双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法

双缝干涉条纹间距公式的推导

相干光经双缝后再次在/开上相遇互相叠加，形成了稳定的明暗相间的干涉条纹，理论利实验 都证明：在两狭缝间的距离和狭缝与屛问的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距 跟光的波长成止比，现简要推导如下：

如图，0是Sls2的中垂线与加的交点：d 是S1、S2的距离：I 是缝与屏的距离：X 是 .■

i 点的距离；r1、r2是刖上P 点到s1. s2的距离：设sV s2到P 点的路程差为6= r2-r1,山图可知

打至 1 + ( X - —( 2 ) *

2

(1 ) - ( 2 )可得：心 .■ 日. d , r *= ( x+ — J ( x- — ) -2dx*- 2 2

即 1( “ + r ：)(心—竺)=2dx*=" 由于 1 »d l»x JI S 此

r ；+r ：Q2N

~ . d * , d 所以：V r 产一X 即：6 = —xd

1 1

P 点到0 ;；：

X* t

当S等于光波波长入的整数倍时 > 两列波在P点同相加强/出现亮条纹3

Rn a

1

则x= k — A

d (k=0 > ±19±2 J ±31 — )

(k=0 > ±1 J ±2 J ±3 > — ) V

所以円一xk

1 1 1

=(k+1 )—入—k — A = — A

3

d d

d

1

即Ax =—入

d

(4)2

当5等于光波半波长2的奇数倍时 > 两列波在P •点反

2

相減弱“出现暗条鎮:7

(k=0・±l,±2，±3,

(k=O.±l >±2f±3>—)

则皿“L占

d 2

所以Ax = X K■ xk=( 2id3 ) —--- ( 2kH ) —•

d 2 d

即△龙=—A

d

根据（4）、（5）两式町知：相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为△ x=1/dA，而I、d 和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

［应用］相干光经双缝产生干涉现象，半发生如下变化时，干涉条纹如何变化？（1）屏幕移近；（2）缝距变小；（3〉波长变长；

［分析］由公式Ax = 1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离△ X与I、入成正比，与d成反比。

（1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。

（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。

（3）若波长入变长，则从变大。因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧, 出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。

另外在研究干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。

双缝干涉条纹间距公式的推导

■

>

如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为—的点与

2 -的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离2

差为波长整数倍（零除外）的双曲线簇。其中2，0 -,0为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为:

2

用直线I去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将y I代入双曲线簇的方程，有:

(1)条纹是等间距的;

(2)相邻两条纹的间距为

至此，证明了条纹间距公式:n ~2

解得:

I 2

d 2

2

f |2

(4 d 2 n 2 2

上式中，d 的数量级为10 4m , 为 10 7m 。故 d 2

2 d 2, x 的表达式简化为: x n J 4 ・

V d 2

其中I 的数量级为10o m , d 的数量级为 10 4m ° 故 d 2

104, x 的表达式简化为: 可见，交点横坐标成一等差数列，公差为 —，这说明:

d

杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?

海军航空工程学院 李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第ii 期

在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为： Ax = L "d ,其中L 为双缝与屏的间距，d 为双缝间距，对单色光而 言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图

我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢？

SI

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图

m2

设定双缝S i 、S 2的间距为d 双缝所在平面与光屏 P 平行。双缝与屏之间的垂直距离为 L ,我们在屏上任取一点 P i ,设定点P i 与双缝S i 、S 2的距离分别为r i 和「2, O 为双缝S i 、S 2的中点，双缝 S i 、S 2的连线的中垂线与屏的交点为 P 0，设P 1与P 0的距离为x ，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下 L>>d ，在这种情况下由双缝

S i 、S 2发出的光到达屏上 P i 点的光程差 Ar 为

io

S2M = r2 —rc dsin 0, (i)

其中0也是OP o 与OP 1所成的角。 因为d<

x

sin 銓 tan 0= f

因此Ar ~ dsin 銓df

x

当Ar -df =± k 入时，屏上表现为明条纹，其中 k = 0, 1, 2,

x 1

当Ar ~df =±( k + 2 )入时，屏上表现为暗条纹，其中是

k = 0,1, 2, 我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。

当x =± kd 入时，屏上表现为明条纹，其中 k = 0, 1, 2，…。

1 L

当x =±( k + 2 ) d 入时，屏上表现为暗条纹，其中 k = 0, 1, 2,-o 我们还可以算出相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为

L

Ax = x k + 1 — x k = d 入。 (5)

至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第 1次是在运用公式

丄OP 1,因此/ P 0OP 1 = / S 2S 1M ，如果要保证/ S 1P 1S 2很小，只要满足 d<

表1

tan 0 s in 0 从表1中我们可以看出当 0= 6°寸，一- 0.6%。因此当0> 6。时，相对误差就超过了

0.6%，因此我们通常说 si n0= tan 0成立的条件是 0< 5°当0> 5。时, sin 0(3) Ar =「2— r 仟dsin0的时候，此式近似成立的条件是/

S i P 1S 2很小，因此有 S i M 丄S 2P 1, S i M