (x ，y )与Q 关于y 轴对称，∴Q (－x ，y )，由BP →＝2P A →，即(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32x y 0＝3y(x ，y >0)．又OQ →＝(－x ，y )，AB →＝(－x 0，y 0)＝(－32x,3y )． ∵OQ →·AB→＝1， ∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．∴点P 的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)． 11．【解】 (1)a·b ＝cos 32x ·cos x 2－sin 32x sin x 2＝cos 2x .∵a ＋b ＝(cos 32x ＋cos x 2，sin 32x －sin x 2)，∴|a ＋b |2＝(cos 32x ＋cos x 2)2＋(sin 32x －sin x 2)2＝2＋2(cos 32x cos x 2－sin 32x sin x 2)＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x∵x ∈[0，π2]，∴cos x ≥0，因此|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)知f (x )＝cos 2x －4λcos x ＝2cos 2x －4λcos x －1， ∴f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2，cos x ∈[0,1]． ①若0<λ≤1，则当cos x ＝λ时，f (x )有最小值－1－2λ2＝－32，解得λ＝12.②若λ>1，则当cos x ＝1时，f (x )有最小值1－4λ＝－32，解得λ＝58与λ>1矛盾．综合①，②知，λ＝12为所求．12．【解】 (1)∵cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×(255)2－1＝35，而AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝35bc ＝3，∴bc ＝5.又A ∈(0，π)，∴sin A ＝45，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知bc ＝5，而c ＝1，∴b ＝5.∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋12－2×1×5×35＝20，∴a ＝2 5.又a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b ·sin A a ＝525×45＝255.。

2023-2024学年黑龙江绥化市高中数学人教A版必修二平面向量及应用章节测试-5-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年黑龙江绥化市高中数学人教A版必修二平面向量及应用章节测试(5) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分） 1. 如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，为棱的中点，点在棱上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）A . B . C .D .2. 如图，在平行六面体中，，，点在上，且，则（）．A . B . C . D .3. 已知向量，满足，，与的夹角为，向量是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（）A .B .C .D .454. 已知在中，，，，则（）A .B .C .D .543105. 在中，，则等于（）A .B .C .D .6. 设平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. 已知是单位圆上的相异的四个点，且关于原点对称，则的取值范围是（）A .B .C .D .8-48. 已知，，，则实数（）A .B .C .D .9. 钝角中，若，则最大边的取值范围是（）A .B .C .D .或或10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则A .B .C .D .23411. 已知，，，点在内，且与的夹角为，设，则的值为（）A .B .C .D .246812. 已知为的外心，且，则等于（）A .B .C .D .阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 如图，在矩形ABCD中，，F为DE的中点，若，则 = .14. 已知，，与平行，则实数的值为 .15. 在中，角A，，所对的边分别为，，，若，那么．16. 已知非零向量，，，则的最大值为．17. 设，， .(1) 若且，求的值；(2) 若，若存在使得，求的取值范围.18. 在① 是边上的高，且，② 平分，且，③ 是边上的中线，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长．问题：在锐角中，已知，，是边上一点，_________，求边的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19. 在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD，BC的中点，如图所示(1) 写出与向量共线的向量；(2) 求证： .20. 已知向量，， .(1) 若，求实数，的值；(2) 若，求与的夹角的余弦值.21. 中，角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，面积为，已知为锐角，且 .(1) 求；(2) 若，求的最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页共 11 页。

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章末检测第五章)150分(时间：120分钟满分：)60分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共)(分别是△1．如图，D、E、FABC的边AB、BC、CA的中点，则:Z_xx_k.][来源→→→0A.AD＋BE＋CF＝→→→0B.BD－CF＋DF＝→→→0C.AD＋CE－CF＝→→→0D.BD－BE－FC＝)cos 20°)，则a·b等于2．(2011·金华月考)，已知a＝(cos 40°，sin 40°)b＝(sin 20°(，231 D.．1 B. C. A222→→) (则△若a·b<0，ABC是已知△3.ABC中，AB＝a，AC＝b，．直角三角形A．钝角三角形 B ．任意三角形C．锐角三角形D，，＝(m，n)b＝(p4．(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a)(npq)，令a⊙b＝mq－，下面说法错误的是⊙0 ＝ba．若与b共线，则aA⊙⊙b．aab＝B⊙) ab⊙b＝λ(C．对任意的λ∈R，有(λa)2222⊙baD．(a|b)|＋(a·b)|＝|的作用而处于平衡状态．已知单位：牛顿)F，F(F5．一质点受到平面上的三个力，312)(成F，F60°角，且F，F的大小分别为2和4，则F的大小为312127 ．25 D．A6 B．2 C．2) x等于(x)满足条件(8a－b)·c＝30，则，6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)c＝(3，3． D A．6 B．5 C．4→→的面积OAB＝b，则△·辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB7.（2010) (等于222222?|B.a|a·|b|A.|a||b|b－?a·b?＋?11222222 b|b|?＋?|b|a·－?a·b?a| D.||a|C.22→→OA满足：OP＝、C是该平面上不共线的3个点，一动点P8.O是平面上一定点，A、B→→)( ，)AC，λ∈(0，＋∞)则直线AP一定通过△ABC的(＋λAB ＋．内心 B A ．外心D．垂心C．重心3π??，π) (θ∈则一定有)bθ)，＝(1，1－cos θ，其中cos θ已知，9．a＝(sin ，1＋??2B．a⊥b A．a∥bC．a与b的夹角为45°D．|a|＝|b|)(的夹角为b，a则向量，)b－a(⊥a且，2＝|b|，1＝|a|若)湖南师大附中月考(2010·．10．D．135°60°C．120°．A．45°B) |的最大值(，3)，则|a＋＝(2011·广州模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b(1b．119．D．3 B.3 CA．1) c＝(⊥(a＋b)，则，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c12．已知向量a＝(1,2)，b＝(27777????，，－－B. A. ????39937777????，－，－D. C. ????9339题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.14．(2010·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．→→→→→15.（2010·天津）如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD ＝________.→→＝·AC、c，若ABB、C对应的边分别为a、b（16.2011·济南模拟）在△ABC中，角A、→→________.c＝＝1，那么BA·BC) 70分本大题共6小题，共三、解答题(，－2C(－，－2)、B(2,3)、xOy．(10分)(2010·江苏)在平面直角坐标系中，点A(－117 ．1) 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；AB、AC(1)求以线段→→→的值．，求ttOC)·OC＝0）设实数（2t满足(AB－)．α，3sin α(4,0)的坐标分别为A，B(0,4)，C(3cos 已知18．(12分)A、B、C→→?）-0，（α的大小；BC|，求角AB（1）若α∈,且||＝|2αsin 2α＋2sin→→的值．BC，求（2）若AC⊥αtan 1＋Asin 的对边，且2a分别为内角cA，B，C，在△分19．(12)(2010·辽宁)ABC中，ab，.)sin C(2c＋b)sin (2＝b＋cB＋的大小；(1)求A ABC的形状．，试判断△＝sin B若(2)sin ＋C1ππ→→????????x＋x－sin＝，cos 2，－1x，定义函数20（12分）已知向量，OQOP＝－2cos????????22→→.OQ＝)OP·f(x 的表达式，并指出其最大值和最小值；(x)(1)求函数fABC，求△＝8)b，c，且f(A ＝1，bc中，角(2)在锐角△ABCA，B，C的对边分别为a，.S的面积*Z*X*X*K] 科:学*[来源1)n mile(3－处，发现北偏东分)(2011·衡阳月考)在海岸A45°方向，距离A处21．(12 的C处的缉私船奉命以的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile30°处向北偏东10 n mile/h的速度从B103n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？(sin ＝为△ABC的三个内角，天津一中高三第四次月考m)设A，B，C22．(12分)(2010·22Csin . ＝m|sin －|B n|B0)＋sin C,，n＝(0，sin A)且|(1)求角A的大小；(2)求sin B＋sin C的取值范围．[由数量积的坐标表示知．B2 sin 40°cos 20°cos 40°sin 20°＋a·b＝3.]sin 60°＝＝2⊙⊙－mq b，a＝np．B[∵a np b＝mq－，4⊙⊙.]a∴abb≠222|cos(180°F－2|F||F|F|＝27.] ＝F＋D5．[因为F)－60°＝28，所以233121，(2,5)＝(6,3)a －b)＝(8,8)－(86．C[∵4.]，∴x＝3＋3x＝30－∴(8ab)·c＝6×1 〉〈|sin a，b＝7．C[S|a||b OAB△212，b cos|1－〉〈ab＝|a||221?b?a·－||b| 1|＝a22|b|2|a|1222.] ?ba＝||||－a·b?2．3π??，π∈θ|，∵b，9．B[a·＝sin θ＋|sin θ??2.]，∴a⊥b∴|sin θ|＝－sin θ，∴a·b＝02＝0a⊥(a－b)，得a，－a·b10．A[由22.|cos θ|a＝a·b，所以a|＝|a||b即 2 θ，|＝1，|b|＝＝2，所以cos 因为|a2.]θ＝45°又θ∈[0°，180°]，所以3)x＋，a＋b＝(sin x＋1，cos C11．[由22 3x＋1??＋?cos x ＋得|a＋b|＝?sin5 3cos x＋＝2sin x＋231??5＋4＝xsin x＋cos ??22π??＋x4sin3.] ＝＋55≤4＋＝??3 2)，，＝(x＋1y＋c．D[设＝(x，y)，则c＋a12 ∥b，又(c＋a) ＝0.①2)＋3(x＋1)∴2(y＋b)c⊥，(a＋又＝0.②＝3x－yy∴(x，)·(3，－1)77.]y＝－由①②解得x＝－，39313.→→→→→a－b|＝3. ，由余弦定理得，OB＝BA| －－OBOA如图，解析a＝，b＝，ab＝OA14．北偏东30°3a解析如图所示，[来源:]设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝t v，AC＝3t v，B＝120°，由正弦定理知BCAC＝，sin BCABsin∠t v3t v＝，∴sin 120°CAB∠sin1 30°＝，＝∴sin∠CAB，∴∠CAB 2 ，a＝AB＝BC，∴30°＝ACB∴∠．222 cos 120°AB·AB＋BCBC－∴AC2＝1??2222－·a2＋aa＝3a－，＝??2. ＝3∴ACa315..2 ＝＝c，AC＝b，BCa，解析设AB→→→→由AB·AC＝BA·BC.得：cbcos A＝cacos B B，sin Acos A＝cos B由正弦定理得：sin<π－A＝0，因为－π<B即sin(B－A).ab＝B＝A，从而所以→→1，accos B＝由已知BA·BC]＝1 得：222b－＋ac ，由余弦定理得：ac＝1ac22222.2即a，所以＋cc－b＝＝→，AB＝(3,5)17．方法一由题意知→－1,1)，AC＝(→→→→)分．AC＝……………………………………………………(2,6)(4,4)，AB－AC＝(3＋则AB ACABAC??210AB?2.＝所以，4) 分(6、42.…………………………………………故所求的两条对角线的长分别为210的、C，则E为方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为EB中点，E(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．故所求的两条对角线的长分别为BC＝42，AD＝210.……………………………………………………………………(6分)→（2）由题设知：OC＝(－2，－1)，→→AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．………………………………………………………………(8分)→→→由(AB－tOC)·OC＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，11从而5t＝－11，所以t＝－.…………………………………………………………(105:Zxxk.]来源)[分．由已知，根据正弦定理得解(1)19．2&Z&X&X&K]学&科b＋(2c＋b)c，[来源2a:＝(2b＋c)222) a(4＝b＋c分＋bc.………………………………………………………………………即222＝bA＋c，－2bccos 由余弦定理得a1)180°＝－故cos A，∵A∈(0°，2) 分∴A＝120° (6222)B＋sinC＋sin B(2)由(1)得sinsin A＝sinC1)＝sin C＝.………………………………………………(9分1又sin B＋sin C＝，得sin B 2. 30°C＝<90°，故B＝<因为0°B<90°，0°<C)(12分ABC所以△是等腰的钝角三角形．……………………………………………………→→来源:－cos 2x[cos x，－1)·(－x，cos 2x)＝sin 2x((20．解（1）fx) ＝OP·OQ＝－2sin科学&&]π??－2x) …………………………………………………………………………(4分，＝2sin??4)和－分2.∴f(x)……………………………………………(6的最大值和最小值分别是2π2??－2Asin1，∴f＝. (2)∵(A)＝??423ππππ.－＝∴2A－＝或2A4444ππ).或A＝…………………………………………………………………………(9分∴A＝24π，∵＝.bc＝又∵△ABC8为锐角三角形，∴A4211)分2.……………………………………(12sin bcA＝×8＝×2的面积∴△ABCS＝222 ，如图所示) h在D处追上走私船，画出示意图(解21．设缉私船用t则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，，2＝AC，1－3＝AB∵．，＝120°∠BAC ∴由余弦定理，得222 BCBAC＝ABcos＋AC∠－2AB·AC·22)分6，……………………………………－2×(4(3－1)×2×cos 120°＝＝(3－1)＋2AC BAC＝sin ∠∴BC＝6，且sin∠ABC BC223 ＝，＝×226(8与正北方向垂直．………………………………………………∴∠ABC＝45°，∴BC:]来源分)[ ，90°＋30°＝120°∵∠CBD＝中，由正弦定理，得在△BCDCBD∠BDsin ＝sin∠BCD CD1sin 120°10t ，＝＝2t310)分即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．.....................(12∴∠BCD＝30°，2222 AC)－sin－|n|＝(sin B＋sin 解22．(1)∵|m|222) C (3)C－sinA＋2sin ＝sinBB＋sinsin依题意有，222 Bsin C，＋2sin Bsin Csin＋Bsin＝C－sinsin A222) …………………………………………………(6分A＝－sin B∴sinsin B＋sinCC－sin，222 bc，c由正弦定理得：b＋－a＝－222bc＋c－－ab1)，π＝－，∵A∈(0∴cos A＝＝22bcbc22π)分A＝.………………………………………………………………………………(8所以3π2πCB＋＝，(2)由(1)知，A＝，∴33π??B－sin ＋sin C＝B＋sin∴sin B??3π31??＋BsinB ＝＝sin B＋cos ) .………………………………………………………(10分??322ππ:ZXXK] [来源0<B<，＋∵BC＝，∴33π2πππ3??＋B<sin<，则则<B＋，≤1??33332??3??CB.……………………………………………(12sin 即＋sin 的取值范围为分) 1，??2．。

人教版高中数学全套试题第五章 平面向量章末检测

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元 期末复习测试题试卷