7函数的性质 单调性

辅导讲义

函数的基本性质

知识点一函数的单调性

[导入新知]

1．定义域为I的函数f(x)的增减性

2．单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

[化解疑难]

1．x1，x2的三个特征

(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；

(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1

(3)同属一个单调区间．

2．理解函数的单调性应注意的问题

(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．

(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．

(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连

接．如函数y＝1

x在(－∞,0)和(0,＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝

1

x在(－∞,0)∪(0,＋∞)

上单调递减．

(4)并非所有的函数都具有单调性．如函数f (x )＝⎩⎨

⎧

1，x 是有理数

，

0，x 是无理数

就不具有单调性．

知识点二 函数的最大值与最小值

[提出问题]

观察下列函数图象：

问题1：该函数f (x )的定义域是什么?

问题2：该函数f (x )图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么?

问题3：函数y ＝f (x )的值域是什么?

[导入新知] 1．最大值

一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .

那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．最小值

一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .

那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． [化解疑难]

1．函数最大(小)值的几何意义

函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 2．函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系

(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y ＝1

x ．如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得，即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．