最大值和最小值定理最大值和最小值
什么是最大值和最小值定理问答
什么是最大值和最小值定理问答问题1：什么是最大值和最小值定理？最大值和最小值定理是微积分中的一个重要定理，它指出在闭区间上连续的函数中，函数一定会在这个闭区间的某个点取得最大值和最小值。
问题2：最大值和最小值定理的形式化表述是什么？最大值和最小值定理可以形式化地表述为：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在闭区间[a,b]内至少存在一点c，使得$f(c) \\geq f(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(c)是f(x)在[a,b]上的最大值。
同理，存在一点d，使得$f(d) \\leqf(x)$对所有$x \\in [a, b]$都成立，f(d)是f(x)在[a,b]上的最小值。
问题3：最大值和最小值定理的重要性在哪里？最大值和最小值定理为我们对函数的极值进行研究提供了基础。
在微积分和数学分析中，求解函数最大值和最小值是一个重要的问题，通过最大值和最小值定理，我们可以知道函数在什么地方取得最大值或最小值，这对于优化问题和最优化算法有着重要的应用。
问题4：如何利用最大值和最小值定理求解函数的最值？为了利用最大值和最小值定理求解函数的最值，可以按照以下步骤进行：1.首先，确定函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续的；2.然后，计算函数f(x)在闭区间端点a和b处的取值，将这些端点和可能的极值点列在一个表格中；3.然后，求出在上一步中列出的各个点处的函数值，通过比较这些函数值，找出最大值和最小值所对应的点即可。
通过以上步骤，就可以利用最大值和最小值定理求解函数在闭区间上的最大值和最小值。
问题5：最大值和最小值定理和导数有什么联系？最大值和最小值定理和导数之间有着密切的联系。
导数可以帮助我们确定函数的增减性，而函数的最值通常对应着函数的极值点。
因此，通过导数的信息，我们可以在潜在的极值点附近进行搜索，进一步求解函数的最值。
最大值和最小值定理在一定程度上可以视为导数定理的延伸，它提供了在闭区间上连续函数中寻找最值的保证。
最大值和最小值定理
函数f ( x)在[a, b]上有界.
3
例1 设 f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且 lim f ( x存) 在,
x
证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界. 证： lim f ( x) A
x
∴取 0 1, X 0, 当|x|>X时, | f (x)-A|<1 又||f (x)|-|A||<| f (x)-A|<1, 即: | f (x)|<|A|+1
在(0,)上, ymax ymin 1.
1
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a,b],
y
则 , [a, b],
y f (x)
使得x [a,Βιβλιοθήκη ],有 f () f ( x),
f () f ( x).
oa
b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
f ( x)在a,b上连续，则在 c,d 上连续。
又f (d ) pf (c) qf (d ) f (c), pq
由介值定理, （c,d )使f () pf (c) qf (d ) . pq
11
例5 若 f ( x)在[a, b]上连续，a x1 x2 xn b，
则在[ x1, xn ]上必有，使f ( )
证：设f ( x) x a sinx b, f ( x)在0，a b上连续，
f (a b) a b a sin( a b) b a 1 sin( a b) 0,
f (0) b 0, 若f (a b) 0,取 a b.
否则至少 （0,a b)使f ( ) 0.
定理 2(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b
闭区间上连续函数的性质(详细版)
而 F (a )=f(a )a 0 , F (b )=f(b )b 0 , 由零点定理,
x(a,b), 使F (x)= f(x) x= 0 ,
即f(x)=x.
h
17
三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
22
• P74：2，3
作业
h
23
h
19
思考题解答
不正确.
例函数
e1, f(x)=
2,
0x1 x=0
f(x)在 (0,1)内 连 续 , f(0 )( 1 )= 2 e 0 .
但 f( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内 无 零 点 .
h
20
五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理： 有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，
h
6
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
h
7
❖定理1(最大值和最小值定理)
•推论
最值定理及应用举
最值定理及应用举最值定理是高等数学中的重要概念，它有两种形式：最大最小值存在定理和最值原理。
最值定理是研究函数在闭区间上的最值性质的定理，对于函数的最大值和最小值的存在性具有重要的指导作用。
在实际问题中，我们经常需要确定函数在一定范围内的最大值和最小值，最值定理能够帮助我们简化问题的求解过程。
首先，我们来介绍最大最小值存在定理。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，最值存在定理告诉我们，f(x)在[a, b]上必定有最大值和最小值，并且这两个最值必定是在[a, b]的端点处或者在[a, b]的内部点处取到的。
证明最大最小值存在定理的方法通常使用反证法。
假设在[a, b]上不存在最大值，即对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)<M，其中M是一个实数。
由于f(x)是连续函数，根据介值定理，我们可以得到存在一个点x0∈[a, b]，使得f(x0)=M，这与假设矛盾。
所以假设不成立，即[a, b]上必定存在最大值。
同理，可证明最小值也存在。
接下来，我们来介绍最值原理。
对于一个定义在开区间(a, b)上的函数f(x)，如果f(x)在(a, b)上取得了最大值或者最小值，那么这个最值只能是在(a, b)的端点处取到的。
最值原理的证明同样可以使用反证法。
假设f(x)在(a, b)的内部点处取得最大值或者最小值，即存在c∈(a, b)，使得f(c)是f(x)在(a, b)上的最大值或最小值。
由于f(x)在(a, b)上连续，根据介值定理，我们可以找到一个(a, b)内的点d，使得f(d)在f(c)的右侧或左侧，与f(c)是最大值或最小值的假设矛盾。
因此，我们可以得出结论，最值只能出现在(a, b)的端点处。
最值定理在实际问题中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在优化问题中，我们需要找到一个函数在一定范围内的最大值或最小值。
最值定理告诉我们，只需要在闭区间的端点和内部点处计算函数值，然后从这些值中找出最大值或最小值即可。
最大最小值定理
最大最小值定理最大最小值定理是微积分中的一个基本定理，它通常被用来寻找函数在给定区间上的最大值和最小值。
这一定理在数学分析、优化问题和工程学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
定理描述最大最小值定理是一个基本的连续函数定理，它可以表述为：如果一个实数值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在这个区间内必定存在某个点c，使得f(c)是函数f(x)在整个区间[a,b]上的最大值或最小值。
即最大最小值定理断言了连续函数在闭区间上必定达到最大和最小值。
证明思路要证明最大最小值定理，我们可以利用连续函数的性质和闭区间的紧致性。
由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据连续函数的性质，它在[a,b]上一定是有界的。
设M为f(x)在[a,b]上的上确界，m为f(x)在[a,b]上的下确界。
由于[a,b]是一个紧致区间，M和m必定是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。
应用举例最大最小值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，一辆汽车行驶在一段山路上，我们想要知道在这段山路的某一点上汽车所处的高度。
我们可以将汽车的高度函数建模为连续函数f(x)，其中x表示汽车在山路上的位置。
通过最大最小值定理，我们可以找到汽车在山路上的最高和最低点，从而帮助我们更好地了解汽车在这段山路的行驶状况。
总结最大最小值定理是微积分中一个非常重要的定理，它为我们寻找函数在闭区间上的最大值和最小值提供了重要的理论支持。
通过应用这一定理，我们可以更好地理解函数的行为，并解决许多实际问题。
在数学分析、优化问题和工程学等领域中，最大最小值定理都起着重要的作用，有着广泛的应用前景。
第08讲 闭区间上连续函数的性质
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
最大值和最小值定理
上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ⋅ f ( b ) < 0 ), 那末在开区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 ξ (a < ξ < b ) ，使 f (ξ ) = 0 .
即方程 f ( x ) = 0在 (a , b )内至少存在一个实根 .
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
例如, y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;
证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内 例1 至少有一根 .
令 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续 , 证
又 f ( 0 ) = 1 > 0,
f (1) = −2 < 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (0,1), 使 f (ξ ) = 0,
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
则有 f ( x ) ≤ K .
2009-10-21
函数与极限(13)
4
二、介值定理
定义: 使 f ( x0 ) = 0 的 x0 称为 f ( x )的零点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b]
一元函数的连续与极限-闭区间上连续函数的性质
又 Q f ( x )在( ∞ ,+∞ )内连续 ∴ f ( x )在[ X , X ]上连续，从而在 [ X , X ]上有界
故存在常数 M1 > 0，使得
f ( x ) ≤ M1 , x ∈ [ X , X ]
取
M = max{ M1 , 1 + A }，则
f ( x) ≤ M .
x ∈ ( ∞ ,+∞ )，均有 即 f ( x )在( ∞ ,+∞ )上有界 .
而 F ( a ) = f ( a ) a < 0,
F (b ) = f ( b ) b > 0,
由零点定理,
ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
6. 设 n ∈ N + , 函数 f ( x )在区间[0, n]上连续，且
1
3 x ,1 < x ≤ 2
O
2
x
O
1
2
x
f (x)在[0, 2]上无最大值和最小值 推论 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界.
（二）零点定理与介值定理
定义 如果 f ( x0 ) = 0, 则称 x0 为函数f (x) 的零点. 定理1.19 ( 零点定理 ) 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ]，且
f ( 0) = f ( n )
证明存在点 x0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1).
证 1 当 n = 1 时， 由条件 f (0) = f (1) = f (0 + 1)
知 x0 = 0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1). 2o 当 n ≥ 2 时，令
最大值和最小值定理最大值和最小值
20
例3 解
x3 求 lim 2 x 3 x 9 x3 y 由y 2 x 9 x3 1 lim 2 , x 3 x 9 6 x3 u与u 2 复合而成 , x 9
1 而函数 y u在 点u 连 续, 6 x3 1 6 x3 lim 2 lim 2 . x 3 x 3 6 6 x 9 x 9 ( x 2 1) 例4 求 ： l i mcos x x2 1
.
O
x
7
例3 函数
x 1, x 0, y f ( x ) 0, x 0, x 1, x 0.
x 0
y
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
18
反函数、复合函数的连续性 定理4
减少且连续. 则它的反函数 x y 在对应区间上单调增加
例2 y sinx在闭区间 , 2 , 2 上单调增加且连续
减少且连续, 如果y f x 在某区间上单调增加
1,1上单调增加且连续 反函数 y arcsinx在对应区间 .
5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
1
注： 1. 由 lim x a , lim f u f a , 1式又可写成：
最大值与最小值是什么关系
最大值与最小值是什么关系在数学和统计学中，最大值和最小值是常见的概念。
它们在许多领域都有着重要的作用。
最大值代表了一组数据中的最大数值，而最小值则代表了一组数据中的最小数值。
下面我们将探讨最大值与最小值之间的关系以及它们在数据分析中的应用。
最大值与最小值的定义首先，我们来定义最大值和最小值。
在一组数据中，最大值是指数值中最大的那个，表示数据中的最高点；而最小值则是指数值中最小的那个，表示数据中的最低点。
在统计学中，最大值和最小值可以帮助我们找到数据集的范围，即最大值与最小值之间的距离。
最大值与最小值的关系最大值和最小值之间有着密切的关系。
一般情况下，在一个数据集中，最大值和最小值是有限的，而且最大值一定大于等于最小值。
这是因为最大值代表了整个数据集中最大的数值，而最小值则代表了整个数据集中最小的数值。
因此，在数值上，最大值和最小值之间一定存在一种顺序关系，即最大值总是大于或等于最小值。
最大值与最小值的作用最大值和最小值在数据分析中具有重要作用。
首先，通过比较最大值和最小值，我们可以得到数据集的范围，进而了解数据集的分布情况。
其次，最大值和最小值也可以帮助我们识别数据集中的异常值。
如果某个数值远远大于最大值或远远小于最小值，那么这个数值很可能是异常值，需要进行进一步的调查和处理。
此外，通过比较最大值和最小值，我们还可以了解数据集的波动情况和变化趋势，为进一步的分析提供参考。
结论最大值和最小值是一组数据中的重要指标，它们之间存在着密切的关系，最大值一定大于等于最小值。
在数据分析中，最大值和最小值可以帮助我们了解数据集的范围、分布情况、异常值等重要信息，为后续分析提供参考。
因此，理解最大值和最小值之间的关系对于数据分析和统计学具有重要意义。
函数的极值与最大值最小值
(
)
3
(
检查
x
f
¢
0
)
(
)
2
(
的根
求驻点，即方程
=
¢
x
f
);
(
)
1
(
x
f
¢
求导数
.
)
4
(
求极值
例1
求函数 的极值.
解
得驻点
在
的左右两侧附近，
因此 不是极值.
在
点左侧，当 时，
2.9 函数的极值与最大值最小值
讨论蛋白质含量随积温变化的情况.
解 单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为 此函数导数的计算比较复杂，作近似计算 §2.9 函数的极值与最大值最小值
取
令
得w = 683，是最大值点，
此时收获得到的蛋白质数量最多；
令
得w =493，是增长曲线的拐点，
此时是蛋白质数量增加最快的阶段.
只有一个驻点，而最大值一定存在，此驻点就是最大值点，
即当产量为300件时，总利润最大，为25000元.
L(300)=25000，
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例6
河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单位土地面积上黑麦草的干物质积累量m是积温w的函数，
而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量 的比例逐渐下降，经验公式为
极值,
定理1
（必要条件）
证明略. (费马引理)
导数等于零的点称为函数的驻点.
§2.9 函数的极值与最大值最小值
例如，
注
① 可导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点；
② 导数不存在的点也可能是极值点.
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
九年级数学最大值、最小值问题
通过代入原题、反证法等方式 检验答案的正确性。
避免常见错误
01
02
忽视题目中的限制条件， 导致答案不符合题意。
计算错误，如加减乘除 运算错误、开方运算错 误等。
03
理解错误，如对题意理 解不准确、对概念理解 模糊等。
04
书写不规范，如步骤跳 跃、缺少必要的说明和 推导等。
05 练习题与答案解析
基础练习题
在一个给定的范围内，一个函数 所能取到的最小的值。
实际问题中求解意义
优化问题
在实际生活中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，以达到最优化的目的。 例如，在经济学中，生产者追求成本最小化和利润最大化；在工程学中，设计 师需要确保结构的强度和稳定性等达到最优。
决策依据
通过求解最大值、最小值问题，可以为决策者提供有力的数据支持，帮助他们 做出更加明智的决策。
利用三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边的性质求最值。
对称性质
利用对称点的性质求最值，如点到直 线的距离最短时，点关于直线对称。
不等式法
基本不等式
应用算术平均数-几何平均数不等 式（AM-GM不等式）求最值。
柯西不等式
应用柯西不等式求最值，注意等号 成立的条件。
排序不等式
对于两组数，通过排序后应用不等 式求最值。
结合函数图像，利用几何意义（如距离、面积等）来求解最值问 题。
注意定义域和值域
在求解过程中，要特别注意函数的定义域和值域，避免出现不符 合实际情况的解。
实际应用题中最值问题
理解题意并建立数学模型
认真阅读题目，理解题意，将实际问题抽象为数学模型， 明确已知条件和求解目标。
列出方程或不等式
根据已知条件和求解目标，列出相应的方程或不等式。
2.4最大值与最小值问题,优化的数学模型
解得x = 70 10 3 ,但 70 + 10 3 10, 20, 舍去.
3
3
由f(70 -10 13 ) = 280000 + 104000 13 ,
3
27
f(10) = 24000,f(20) = 16000, 比较可知当
x = 70 - 10 13 , V有最大值280000 + 104000 13 .
新课导入
极值问题广泛存在 于自然科学，工程技术， 国民经济，及社会生活 的各个层面，因而寻求 极值问题的解具有非常 重要的实际意义.
现在数学理论中有许多解决各种 极值问题（包括近似解）的非常深刻 的理论和成熟、优美的解法，但也还 有许多尚未解决的重要问题，同时现 代科学技术还在不断地提出新的迫切 需要解决的极值问题.
令函数G(x)=af(x)+bf(x)， 因为f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数， 则G(x)也是定义在R上的奇函数.
答案
由奇函数的对称性知，G(x)在 (-∞,0)上的最小值为：G(-x0) ，
G(-x0 ) = af(-x0)+bg(-x0) = -af(x0)-bg(x0) = -[af(x0)+bg(x0)] = -3
3.情感态度与价值观
使学生掌握最大值与最小值的求解 方法，养成科学严谨的态度.
教学重难点
1. 教学重点
最大值与最小值的求解方法， 以及具体应用.
2. 教学难点
最大值与最小值的求解方法.
定义：
设D为f(x)的定义域，如果存在 x0∈D，则称f(x)在D上的最大（小） 值，x0称为f(x)在D上的最大（小）值 点.
例3
若函数f(x)，g(x)都是定义在R 上的奇函数，若 F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞) 上的最大值为5，则F(x)在(-∞，0) 上的最小值为?
什么是最大值和最小值定理
什么是最大值和最小值定理最大值和最小值定理是微积分中一个重要的定理，它在求解函数最大值和最小值的问题上起着关键作用。
在数学中，给定一个闭区间上的连续函数，最大值和最小值定理指出函数在该闭区间上必然存在最大值和最小值。
这个定理在分析函数的特性以及优化问题中具有广泛的应用。
定理描述最大值和最小值定理描述的是闭区间上连续函数的性质。
设函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上必然存在最大值和最小值。
具体来说，存在$c \\in [a, b]$，使得对于任意$x \\in [a, b]$，都有$f(c) \\geq f(x)$，同时存在$d \\in [a, b]$，使得对于任意$x \\in [a, b]$，都有$f(d) \\leq f(x)$。
定理证明最大值和最小值定理的证明可以通过极值存在定理得到。
这里简要介绍一下证明的思路。
首先，闭区间[a,b]是有界闭区间，因此函数f在该闭区间上必然有上确界和下确界。
接着，通过连续函数的性质以及确界的性质，可以得出上确界和下确界对应的点，即存在c和d满足定理描述的条件。
应用最大值和最小值定理在微积分的许多应用中起到至关重要的作用。
在优化问题中，通过寻找函数的最大值和最小值可以求解出最优解。
在实际问题中，通过将问题建模成函数，并利用最大值和最小值定理可以优化资源的分配，提高效率。
总结最大值和最小值定理是微积分中一个基础且重要的定理，它描述了连续函数在闭区间上的最大值和最小值的存在性。
这个定理为解决优化问题提供了数学工具，也在实际问题中有着广泛的应用。
对于学习微积分和解决实际问题都具有重要意义。
闭区间最大值最小值定理证明
闭区间最大值最小值定理证明闭区间最大值最小值定理证明闭区间的最大值最小值的问题相信一直是们比较困扰的一个知识点，不用担心，店铺就让为你详细介绍及通过案例的介绍，一定能够充分认识并熟练运用的。
闭区间介绍直线上介于固定的两点间的所有点的集合(包含给定的两点)。
闭区间是直线上的连通的闭集。
由于它是有界闭集，所以它是紧致的。
闭区间的函数为小于等于的关系即—∞≤a≤+∞在数轴上为实心点。
闭区间的余集(就是补集)是两个开区间的并集。
实数理论中有著名的闭区间套定理。
代表符号：[x,y] --> 从x值开始到y值，包含x、y比如：x的取值范围是3到5的闭区间那么用数学语言表示即为[3,5] 也就是从3(含)到5(含)之间的数。
最大值最小值定理证明对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.例如:定理1(最大值和最小值定理)：在闭区间上连续的`函数一定有最大值和最小值.定理表明：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使是闭区间上的最小值;又至少存在一点，使在闭区间上的最大值注：当定理中的“闭区间上连续”的条件不满足是，定理的结论可能不成立.如，若是开区间内的连续函数，结论可能不成立.又如，函数在开区间内没有最大值，因为它在闭区间上不连续.若在上有间断点，结论不一定成立.函数在闭区间上有间断点，但函数在闭区间上既无最大值又无最小值.案例过程讲解证明：设函数f在闭区间[a，b]上连续，记M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，则必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m.也就是说，有界闭区间上的连续函数必能取到它在这个区间上的最大值和最小值.现证明如下因为函数f在闭区间[a，b]上连续，所以函数f在闭区间[a，b]上有界，即数集{f(x)：x∈[a，b]}有界，利用确界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上确界和下确界，m和M 都是有限数.显然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])，考察上确界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，根据上确界的定义，对任意n∈N*，必定存在xn∈[a，b]，使得M−1n由于a≤xn≤b，{xn}有界，根据列紧性定理，存在一个子列{xnk}和一点x*∈[a，b]，使得{xnk}，由于f在x*处连续，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限) 在不等式M−1nk<(xnk)≤M的两端让k→∞，得出M≤f(x*)≤M 故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M.同理可证存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m.是极值定理已知x、y都是正数,x+y=S,xy=P。
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5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
k 0,1,2,;
10
2 x 1 解 1 y , 2 x 3x 2
x 1, x 2
x2 1 x 1 lim 2 lim 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2
x 1 是可去间断点，属于第一类间断点。
补充定义： 当x 1时，y 2. 则该函数在 x 1 点连续。
1 y tan x , y x
不是连续函数。
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
当 x 有增量
x x y sin( x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos x 1 2 x y sin( x x ) sin x 2 sin . 2 又因为当 0 时， sin x x 0 y sin( x x ) sin x 2 sin 2 x 2 2 当 x 0 时， 由夹逼准则得 y 0. 这就证明了 y sin x 在 ( ,) 内连续。
2
O
2
3 2
x
的无穷间断点。
9
例5
下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那
一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
x2 1 1 y 2 , x 1, x 2; x 3x 2 x 2 y , x k , x k , tan x 2 2 1 3 y cos , x 0; x x 1, x 1, 4 y x 1. 3 x , x 1,
.
O
x
7
例3 函数
x 1, x 0, y f ( x ) 0, x 0, x 1, x 0.
x 0
y
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
所以
k 0 , 1, 2 ,
是可去间断点，属于第一类间断点 x 0
补充定义： 当x 0时，y 1. 则函数在该点连续。
x lim x k tan x x lim 0 tan x x k
2
当 k 0时，
则 x k 是无穷间断点。 所以 x k
x2 1 x2 3x 2 lim 0 lim 2 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 1
x 2 是无穷间断点，属于第二类间断点。
11
x 2 y , x k , x k tan x 2 当 k 0 时， x x lim lim cos x 1 x 0 tan x x 0 sin x
4
证： 设x ( ,),
x
时，则
函数的间断点 设函数 f ( x ) 在点 有下列情形之一： （1）在
x 0 的某去心邻域内有定义。
若函数 f ( x )
x 0没有定义；
x x0 x x0 x x0
（2）虽在 x 0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
（3）虽在 x 0 有定义，且 lim f ( x )存在，但 lim f ( x ) f ( x 0 ); 则函数 f ( x ) 在点 x 0不连续， 而点 x 0 称为函数 f ( x ) 的不连续点 或间断点。
f ( x) f ( x0 )
就称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续。
2
在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。
如函数 y sin x , y x 1, y ln x 是连续函数。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但
6
y
例2 函数
1 lim f ( x ) lim x 1, 而 f (1) . x 1 x 1 2
改变函数的定义，令 f (1) 1 则该函数在 x 1 成为连续。
y
x, y f ( x) 1 , 2
x 1, x 1.
O
。
.
x
。
x 1 也称为该函数的可去间断点。
x 0
１
。
－１
O 。
x
不存在。x 0称为 所以 lim f ( x ) 该函数的跳跃间断点。
8
例4 正切函数
2 所以 x 是函数 y tan x 的间断点。 2
y
x
y
tan x 在
x
处没有定义，
lim tan x
2
所以，称
x
2
为函数 y
tan x
x x0
就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续。
函数在某点的连续性
上面的定义用 “
”语言表达如下：
定义2 设函数 y f ( x ) 在点 x 0 的某一邻域内有定义，若对于
0, 0, 使得对于适合不等式 x x 0 的一切 x , 对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
第四节 连续
一、连续与间断
函数的 连续性
函数的连续 性与间断点 左连续
左连续
可去间断点
第一类间断点
函数的 间断点 第二类间断点 振荡间断点 跳跃间断点 无穷间断点
其它间断点
1
定义1 设函数 y f ( x )在点 x 0 的某一邻域内有定义，若函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在， 且等于它在点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ), 即 此定义经常用来判断 lim f ( x ) f ( x 0 )