直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题

一、直角三角形的性质

1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2= 度．

2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．

3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角有

4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，

求证：△APQ是等腰直角三角形．

二、含30°角的直角三角形的性质

5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，求AD的长

6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，求PD的长

7．如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，

求∠EDC的度数

8．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，求AF的长

9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；

三、直角三角形斜边中线问题

11．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC 边的中点，连接PM，PN，求证：△PMN为等边三角形；

12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．

（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；

（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；

（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．

13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，求AC的长

14．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，求∠DFE等于多少

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，求∠ACB′= ．

17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，

AE=8，求BC的长度．

18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．

19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．

（1）求证：∠1=∠2．

（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；

（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．

20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，

设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．

四、等腰直角三角形问题

21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE 的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．

22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD 于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．

23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．

24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M 为EC的中点．

（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；

（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°

（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）求证：S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；

（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．

26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；

（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．

27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）AD与CF的关系是；

（3）求证：△ACF是等腰三角形；

（4）△ACF可能是等边三角形吗？（填“可能”或“不可能”）．