二项式定理复习课件和练习题高品质版
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2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
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对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
《二项式定理》复习课件(理)
《二项式定理》复习课件 (理)
这个课件将帮助你复习《二项式定理》的基本概念、推导及证明过程、各种 形式、应用等。让我们开始吧！
基本概念
1 什么是二项式定理？
学习二项式定理最重要的第一步是了解其基本概念。
2 二项式展开
学会使用二项式定理将二项式展开成多项式。
公式推导及证明过程
了解二项式定理推导和证明的过程有助于理解其原理和逻辑。
三种形式
普通形式
通过公式进行计算，适用于简单的情况。
杨辉三角形式
利用杨辉三角形式的二项式定理，可以更好地组织和计算。
多项式形式
将二项式定理推广至多项式，扩展其应用范围。
组合数的定义及性质
1 什么是组合数？
了解组合数的定义是学习和应用二项式定理的基础。
2 组合数的性质
掌握组合数的一些常见性质，有助于在计算中快速应用。
杨辉三角的使用及性质
1 什么是杨辉三角？
学会使用杨辉性质
了解杨辉三角的性质有助于解决一些与二项式定理相关的问题。
二项式定理在计算中的应用
学习如何在计算中应用二项式定理，以快速求解复杂的表达式。
线性二项式
什么是线性二项式？
了解线性二项式的特点和求解方法，为更复杂的 问题打下基础。
解线性二项式的方程
学会求解线性二项式的方程，解决实际问题。
二项式定理拓展：多项式定理
了解如何将二项式定理推广到多项式，扩大其应用范围。
这个课件将帮助你复习《二项式定理》的基本概念、推导及证明过程、各种 形式、应用等。让我们开始吧！
基本概念
1 什么是二项式定理？
学习二项式定理最重要的第一步是了解其基本概念。
2 二项式展开
学会使用二项式定理将二项式展开成多项式。
公式推导及证明过程
了解二项式定理推导和证明的过程有助于理解其原理和逻辑。
三种形式
普通形式
通过公式进行计算，适用于简单的情况。
杨辉三角形式
利用杨辉三角形式的二项式定理，可以更好地组织和计算。
多项式形式
将二项式定理推广至多项式，扩展其应用范围。
组合数的定义及性质
1 什么是组合数？
了解组合数的定义是学习和应用二项式定理的基础。
2 组合数的性质
掌握组合数的一些常见性质，有助于在计算中快速应用。
杨辉三角的使用及性质
1 什么是杨辉三角？
学会使用杨辉性质
了解杨辉三角的性质有助于解决一些与二项式定理相关的问题。
二项式定理在计算中的应用
学习如何在计算中应用二项式定理，以快速求解复杂的表达式。
线性二项式
什么是线性二项式？
了解线性二项式的特点和求解方法，为更复杂的 问题打下基础。
解线性二项式的方程
学会求解线性二项式的方程，解决实际问题。
二项式定理拓展：多项式定理
了解如何将二项式定理推广到多项式，扩大其应用范围。
课件1：1.3 二项式定理（习题课）
（三）展开式中各项系数和
例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为……（ D）
A.2n+1
B.2n
C.0
D.1
分析：设(2x2-1)n=a0x2n+a1x2(n-1)+…+an，
展开式各项系数和为a0+a1+a2+…+an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时(2-1)n=a0+a1+a2+…+an
数相等.
2.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且
最大.
n
2
3.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于
；奇数项的
二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2 n 1.
(一)通项公式的应用
例1、（1）如果 （
1
+ ）2 的展开式中，第四项与第六项的系
第一章 计数原理
§1.3二项式定理复习
高中数学选修2-3·同步课件
概念复习
n
0 n
1 n 1
r nr r
n n
(
a
b
)
C
a
C
a
b
C
a
b
C
b
n
n
n
n
1、二项式定理：
通项（第r+1项）：Tr 1 C nr a nr b r
2、二项式系数的性质：
1.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系
数相等，求展开式中的常数项；
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
A.−
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
二项式定理复习课件和练习题高品质版
【思路点拨】(1)把51分为52-1,再按二项式定理展开即可. (2)把1.025转化为二项式，展开后，根据精确度的要求取必要 的几项即可. (3)先求和，再将和式化成含有31的二项式，展开即可证明.
【规范解答】(1)选D.∵512 012=(52-1)2 012 = C 0 2 0 1 2 5 2 2 0 1 2 C 1 2 0 1 2 5 2 2 0 1 1 ＋ C 2 2 0 1 2 5 2 2 0 1 0 C 2 2 0 0 1 1 1 2 5 2 ＋ 1 ， ∴ C 0 2 0 1 2 5 2 2 0 1 2 C 1 2 0 1 2 5 2 2 0 1 1 ＋ C 2 2 0 1 2 5 2 2 0 1 0 C 2 2 0 0 1 1 1 2 5 2 能被52整除，即能被13整除. 若512 012+a能被13整除,则a+1能被13整除,又a∈Z，且 0≤a≤13，则a=12.
(C)a=-1,b=2,n=6
(D)a=1,b=2,n=5
(3)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8
=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，
则a1+a2+a3+…+a8=_________.
【思路点拨】(1)根据题意，结合二项式定理可得
C
=2 15,解可
n
得n=6,将其代入二项式，并令x=1,计算(x- 1 )6的值,可得答案.
(2)1.025=(1+0.02)5=1C +15
·0.02+C
2 ·0.022+
二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .
《二项式定理》复习课件
《二项式定理》复习课件二项式定理是一个关于二项式展开的定理，其形式为二项式定理的应用广泛，例如在数学、物理、工程等领域都有应用。
在数学方面，它可以用于解决一些高次方程的求解问题，例如求解一些难以入手的方程。
在物理方面，它可以用于求解一些物理现象的数学模型，例如电磁波的传播、量子力学的描述等。
在工程方面，它可以用于优化一些工程设计的问题，例如电路设计、机械设计等。
解：由于二项式定理的展开式中，每一项的系数都为正整数，因此只需找到展开式中所有项的系数之和最大的项即可。
经过计算可得，该项为第4项，其系数为解：由于常数项即为不含x和y的项，因此只需找到展开式中所有项中不含x和y的项即可。
经过计算可得，该项为第3项，其常数项为熟练掌握二项式定理的公式，并能够灵活运用；多做一些关于二项式定理的实际问题，提高解决实际问题的能力；对于一些综合性较强的问题，要学会融会贯通，综合运用多个知识点解决。
二项式定理，这个数学中的经典理论，早在17世纪就已经由荷兰数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨共同发现。
这个定理以一个简洁的形式，描述了一个在初等数学中非常常见的关系，那就是一个数的整数次幂可以被分解为两个整数的乘积。
二项式定理的形式通常被表示为(a+b)^n，其中a和b是常数，n是一个正整数。
这个形式表明，我们可以将(a+b)^n展开为n个不同的项的组合，每个项都由a和b的整数次幂组成。
这个特性是二项式定理的核心，也是它被广泛应用在数学和物理等多个领域的原因。
二项式定理的发现过程充满了戏剧性。
据说，牛顿是在阅读白葡萄酒和白面包的烘焙过程中得到灵感的。
他观察到面包师在制作过程中，总是将面团擀开三次，每次擀开后都会增加一倍的体积。
这个过程让他联想到了数学中的幂运算，从而发现了二项式定理。
这个故事虽然有些夸张，但无疑说明了牛顿的敏锐观察力和深厚的数学功底。
二项式定理在数学中有着广泛的应用。
例如，在解决一些复杂的多项式问题时，我们可以通过二项式定理将其分解为更简单的项，从而更容易处理。
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
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【解析】(x+1)8的展开式中x3的系数是C
5 8
=56.
答案:56
4.在(1+x)3+(1+ x )3+(1+ 3 x )3的展开式中，x的系数为_____ (用数字作答).
【解析】由条件易知(1+x)3+(1+x )3+(1+3 x )3展开式中x的 系数分别是 C13，C32， ，C即33 所求系数是3+3+1=7. 答案：7
二项展开式中各项的系数为
Crn(r0,1,2, ,n)
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 对称性
即 Cm n Cnnm (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_2_n， 和的性质 即 C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n.
C
·3 22x=-40x,
5
∴x的系数为-40.
(2)选D.第一个因式取x2，第二个因式取 1 得：
x2
1×
C
(1 -1)4=5； 5
第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：
2×(-1)5 =-2，∴展开式的常数项是5+(-2)=3.
【互动探究】在本例题(1)中，x的整式项有几项？分别是第几 项？ 【解析】由本例题(1)的解析可知：Tr+1=(-1)r· ·C (5r2x2)5-r ·x-r=(-1)r· 2C5-5r rx10-3r. 又因为r=0,1,2,3,4,5，所以当r=0,1,2,3时，分别是x的整式 项，共有4项.它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项.
(2)先将(x2+2)( 1 -1)5看作是两个因式相乘的形式，根据展开
x2
式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨论.
【规范解答】(1)选D.Tr+1=(-1)r· C(25r x2)5-r·x-r =(-1)r· C25r5-rx10-3r， 令10-3r=1,则r=3，
∴T4=-
(A)-20
(B)-15
(C)15
(D)20
【解析】选＋1＝C6 k 22x 6k 2x k
＝ 1kC6 k，2xk1＝23k 4时，12-3k＝0，
故第5项是常数项，T5＝(-1)4 C
＝4 15.
6
3.(x+1)8的展开式中x3 的系数是________(用数字作答).
【典例1】(1)(2012·天津高考)在( 2 x 2 1 )5的二项展开式中，
x
x的系数为( )
(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 (2)(2012·安徽高考)(x2+2)( 1 -1)5的展开式的常数项是
x2
()
(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3
【思路点拨】(1)可利用二项展开式的通项，求x的系数.
分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数.
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
1.(2＋x)9展开式的二项式系数之和为( )
(A)29
(B)39
(C)1
(D)210
【解析】选A.因为(a＋b)n展开式的二项式系数之和为2n，所
以(2＋x)9展开式的二项式系数之和为29.
2.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
【解析】(1)错误.由二项展开式通项的定义可知： Cknan应kbk 是二项展开式的第k+1项.
(2)正确.通项 Cknan中kb的k a与b如果互换，则它将成为(b+a)n 的第k+1项.
(3)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数
为C
k，显然它与a,b无关.
n
(4)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部
【提醒】二项展开式某一项的系数是指该项中字母前面的常数 值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数与a,b 的取值无关.
【变式备选】(2013·西安模拟)(1+2x)n的展开式中x3的系数
等于x2的系数的4倍，则n等于__________.
【解析】∵Tr+1= C
r(2x)r=2r
n
5.在(x-y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 _________. 【解析】Tr＋1＝(-1)r C1r0x1，0r所yr 以有
C 1 3 0 C 1 7 0 2 C 1 3 0 2 4 0 .
答案：-240
考向 1 求二项展开式中的项或项的系数
项的二项式系数为15，则展开式中所有项的系数之和为( )
(A) 1
64
(B) 1
32
(C) 1
64
(D) 1
128
(2)(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的和为243，不含y的
项的系数的和为32，则a,b,n的值可能为( )
【拓展提升】求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数 分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母 的指数，再根据上述特征进行分析. (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等， 一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式 (组)求取值范围.
第三节 二项式定理
1.二项式定理
二项式定理 二项式通项 二项式系数
(a+b)n= C 0 n a n C 1 n a n 1 b C 2 n a n 2 b 2 C r nan rb r C n nb n(n∈N+) Tr+1= Crnanrbr,它表示第_r_+_1_项
C
xr r, n
∴x3的系数是23 C
，3 x2的系数是22
n
C
.2 n
∴ 8C3 n4Cn 2g4,
即 nn1n2,2 解gn得nn =18.
321
21
答案：8
考向 2 二项式系数和或各项系数和
【典例2】(1)(2013·景德镇模拟)若(x- 1 )n的展开式中第3
2x
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1) Cknankbk 是二项展开式的第k项.(
)
(2)通项 Cknankbk 中的a与b不能互换.(
)
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( )
(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，
与该项的二项式系数不同.( )