最大值和最小值定理最大值和最小值
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6
y
例2 函数
1 lim f ( x ) lim x 1, 而 f (1) . x 1 x 1 2
改变函数的定义，令 f (1) 1 则该函数在 x 1 成为连续。
y
x, y f ( x) 1 , 2
x 1, x 1.
O
。
.
x
。
x 1 也称为该函数的可去间断点。
x2 1 x2 3x 2 lim 0 lim 2 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 1
x 2 是无穷间断点，属于第二类间断点。
11
x 2 y , x k , x k tan x 2 当 k 0 时， x x lim lim cos x 1 x 0 tan x x 0 sin x
.
O
x
7
例3 函数
x 1, x 0, y f ( x ) 0, x 0, x 1, x 0.
x 0
y
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
Fra Baidu bibliotekx 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
2
O
2
3 2
x
的无穷间断点。
9
例5
下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那
一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
x2 1 1 y 2 , x 1, x 2; x 3x 2 x 2 y , x k , x k , tan x 2 2 1 3 y cos , x 0; x x 1, x 1, 4 y x 1. 3 x , x 1,
4
证： 设x ( ,),
x
时，则
函数的间断点 设函数 f ( x ) 在点 有下列情形之一： （1）在
x 0 的某去心邻域内有定义。
若函数 f ( x )
x 0没有定义；
x x0 x x0 x x0
（2）虽在 x 0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
（3）虽在 x 0 有定义，且 lim f ( x )存在，但 lim f ( x ) f ( x 0 ); 则函数 f ( x ) 在点 x 0不连续， 而点 x 0 称为函数 f ( x ) 的不连续点 或间断点。
第四节 连续
一、连续与间断
函数的 连续性
函数的连续 性与间断点 左连续
左连续
可去间断点
第一类间断点
函数的 间断点 第二类间断点 振荡间断点 跳跃间断点 无穷间断点
其它间断点
1
定义1 设函数 y f ( x )在点 x 0 的某一邻域内有定义，若函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在， 且等于它在点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ), 即 此定义经常用来判断 lim f ( x ) f ( x 0 )
1 y tan x , y x
不是连续函数。
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
当 x 有增量
x x y sin( x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos x 1 2 x y sin( x x ) sin x 2 sin . 2 又因为当 0 时， sin x x 0 y sin( x x ) sin x 2 sin 2 x 2 2 当 x 0 时， 由夹逼准则得 y 0. 这就证明了 y sin x 在 ( ,) 内连续。
f ( x) f ( x0 )
就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续。
2
在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。
如函数 y sin x , y x 1, y ln x 是连续函数。
3
但
5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
k 0,1,2,;
10
2 x 1 解 1 y , 2 x 3x 2
x 1, x 2
x2 1 x 1 lim 2 lim 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2
x 1 是可去间断点，属于第一类间断点。
补充定义： 当x 1时，y 2. 则该函数在 x 1 点连续。
x x0
就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续。
函数在某点的连续性
上面的定义用 “
”语言表达如下：
定义2 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 的某一邻域内有定义，若对于
0, 0, 使得对于适合不等式 x x 0 的一切 x , 对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
所以
k 0 , 1, 2 ,
是可去间断点，属于第一类间断点 x 0
补充定义： 当x 0时，y 1. 则函数在该点连续。
x lim x k tan x x lim 0 tan x x k
2
当 k 0时，
则 x k 是无穷间断点。 所以 x k
x 0
１
。
－１
O 。
x
不存在。x 0称为 所以 lim f ( x ) 该函数的跳跃间断点。
8
例4 正切函数
2 所以 x 是函数 y tan x 的间断点。 2
y
x
y
tan x 在
x
处没有定义，
lim tan x
2
所以，称
x
2
为函数 y
tan x
y
例2 函数
1 lim f ( x ) lim x 1, 而 f (1) . x 1 x 1 2
改变函数的定义，令 f (1) 1 则该函数在 x 1 成为连续。
y
x, y f ( x) 1 , 2
x 1, x 1.
O
。
.
x
。
x 1 也称为该函数的可去间断点。
x2 1 x2 3x 2 lim 0 lim 2 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 1
x 2 是无穷间断点，属于第二类间断点。
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x 2 y , x k , x k tan x 2 当 k 0 时， x x lim lim cos x 1 x 0 tan x x 0 sin x
.
O
x
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例3 函数
x 1, x 0, y f ( x ) 0, x 0, x 1, x 0.
x 0
y
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
Fra Baidu bibliotekx 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
2
O
2
3 2
x
的无穷间断点。
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例5
下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那
一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
x2 1 1 y 2 , x 1, x 2; x 3x 2 x 2 y , x k , x k , tan x 2 2 1 3 y cos , x 0; x x 1, x 1, 4 y x 1. 3 x , x 1,
4
证： 设x ( ,),
x
时，则
函数的间断点 设函数 f ( x ) 在点 有下列情形之一： （1）在
x 0 的某去心邻域内有定义。
若函数 f ( x )
x 0没有定义；
x x0 x x0 x x0
（2）虽在 x 0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
（3）虽在 x 0 有定义，且 lim f ( x )存在，但 lim f ( x ) f ( x 0 ); 则函数 f ( x ) 在点 x 0不连续， 而点 x 0 称为函数 f ( x ) 的不连续点 或间断点。
第四节 连续
一、连续与间断
函数的 连续性
函数的连续 性与间断点 左连续
左连续
可去间断点
第一类间断点
函数的 间断点 第二类间断点 振荡间断点 跳跃间断点 无穷间断点
其它间断点
1
定义1 设函数 y f ( x )在点 x 0 的某一邻域内有定义，若函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在， 且等于它在点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ), 即 此定义经常用来判断 lim f ( x ) f ( x 0 )
1 y tan x , y x
不是连续函数。
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
当 x 有增量
x x y sin( x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos x 1 2 x y sin( x x ) sin x 2 sin . 2 又因为当 0 时， sin x x 0 y sin( x x ) sin x 2 sin 2 x 2 2 当 x 0 时， 由夹逼准则得 y 0. 这就证明了 y sin x 在 ( ,) 内连续。
f ( x) f ( x0 )
就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续。
2
在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。
如函数 y sin x , y x 1, y ln x 是连续函数。
3
但
5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
k 0,1,2,;
10
2 x 1 解 1 y , 2 x 3x 2
x 1, x 2
x2 1 x 1 lim 2 lim 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2
x 1 是可去间断点，属于第一类间断点。
补充定义： 当x 1时，y 2. 则该函数在 x 1 点连续。
x x0
就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续。
函数在某点的连续性
上面的定义用 “
”语言表达如下：
定义2 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 的某一邻域内有定义，若对于
0, 0, 使得对于适合不等式 x x 0 的一切 x , 对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
所以
k 0 , 1, 2 ,
是可去间断点，属于第一类间断点 x 0
补充定义： 当x 0时，y 1. 则函数在该点连续。
x lim x k tan x x lim 0 tan x x k
2
当 k 0时，
则 x k 是无穷间断点。 所以 x k
x 0
１
。
－１
O 。
x
不存在。x 0称为 所以 lim f ( x ) 该函数的跳跃间断点。
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例4 正切函数
2 所以 x 是函数 y tan x 的间断点。 2
y
x
y
tan x 在
x
处没有定义，
lim tan x
2
所以，称
x
2
为函数 y
tan x