工程优化第一章
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例2.4 有一旅行团从v0出发要遍游城市 v1,v2,…,vn，已知从vi到vj的旅费为cij， 问应如何安排行程使总费用最小？
§1 背景知识
历史与现状
Page 13
公元前500年，古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形
长与宽的最佳比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数至今在 优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解
决最优化问题。阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积 为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。但是 最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
Ⅰ
2.5m 1.3m 料头 3 0 0.5
Ⅱ
2 2 0.4
Ⅲ
1 4 0.3
Ⅳ
0 6 0.2
§2 最优化问题举例
列出下面的数学模型：
Page 25
设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1,2,3,4), 可
min Z x1 x2 x3 x4 3 x1 2 x2 x3 100 2 x2 4 x3 6 x4 200 x 0( j 1, 2, 3, 4) j
主要关注优化问题的表述并研发求解策略，通常使
用已经研究好的算法或者软件.
这个层次碰到的许多问题含有线性约束和离散变量.
•
工程层次
将优化策略应用到具有挑战性的(通常定义的很差
的)实际问题中.
这个层次的优化知识混杂了可应用方法的有效性和
可靠性，主要研究内容：解的分析，求解方法失败 的诊断及恢复.
r 2 h R3
即
4 3
为金属比重. 0.R 1
4 r h 3
2
4 r h 0 3
2
§2 最优化问题举例
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
Page 20
min 2 rh 2 r 2
min 2 rh 2 r 2 则得原问题的数学模型： 4 2 s.t . r h 0 3
§1 背景知识
数学模型：对现实事物或问题的数学抽象或描述
Page 16
决策变量和参数
决策变量是由数学 模型的解确定的未 知数。参数表示系 统的控制变量，有 确定性的也有随机 性的。
目标函数
作为系统决策变 量的一个数学函 数来衡量系统的 效率，即系统追 求的目标。
约束或限制条件
由于现实系统的 客观物质条件限 制，模型必须包 括把决策变量限 制在它们可行值 之内，即约束条 件。
2
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
4 2 L r , h, 2 rh 2 r r h 3
分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零. 有:
§2 最优化问题举例
L r 2 h 4 r 2rh 0 L 2 2 r r 0 h L 4 2 r h 0 3
课程任务
讲授最优化的基本理论和方法，要求通过本课程的学习， 具有应用最优化方法解决实际问题的技能，并为以后的学 习和工作打好基础.
主要内容
包括线性规划、非线性规划、约束优化、无约束优化等， 并对如何建立数学模型、如何选择优化方法和提高优化效 率作了适当的介绍。
第一章 绪论 第二章 基本概念和理论基础 第三章 常用的一维搜索方法
教材及主要参考书目
教 材：《最优化计算方法》陈开周编，西电出版社 参考①：《最优化理论与算法》陈宝林编，清华大学出版 参考②：《最优化理论与方法》袁亚湘等编，科学出版社
优化软件
Matlab优化工具箱(见姜启源等编的《数学实验》, 高教出版社) Lingo软件(\verb" http://www.lingo.com“ Cplex(科学研究论文的仿真中常用！) AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming 其 它(Mathematica, Minos, Excel等的优化功能).
第四章 无约束最优化方法
第五章 线性规划
第六章 约束最优化方法
课程主题
Page 4
线性与非线性规划的－－基本理论、实用算法和部分应用 具体的主题包括： 经典优化方法 vs 启发式优化方法
线性规划 基本性质、单纯形法、对偶理论 网络流问题、整数规划 非线性规划 最优性条件、凸性、Lagrange对偶、半定规划 无约束优化算法：线搜索法(最速下降法、牛顿法、共 轭梯度法、拟牛顿法)、信赖域法、最小二乘 线性约束优化算法：二次规划(消元法、积极集法) 非线性约束优化算法：罚函数法、SQP法
重点研究“优化问题和算法的基本性质”.
Page 8
核心问题：解的存在性、算法的收敛性和相关问题(比
如稳定性和收敛速度).
• 科学计算层次
受数学性质和(为了有效和实用目的)实现的强烈影响.
研究问题包括数值稳定性、算法步骤的病态、计算复杂
度和性能.
优化研究之运筹和工程
• 运筹层次
Page 9
17 世纪，Newton & Leibniz 提出了函数的极值问题；后来
出现了Lagrange乘数法;
1847年，Cauchy研究了函数值沿什么方向下降最快的问题，
提出了最速下降法；
§1 背景知识
历史与现状
Page 14
1939年，苏联数学家提出解决下料问题和运输问题这两种
线性规划问题的求解方法；
Page 21
h 2r
r
3
2 . 3
2 h2 3
3
此时圆柱体的表面积为:
2 S 6 3
2 3
§2 最优化问题举例
Page 22
例2.2(多参数曲线拟合问题) 已知两个物理量x和y之间的依赖关系 为:
y a1
a2
x a4 1 a3 ln 1 exp a5
授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业 作业以章为单位，每章结束后交作业，部分作业会在课
堂上讲评，课前和课间答疑 作业以活页方式提交，写清楚姓名、学号、院系专业
学科总成绩
平时成绩 （20％）
期末成绩 （80％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
优化研究之数学规划和科学计算
• 数学规划层次
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从
而我们的问题就转化为5维无约束最优化问题. 即
m a2 min f (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) min yi a1 xi a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a 5
2
§2 最优化问题举例
Page 24
例2.3 现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100 根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用 料最少？
解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料 方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满 足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出 4种下料方案以供套裁用。
1947年，Dantzig 提出解线性规划问题的单纯形法，被称为
“20世纪最伟大的创作之一”；
1948年，Fritz John 提出最优性条件； 1951年，Kuhn和Tucher 提出最优性条件，完成了非线性
规划的基础工作；……
近几十年来，最优化理论和算法发展十分迅速，应用也 越来越广泛，在工农业生产、社会经济、国防、航空航天工 业中处处可见其用途，已成为一个相当庞大的研究领域.
y
x
§2 最优化问题举例
Page 23
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的平方和作为这种“偏差”的 度量. 即 2
m a 2 S yi a1 x i a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a 5
§1 背景知识
研究对象 ①由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型
Page 15
②对所形成的最优化数学模型进行数学加工和求解
对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于 第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系统的 资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的基 础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以合理发展。 因此，在学习本课程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化 的数学模型。 为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优化数学模 型，下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。
其中a1，a2，a3，a4和a5为待定参数,为确定这些参数，对x、y测得 m个实验点(x1,y1),(x2,y2),…, (xm,ym).试将确定参数的问题表示成最 优化问题. 解: 很显然对参数a1，a2，a3，a4和a5任意给定 的一组数值,就由上式确定了 y关于x的一个函 数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条曲线 不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”.
工程优化方法
课程编号：X00MS1031 课程学时：48 课程学分：3
任课教师：寇晓丽 联系方式：kou_xiao_li@126.com
课程简介
最优化是一个重要的数学分支，同时又是一门应用广泛、
实用性很强的学科. 最优化—“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最 佳方案以达到最优目标” . 随着近代科技与生产发展的需要和计算机技术的飞速发 展，最优化已广泛应用于各个领域.
先修课程：线性代数，高等数学，一种高级编程语言
基本要求
课程环节 掌握最优化理论的基本概念；无约束优化的基本理论； 约束优化的基本理论及线性规划的基本理论. 熟悉并掌握一维搜索方法:最速下降法、共轭梯度法、牛 顿型方法、变尺度法等等. 实践环节 学习并使用优化软件 (能简单调用，理解输入输出参数， 并会调整算法的主要参数) 实现某些算法(无约束优化算法与罚函数法) 撰写课程小论文/数值优化问题
Page 10
Βιβλιοθήκη Baidu
作为工程师理解并运用最新最有效的优化方法求解特 定的应用， 作为数学优化的专家(应用数学和运筹学)发展更好的 求解方法， 为具有挑战性的管理问题和工程问题研发更好的方法 和问题表述.
第一章 绪 论
本章主要内容：
§1 背景知识 §2 最优化问题举例 §3 最优化问题的数学模型与分类 §4 最优解与极值点
§1 背景知识
Page 12
最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。 一般地，将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策， 搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学 理论称为最优化理论。 最优化问题的两大要素： ①可能的方案；②要追求的目标。后 者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为静态最优化 问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题。
§1 背景知识
一般模型的简化工作包括以下几类：
•将离散变量转化为连续变量； •将非线性函数线性化； •删除一些非主要约束条件。
Page 18
§2 最优化问题举例
Page 19
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管 理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不强的实例。 例2.1 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱 体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h, 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
§1 背景知识
线性规划数学模型的一般形式
Page 17
约束条件：s .t . g x , y , ( , )0,
目标函数：min
f xi , y j , k
l i j
k
l 1,2, , m
在 gl ( xi , y j , k ) ( , )0 的约束下求决策变量x， 使函数 f ( xi , y j , k ) 达到极小min；若求极大max， 相当于一个min（-f）。
§1 背景知识
历史与现状
Page 13
公元前500年，古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形
长与宽的最佳比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数至今在 优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解
决最优化问题。阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积 为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。但是 最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
Ⅰ
2.5m 1.3m 料头 3 0 0.5
Ⅱ
2 2 0.4
Ⅲ
1 4 0.3
Ⅳ
0 6 0.2
§2 最优化问题举例
列出下面的数学模型：
Page 25
设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1,2,3,4), 可
min Z x1 x2 x3 x4 3 x1 2 x2 x3 100 2 x2 4 x3 6 x4 200 x 0( j 1, 2, 3, 4) j
主要关注优化问题的表述并研发求解策略，通常使
用已经研究好的算法或者软件.
这个层次碰到的许多问题含有线性约束和离散变量.
•
工程层次
将优化策略应用到具有挑战性的(通常定义的很差
的)实际问题中.
这个层次的优化知识混杂了可应用方法的有效性和
可靠性，主要研究内容：解的分析，求解方法失败 的诊断及恢复.
r 2 h R3
即
4 3
为金属比重. 0.R 1
4 r h 3
2
4 r h 0 3
2
§2 最优化问题举例
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
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min 2 rh 2 r 2
min 2 rh 2 r 2 则得原问题的数学模型： 4 2 s.t . r h 0 3
§1 背景知识
数学模型：对现实事物或问题的数学抽象或描述
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决策变量和参数
决策变量是由数学 模型的解确定的未 知数。参数表示系 统的控制变量，有 确定性的也有随机 性的。
目标函数
作为系统决策变 量的一个数学函 数来衡量系统的 效率，即系统追 求的目标。
约束或限制条件
由于现实系统的 客观物质条件限 制，模型必须包 括把决策变量限 制在它们可行值 之内，即约束条 件。
2
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
4 2 L r , h, 2 rh 2 r r h 3
分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零. 有:
§2 最优化问题举例
L r 2 h 4 r 2rh 0 L 2 2 r r 0 h L 4 2 r h 0 3
课程任务
讲授最优化的基本理论和方法，要求通过本课程的学习， 具有应用最优化方法解决实际问题的技能，并为以后的学 习和工作打好基础.
主要内容
包括线性规划、非线性规划、约束优化、无约束优化等， 并对如何建立数学模型、如何选择优化方法和提高优化效 率作了适当的介绍。
第一章 绪论 第二章 基本概念和理论基础 第三章 常用的一维搜索方法
教材及主要参考书目
教 材：《最优化计算方法》陈开周编，西电出版社 参考①：《最优化理论与算法》陈宝林编，清华大学出版 参考②：《最优化理论与方法》袁亚湘等编，科学出版社
优化软件
Matlab优化工具箱(见姜启源等编的《数学实验》, 高教出版社) Lingo软件(\verb" http://www.lingo.com“ Cplex(科学研究论文的仿真中常用！) AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming 其 它(Mathematica, Minos, Excel等的优化功能).
第四章 无约束最优化方法
第五章 线性规划
第六章 约束最优化方法
课程主题
Page 4
线性与非线性规划的－－基本理论、实用算法和部分应用 具体的主题包括： 经典优化方法 vs 启发式优化方法
线性规划 基本性质、单纯形法、对偶理论 网络流问题、整数规划 非线性规划 最优性条件、凸性、Lagrange对偶、半定规划 无约束优化算法：线搜索法(最速下降法、牛顿法、共 轭梯度法、拟牛顿法)、信赖域法、最小二乘 线性约束优化算法：二次规划(消元法、积极集法) 非线性约束优化算法：罚函数法、SQP法
重点研究“优化问题和算法的基本性质”.
Page 8
核心问题：解的存在性、算法的收敛性和相关问题(比
如稳定性和收敛速度).
• 科学计算层次
受数学性质和(为了有效和实用目的)实现的强烈影响.
研究问题包括数值稳定性、算法步骤的病态、计算复杂
度和性能.
优化研究之运筹和工程
• 运筹层次
Page 9
17 世纪，Newton & Leibniz 提出了函数的极值问题；后来
出现了Lagrange乘数法;
1847年，Cauchy研究了函数值沿什么方向下降最快的问题，
提出了最速下降法；
§1 背景知识
历史与现状
Page 14
1939年，苏联数学家提出解决下料问题和运输问题这两种
线性规划问题的求解方法；
Page 21
h 2r
r
3
2 . 3
2 h2 3
3
此时圆柱体的表面积为:
2 S 6 3
2 3
§2 最优化问题举例
Page 22
例2.2(多参数曲线拟合问题) 已知两个物理量x和y之间的依赖关系 为:
y a1
a2
x a4 1 a3 ln 1 exp a5
授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业 作业以章为单位，每章结束后交作业，部分作业会在课
堂上讲评，课前和课间答疑 作业以活页方式提交，写清楚姓名、学号、院系专业
学科总成绩
平时成绩 （20％）
期末成绩 （80％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
优化研究之数学规划和科学计算
• 数学规划层次
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从
而我们的问题就转化为5维无约束最优化问题. 即
m a2 min f (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) min yi a1 xi a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a 5
2
§2 最优化问题举例
Page 24
例2.3 现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100 根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用 料最少？
解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料 方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满 足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出 4种下料方案以供套裁用。
1947年，Dantzig 提出解线性规划问题的单纯形法，被称为
“20世纪最伟大的创作之一”；
1948年，Fritz John 提出最优性条件； 1951年，Kuhn和Tucher 提出最优性条件，完成了非线性
规划的基础工作；……
近几十年来，最优化理论和算法发展十分迅速，应用也 越来越广泛，在工农业生产、社会经济、国防、航空航天工 业中处处可见其用途，已成为一个相当庞大的研究领域.
y
x
§2 最优化问题举例
Page 23
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的平方和作为这种“偏差”的 度量. 即 2
m a 2 S yi a1 x i a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a 5
§1 背景知识
研究对象 ①由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型
Page 15
②对所形成的最优化数学模型进行数学加工和求解
对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于 第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系统的 资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的基 础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以合理发展。 因此，在学习本课程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化 的数学模型。 为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优化数学模 型，下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。
其中a1，a2，a3，a4和a5为待定参数,为确定这些参数，对x、y测得 m个实验点(x1,y1),(x2,y2),…, (xm,ym).试将确定参数的问题表示成最 优化问题. 解: 很显然对参数a1，a2，a3，a4和a5任意给定 的一组数值,就由上式确定了 y关于x的一个函 数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条曲线 不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”.
工程优化方法
课程编号：X00MS1031 课程学时：48 课程学分：3
任课教师：寇晓丽 联系方式：kou_xiao_li@126.com
课程简介
最优化是一个重要的数学分支，同时又是一门应用广泛、
实用性很强的学科. 最优化—“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最 佳方案以达到最优目标” . 随着近代科技与生产发展的需要和计算机技术的飞速发 展，最优化已广泛应用于各个领域.
先修课程：线性代数，高等数学，一种高级编程语言
基本要求
课程环节 掌握最优化理论的基本概念；无约束优化的基本理论； 约束优化的基本理论及线性规划的基本理论. 熟悉并掌握一维搜索方法:最速下降法、共轭梯度法、牛 顿型方法、变尺度法等等. 实践环节 学习并使用优化软件 (能简单调用，理解输入输出参数， 并会调整算法的主要参数) 实现某些算法(无约束优化算法与罚函数法) 撰写课程小论文/数值优化问题
Page 10
Βιβλιοθήκη Baidu
作为工程师理解并运用最新最有效的优化方法求解特 定的应用， 作为数学优化的专家(应用数学和运筹学)发展更好的 求解方法， 为具有挑战性的管理问题和工程问题研发更好的方法 和问题表述.
第一章 绪 论
本章主要内容：
§1 背景知识 §2 最优化问题举例 §3 最优化问题的数学模型与分类 §4 最优解与极值点
§1 背景知识
Page 12
最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。 一般地，将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策， 搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学 理论称为最优化理论。 最优化问题的两大要素： ①可能的方案；②要追求的目标。后 者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为静态最优化 问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题。
§1 背景知识
一般模型的简化工作包括以下几类：
•将离散变量转化为连续变量； •将非线性函数线性化； •删除一些非主要约束条件。
Page 18
§2 最优化问题举例
Page 19
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管 理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不强的实例。 例2.1 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱 体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h, 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
§1 背景知识
线性规划数学模型的一般形式
Page 17
约束条件：s .t . g x , y , ( , )0,
目标函数：min
f xi , y j , k
l i j
k
l 1,2, , m
在 gl ( xi , y j , k ) ( , )0 的约束下求决策变量x， 使函数 f ( xi , y j , k ) 达到极小min；若求极大max， 相当于一个min（-f）。