平面向量数量积第一课时

B
C
例题讲解
uuu uuur r 2.已知正三角形ABC的边长为 已知正三角形ABC的边长为1 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB • AC
uuu uuu r r （2） AB • BC
uuu uuur r （3）BC • AC
A
120 o
1 o (1) AB • AC = AB AC cos 60 = 2 1 B (2) AB • BC = AB BC cos120 = − 2
o
C
例题讲解
uuu uuur r 2.已知正三角形ABC的边长为 已知正三角形ABC的边长为1 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB • AC
uuu uuu r r （2） AB • BC
uuu uuur r （3）BC • AC
o
A
1 (1) AB • AC = AB AC cos 60 = 2 1B (2) AB • BC = AB BC cos120 = − 2 1 o= (3) BC • AC = BC AC cos 60 2
（1）两向量的数量积是一个数量， 而不是向量，符号由 ）两向量的数量积是一个数量，而不是向量， 夹角决定 （2） a · b不能写成 a×b ，a×b 表示向量的另一种运算 ） × × 表示向量的另一种运算．
例题讲解
r r 例1．已知| a |=5，| b ．已知 ，
r r r r o |=4， 与 b 的夹角 θ = 120 ，求 a • b ， a
r r r ( （3） a + b ) • c = ）
r r r r a•c +b •c
（分配律） 。 分配律）
例题讲解
r r 例： 已知向量 的夹角为120 ，且 a = 4, b = 2 r r r r r r r r ：（1） 求：（ ） a + b （2） 3a − 4b （3） ( a + b ) • ( a − 2b ) ） ） r r rr r rrr r r = (r +b)2 = r 2 + r a • b + b 2 (1) ar+ b a a2 2 2
r r a与b
o
(3) (a + b ) • (a − 2b ) = a − a • b + 2b r2 r2 r r o = a + 2 a • b cos120 + b = 12 = 2 3 r2 r2 r r o = a − a • b cos120 + 2 b = 12 r2 r r r2 r r r r
(2) 3a − 4b = (3a − 4b ) 2 = 9a − 24a • b + 16b
= 304 = 4 19
r r r r r r 例： 已知非零向量 a 与 b ，满足 a = 2 b ，且 a + b r r r r 垂直，求证： 与 a − 2b 垂直，求证： ⊥ b a r r r r 证明： 证明：Q ( a + b ) ⊥ ( a − 2b ) r r r r ∴ (a + b ) • (a − 2b ) = 0
2.4
平面向量的
数量积及运算律
问题
F
一个物体在力F 一个物体在力 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ ，那么力 所做的功应当怎样计算？ θ
F′
s
W = F ' • s = F s cosθ
其中力F 和位移s 是向量， 的夹角，而功是数量. θ 其中力 和位移 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
uuu uuur r （3）BC • AC
源自文库
A
B
C
例题讲解
uuu uuur r 2.已知正三角形ABC的边长为 已知正三角形ABC的边长为1 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB • AC
uuu uuu r r （2） AB • BC
uuu uuur r （3）BC • AC
o
A
60o
1 (1) AB • AC = AB AC cos 60 = 2
判断两向量垂直的依据) 判断两向量垂直的依据 (1)a ⊥ b ⇔ a • b = 0 (判断两向量垂直的依据
小组快速讨论一下！ 小组快速讨论一下！ 2 （ 3 ） ⋅ a = | a | 或 | a |= a • a a r
r a ⋅b （4）cos θ = r r | a || b |
（5）a
•b ≤ a b
.
r r r r 解：a • b = a b cosθ
= 5 × 4 × cos120o 1 = 5 × 4 × (− ) 2 = −10
例题讲解
uuu uuur r 2.已知正三角形ABC的边长为 已知正三角形ABC的边长为1 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）AB • AC
uuu uuu r r （2） AB • BC
课堂检测
例题讲解
r r r r r r 例： 已知非零向量 a 与 b ，满足 a = b = a − b ， r 求 r r a 与 a + b 的夹角
r r Q a = 2b r2 ∴原式= 2b − 原式=
例题讲解
r2 r2 r2 r r r2 r r a − a • b − 2b = a − a • b cosθ − 2 b
∴ cosθ = 0
r r r2 r2 2b • b cosθ − 2b = 2 b cosθ = 0 r r ∴a ⊥ b
平面向量的数量积的运算律
r r r 已知向量 a ， ， 和实数λ ，则 b c r r r r 交换律） （1）a • b = ） 。 （交换律） b •a
r r （2）(λa ) • b = ） a)
r r λ (a • b )
=
r r a • (λb )
。
（与数乘的结合律） 与数乘的结合律）
o
60
o
C
向量的数量积的几何意义 （1）投影的概念 ）
投影是向量 还是数量？ 还是数量？
如图所示： 如图所示： = a, OB = b, ∠AOB = θ 过B作 BB1垂直OA，垂足 垂直OA OA， OA B 为 B1 , 则 OB1 = b cosθ ，
r r b b cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 θ r r a cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影O
平面向量的数量积的定义
r r 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 r r r r r r | a || b | cos θ 叫做 a 与b 的数量积（或内积），记作 a • b ， 的数量积（或内积）
即
r r r r a ⋅ b = | a || b | cos θ
r r 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a ⋅ 0 = 0． 规定：零向量与任意向量的数量积为 即
课堂检测 r r r r 的取值范围是（ 1、若a • b < 0 ，则 a 与 b 的夹角θ 的取值范围是（C ）
π A、0, 2
π B、 , π 2 π C、 , π 2
π D、 , π 2
2、下列等式中正确的个数是（ 下列等式中正确的个数是（ ①
B B b B b
a
B1
A
θ
O a BA 1 θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
θ
O a B1 θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0 A
b
θ
A O( B 1 ) a θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
向量的数量积的几何意义 （2）数量积的几何意义 ）
r 与 r 的夹角为 o 4、 = 4 ， a b a 30
为
r 在 r 方向上的投影 ，则 a b
2 3
。
r r b 5、已知 a = 4 ， = 3 ， 当（1） // b a r r （2） a ⊥ b 时，求 a • b r ：（1 解：（1）a // b 时 有以下两种情况 r r r r r 当 a 与 b 同向时 a • b = a • b = 12 r r r r r − a • b = −12 当 a 与 b 反向时 a • b = r r r （2） a ⊥ b 时 a • b = 0
a • b 的几何意义是
r 数量积 a • b 等于a 的长度 a
与b
在 a 方向上的投影 b cosθ 的乘积
r 例3、b = 6 ，a = 3 ， a
方向上的投影为
r 与b
。
r 的夹角为 45 ，则 b
o
在a
r
3 2
讨论总结性质： 讨论总结性质：
r r r r 都是非零向量， 设 a 与 b 都是非零向量， 为 a 与b 的夹角 θ r 与 r 同向时， (2)当 (2)当 a b 同向时，a • b = a • b 你能得出哪些结论？ r你能得出哪些结论？ r 反向时， 当 a 与 b 反向时，a • b = − a • b
a a 2 2 2 ④ ( a + b) = a + 2a • b + b
A、1个 B、2个 C、3个
r 2 r2 a =a
a•b
②
2
=
B） b ③
( a • b) = a • b
2
2
2
D、4个
课堂检测
3、若 m = 4, n = 6 ， 与 n 的夹角为135o ，则 m • n m = − 12 2 。