江苏省如皋市2020-2021学年度高二年级上学期教学质量调研(一)数学试题

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江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研(一)物理(必修)答案

答案 C B D B D D B C A A A A B 二、填空题：本大题每空 2 分，共计 6 分．
28．（6 分）（1）0.86 （2）x4＋x5＋x69－T2x1－x2－x3 0.64 三、计算或论述题：本大题共 2 题，共计 13 分．
29．（6 分）解：
（1） vt v0 at 解得 t 6s
（1 分）
由牛顿第三定律可知，物块在 B 点时对半圆轨道的压力大小 F＝FN＝6mg. （1 分）
高二物理（必修）第 1 页共 1 页
（1 分）（1 分）
（2）匀速运动的位移 x1 v0t0 18m 减速运动的位移 vt2 v02 2ax2 解得 x2 90m 所以 x x1 x2 108m
30．（7 分）解：（1）因为物块恰好能通过 C 点，则有
mg m vc2 R
（1 分）（1 分）（1 分）（1 分）
2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）
物理试题（必修）参考答案
一、选择题：本大题共 27 小题，每小题 3 分，共计 81 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 D C C D A C A C D C C D A D
题号 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
（1 分）
解得 vc gR
（2）根据平抛运动
（1 分）
x vct
2R 1 gt2 2
解得 x＝2R
（2 分）
（3）对物块，由 B 到 C 过程中机械能守恒，有
1 2
mvB2
2mgR
1 2
mvC2
（Байду номын сангаас 分）

2020-2021学年江苏省如皋市第一中学高二上学期9月调研数学试题 word版

江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．4y x =±B ．14y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±2．已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（）A ．4B ．5C ．7D ．83．已知双曲线22221x y a b -=一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于）A B ．12C D ．14．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（） A ．18，24 B ．16，22 C ．24，28 D ．20，265．点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3yx 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（）A ．2B ．C ．12+ D 2+6．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 作垂直x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以MN 为直径的圆交y 轴于C 、D 两点，且3CD =，则抛物线方程为（）A ． 2y =B ．22y x =C ．2y =D ．26y x =7．设,,a b R a b ∈≠且0a b ⋅≠，则方程0bx y a -+=和方程22ax by ab -=，在同一坐标系下的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .2F 也是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）A B 1 C ．3 D 1二、多选题9．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F ∆的面积为110．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得123PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（） A．14B ．12C ．6D ．3411．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线”12．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k （120k k ≠），若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的方程为2214x y -=BC ．函数log (15)a y x =++（0a >，1a ≠）的图象恒过双曲线C 的一个焦点D ．直线0x y -=与双曲线C 有两个交点第II 卷（非选择题）三、填空题13．椭圆22143x y +=上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为________． 14．有一座抛物线形拱桥，已知拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽为___________m .15．已知双曲线C ：22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)与椭圆216x ＋212y ＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为________．16已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是1F 、2F ，且1F AB 的面积为232-_______；若点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围是_________. 五、解答题17．如图，点12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，且满足1AF x ⊥轴，2130AF F ∠=︒，直线2AF 与椭圆C 相交于另一点B ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1ABF的周长为C 的标准方程．18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点. （1）如果直线l 的方程为1y x =-，求弦AB 的长；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率e =双曲线C 上任意一点到其1. （1）求双曲线C 的方程.（2）过点()1,1P 是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l 存在，请求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？21．已知斜率为1的直线交抛物线C ：22y px =（0p >）于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）记点(1,2)P ，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：直线MN 的斜率为定值.22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷参考答案1．C2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．B9．ACD10．BD11【答案】BCD12【答案】AC13【答案】314．15．816【答案】2214xy+=[]1,417．（1）3；（2）22132x y+=【详解】（1）12Rt AF F △中，2130AF F ∠=︒，122F F c =，∴112tan 30AF F F ︒=12AF c=，解得1AF =， 122cos30F F AF ︒=，即222c AF =，解得2AF =， ∴由椭圆的定义，得12233a AF AF =+=+，即a =，∴离心率3c e a==；（2）1ABF的周长1111224AF BF AB AF BF AF BF a =++=+++==∴a =3c e a ==，∴1c =，∴2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=.18．（1）8（2）-3 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y .（1）联立241y xy x ⎧=⎨=-⎩得：2610x x -+=.由韦达定理得：126x x +=，121x x =. ∴AB =8==.（2）由直线l 过抛物线焦点()1,0且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：1x my =+，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2440y my --=，由韦达定理：124y y m +=，124y y =-， ∴()()11221212,,OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+()()121211my my y y =+++()()2121211m y y m y y =++++ 2244413m m =--++=-.19．（1）2212y x -=（2）不存在,详见解析【详解】解：（1）由离心率e =ca= 又双曲线C1，则1c a -=.，由，，，解得1c a ==，则2222b c a =-=，，双曲线Γ的方程为2212y x -=.（2）假设存在过点()1,1P 的直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点.设()()1122,,,R x y T x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式作差，得()()()()1212121202y y y y x x x x +-+--=，即()()121212122x x y y x x y y +-=-+.又点P 是线段RT 的中点，则12122,2x x y y +=+=，，直线l 的斜率()()1212121222x x y y k x x y y +-===-+，则直线l 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，代入双曲线C 的方程2212y x -=，得22430x x -+=，162480∆=-=-<，方程没有实数解.，过点()1,1P 不存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点.20【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC==又因为221400500x y-=，可得2244005x y=+代入可得：PC==≥=当且仅当503y=时，取得最小值故扫描半径r至少是.21．(1) 2=4y x;(2)见解析.【详解】(1)设()(),,,A AB BA x yB x y,则222,2A AB By px y px==,两式相减,得:22ABBApy y pk+==由弦AB中点的纵坐标为2,得4A By y+=,故=2p.所以抛物线C的标准方程2=4y x. (2)由MPN∠的平分线与y轴垂直,可知直线PM，PN的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设()()1122,,,M x y N x y直线:(1)2,0PM y k x k=-+≠由2(1)24y k xy x=-+⎧⎨=⎩得()2222244(2)0k x k k x k--++-=由点(1,2)P在抛物线C上,可知上述方程的一个根为22122(2)441,1k k kxk k--+∴⨯==.即21244k kxk-+=,同理2212122222+442888,,k k k kx x x x xk k k k++--=∴+=-==()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤∴-=-+---+⎣⎦⎣⎦()212228822kk x x k k kk k+=+-=⋅-=.12MN1281.8y y kkx xk-∴===---∴直线MN的斜率为定值1-.22．（Ⅰ）2215x y +=（Ⅱ）-10 【详解】（，）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，抛物线方程化为24x y =，其焦点为()0,1 则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，由5c e a ===，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2215x y += （，）证明：∵椭圆C 的方程为2215x y +=， ∴椭圆C 的右焦点()2,0F设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2215x y +=，并整理，得()222215202050k x k x k +-+-=， ∴21222015k x x k+=+，212220515k x x k -=+，又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--，而1MA AF λ=，2MB BF λ=，即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=-，2222x x λ=-， ∴()()1212121212121222102242x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++.。

江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高二上学期学校调研测试3数学试题

江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高二校调研测试3数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、 1000、 800 （单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n 为（） A. 108B. 96C. 156D. 2082．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为8的概率（） A ．536B ．16C ．23D ．193．“2m =”是“椭圆2216x y m+=焦距为4”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条4．已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（） A. πB.32πC.23π D.2π 5．在ABC ∆中，1cos 4B =，2b =，sin 2sinC A =，则ABC ∆的面积等于（）A ．14B ．12C D 6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（） A ．30B ．36C ．360D ．12967．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．−9D ．−108．已知圆1C ：222x y b +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（）A ．,22⎣⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎫⎪⎣⎭ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知双曲线22:16y C x -=，则（）A ．CB ．C 倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A ．tan 2C =B ．4A π=C ．b =D ．ABC 的面积为611．下列说法正确的是 ( )A ．“12x -<”是 “220x x --<”的必要不充分条件B ．“1xy =”是“lg lg 0x y +=的充要条件C ．过点(1,1)P -且与抛物线24y x =有且只有一个交点的直线有3条D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点的轨迹是一条抛物线12．已知边长为2的菱形ABCD 中，23ABC π∠=，现沿着BD 将菱形折起，使得AC = 则下列结论正确的是（）A. AC BD ⊥B. 二面角A BD C --的大小为3π C. 点A 到平面BCD距离为32D. 直线AD 与平面BCD 所成角的正切值为3三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 13．已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差为5，数据12310310,310,310,,310x x x x ----的方差为___．14．已知正六棱锥的底面面积为，则这个棱锥的体积为．15．已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==B ∠为．16．已知顶点在坐标原点，对称轴为x 轴的抛物线过点P ，则该抛物线的标准方程为______________；设F 为该抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=______________.四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题p ：“曲线2212:143x yC m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线222:11x y m t m t C +=---表示双曲线”.（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.18．在①sin cos sin A B C B C =，②tan tan tan tan A B C B C ++=，③()()()sin sin sin sin sin sin sin B B C A C A C -=+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，______ ，求ABC 面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知nx⎛+ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.20．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,2ABC AA AC BC ===，90ACB ∠=，,D E 分别是111,A B CC 的中点.（1）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；（2）在棱1CC 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面1A BE 所成锐二面角为60？若存在，确定P 点的位置；若不存在，请说明理由.21．如图，在平面四边形ABCD 中，AB =2AC =，90ADC CAB ∠=∠=︒，设DAC ∠θ=.（1）若60θ=︒，求BD 的长度；（2）若30ADB ∠=︒，求tan θ.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1)2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高二校调研测试3数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、 1000、 800 （单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n 为（） A. 108 B. 96C. 156D. 208【答案】C2．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为8的概率（） A ．536B ．16C ．23D ．19【答案】A3．“2m =”是“椭圆2216x y m+=焦距为4”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条【答案】C4．已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（） A. π B.32πC.23π D.2π 【答案】A5．在ABC ∆中，1cos 4B =，2b =，sin 2sinC A =，则ABC ∆的面积等于（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（）A ．30B ．36C ．360D ．1296【答案】B7．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．−9D ．−10【答案】D8．已知圆1C ：222x y b +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（）A ．,22⎣⎦B ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．2⎫⎪⎣⎭ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知双曲线22:16y C x -=，则（）A ．CB ．C 倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】BC10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A ．tan 2C =B ．4A π=C ．b =D ．ABC 的面积为6【答案】ABD11．下列说法正确的是 ( )A ．“12x -<”是 “220x x --<”的必要不充分条件B ．“1xy =”是“lg lg 0x y +=的充要条件C ．过点(1,1)P -且与抛物线24y x =有且只有一个交点的直线有3条D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点的轨迹是一条抛物线【答案】AC12．已知边长为2的菱形ABCD 中，23ABC π∠=，现沿着BD 将菱形折起，使得AC = 则下列结论正确的是（）A. AC BD ⊥B. 二面角A BD C --的大小为3π C. 点A 到平面BCD 距离为32D. 直线AD 与平面BCD【答案】ABC三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 13．已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差为5，数据12310310,310,310,,310x x x x ----的方差为___．【答案】4514．已知正六棱锥的底面面积为，则这个棱锥的体积为．【答案】.2√315．已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==B ∠为．【答案】π616．已知顶点在坐标原点，对称轴为x 轴的抛物线过点P ，则该抛物线的标准方程为______________；设F 为该抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=______________.【答案】28y x = 12四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题p ：“曲线2212:143x yC m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线222:11x y m t m t C +=---表示双曲线”.的（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】（1）13m <<；（2）12t ≤≤. 【详解】（1）若p 是真命题，所以22430m m m ⎧->⎨≠⎩，解得13m <<，所以m 的取值范围是13m <<.（2）由（1）得，p 是真命题时，m 的取值范围是13m <<，q 为真命题时，()(1)0m t m t ---<，所以m 的取值范围是1t m t <<+ 因为p 是q 的必要不充分条件，所以113t t ≥⎧⎨+≤⎩，所以12t ≤≤，等号不同时取得，所以12t ≤≤.18．在①sin 3cos cos 3sin sin A B C B C =，②tan tan tan 3tan A B C B C ++=，③()()()sin sin sin sin sin sin sin B B C A C A C -=+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，______ ，求ABC 面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 3. 【分析】方案一：选条件①.运用正弦的和差角公式和同角三角函数间的关系求得tan 3A =得角A ；方案二：选条件②.运用正切函数的和差角公式可求得tan 3A =A ；方案三：选条件③.由正弦定理得222b c a bc +-=，再由余弦定理求得1cos 2A =，可求得角A ；再由余弦定理得以224b c bc bc +-=≥，运用基本不等式可求得4bc ≤，从而求得三角形面积的最大值. 【详解】解：方案一：选条件①.因为sin cos sin A B C B C =，所以)()()sin sin sin cos cos πA B C B C B C A A =-=+=-=，所以tan A =0πA <<，所以π3A =. 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以224b c bc bc +-=≥，所以4bc ≤，当且仅当b c =时取等号.所以1sin 24ABC S bc A ==≤△ 方案二：选条件②.因为tan tan tan tanC A B C B ++=，所以()()tan tan tan tan tan π1tan tan A B C A A B C ++=+--=tan tan tan tan A B C B C =，因为0πA <<，所以tan 0B ≠，tan 0C ≠，所以tan A =π3A =. 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以224b c bc bc +-=≥，所以4bc ≤，当且仅当b c =时取等号.所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC . 方案三：选条件③.因为()()()sin sin sin sin sin sin sin B B C A C A C -=+-，所以由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又0πA <<，所以π3A =.由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以224b c bc bc +-=≥，所以4bc ≤，当且仅当b c =时取等号.所以1sin 24ABC S bc A ==≤△ABC19．已知nx ⎛+ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项. 【答案】（1）5；（2）121792x 和11792x - 【详解】（1）由题意可得：152n+=，得8n =，8x ⎛+ ⎝的展开式通项为138********k k k k k k k k T C x x C x ---+=⨯⨯=⨯⨯，()08k ≤≤，要求展开式中有理项，只需令382kZ -∈，所以0,2,4,6,8k = 所以有理项有5项，（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩ ，即()()()()()()118!8!22!8!1!81!8!8!22!8!1!81!k k k k k k k k k k k k -+⎧⨯≥⨯⎪---+⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+--⎩，即2191281k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：56k ≤≤，因为k Z ∈，所以5k =或6k =所以1155226821792T C x x =⨯⨯=，166127821792T C x x -=⨯⨯=所以展开式中系数最大的项为121792x 和11792x -.20．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,2ABC AA AC BC ===，90ACB ∠=，,D E 分别是111,A B CC 的中点.（1）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；（2）在棱1CC 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面1A BE 所成锐二面角为60？若存在，确定P 点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2）存在一点P ，且CP=3. 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，求平面1A BE 的法向量，再求线面角的正弦值；（2）首先假设在棱1CC 是存在一点P ，可得(0,0,)P a ，再根据向量法求二面角，求a 的值.【详解】解：（1）分别以1,,CA CB CC 所在的直线为x 轴、y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得11(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1),(2,0,2)B C E A ，则11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BC EA EB =-==-，设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =，则100n EA n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x z y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，即(1,1,2)n =--，所以111cos ,BC nBC n BC n ⋅==-⋅，所以直线1BC 与平面1A BE（2）假设在棱1CC 是存在一点P ，设,(02)CP a a =<<，可得(0,0,)P a ，由(2,0,0),(0,2,0)A B ，可得(2,0,),(0,2,)PA a PB a =-=-，设平面PAB 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122020x az y az -=⎧⎨-=⎩，令2z =，可得11,x a y a ==，即(,,2)m a a =，又由平面1A BE 的一个法向量为(1,1,2)n =--，所以2cos ,m nm n m n a ⋅==⋅，因为平面PAB 与平面1A BE 所成二面角为60， 1cos 602==，解得2103a =，此时a =，符合题意，所以在棱1CC 上存在一点P ，且CP，使得平面PAB 与平面1A BE 所成锐二面角为60. 21．如图，在平面四边形ABCD 中，AB =2AC =，90ADC CAB ∠=∠=︒，设DAC ∠θ=.（1）若60θ=︒，求BD 的长度；（2）若30ADB ∠=︒，求tan θ. 【答案】（1（2. 【分析】（1）在直角三角形ACD中，求得AD ，在ABD △中，运用余弦定理可得BD ；（2）求得2cos AD θ=，60ABD θ∠=︒-，在ABD △中，运用正弦定理和两角差的正弦公式，即可得到所求值．【详解】（1）AB =2AC =，90ADC CAB ∠=∠=︒，60=︒∠DAC 可知1cos60212AD AC ==⨯=，在ABD △中，150DAB ∠=︒，AB =1AD =，由余弦定理可知，(222121192BD ⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭，则BD =（2）由题意可知，2cos AD θ=，60ABD θ∠=︒-.在ABD △中，由正弦定理可知， sin sin AD AB ABD ADB=∠∠()2cos sin 60θθ∴=︒-12cos sin 2θθθ⎫=-⎪⎪⎭，4cos θθ∴=，tan θ=∴.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1)22. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，B 为椭圆C 的上顶点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN △的垂心？若可以，求出直线l 的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）【答案】（1）2212x y +=；（2）可以，43y x =-. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则22222261144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得：22a =，221b c ==， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y += （2）假设存在直线l 使得点(1,0)F 是BMN △的垂心，(0,1)B ，(1,0)F ，∴1BF k =-，F 是BMN △的垂心，∴BF MN ⊥,从而1MN k =，∴设直线l 的方程为y x m =+.由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x mx m ++-=，令11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=， 221612(22)0m m ∆=-->，即23m <NF BM ⊥，则0NF BM ⋅=又2211(1,)(,1)NF BM x y x y ⋅=--⋅-2121(1)(1)x x y y =---112122x x x y y y =--+112122()()()x x x x m x m x m =--++++212122(1)()x x m x x m m =-+-++- ∴222242(1)()033m m m m m --⨯+-⨯-+-=，化简可得：2340m m +-=∴1m =或43m =- 当1m =时点B 为直线l 与椭圆的交点，不合题意；当43m =-时，经检验与题意相符. ∴当直线l 的方程为43y x =-时，点F 是BMN △的垂心.。

江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研数学试题

江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（）A B ．2 C ．1 D2．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，{}2,x B y y x A ==∈，则AB =（） A ．(),2-∞ B ．(),4-∞C ．()0,2D ．()0,43．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=，n βγ=，则“//m n ”是“//αβ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．函数()()sin e e x x f x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）A ．13B ．23C ．16D ．566．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，且PA =则二面角P BC A --的大小为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．无法确定7．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 为椭圆的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点M ，N ，若3AM MN =，则椭圆C 的离心率e 的值为（）A ．2BC ．12D ．138．已知全集{},12020U x N x n n =∈=≤≤，若集合A U ⊆，B U ⊆，AB =∅，A ，B 的元素个数相同，且对任意的n A ∈，2n B ∈，则A B 的元素个数最多为（） A ．20B ．18C ．16D ．以上结果都不正确二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，且双曲线C 的左焦点在直线0x y +=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的方程为2214x y -= C ．12k k 为定值14D ．存在点P ，使得121k k += 10．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b > 11．设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是（）A ．若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直B ．若直线m α⊥，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线C ．若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线D ．若直线m α⊂，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线12．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（） A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点三、填空题13．命题p ：“0x ∀>，20x >”的否定p ⌝：__________．14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________． 15．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，222AD AB BC ===，将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，连结MD ．当三棱锥M ACD -的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．四、双空题16．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，设点(),1A p ，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA MF +的最小值为3，则p =__________，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为__________五、解答题17．在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b -=；②242S S=，且1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若__________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n Q ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，底面ABCD 是菱形，且1A D ⊥平面1AA C ．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1A DB ；（2）求证：11//BB DD ．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左顶点A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若ABC的面积为1．（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求MN PQ的取值范围． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-，*N n ∈．（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设11n n n n a b a a ++=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式3031n T ≥的最小正整数n 的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点⎛- ⎝⎭．若斜率为k 的直线l 与椭圆交于第一象限内的P ，Q 两点（点P 在Q 的左侧），且OP PQ ⊥．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12//PF QF ，求实数k 的值．22．已知函数()()ln =-+x f x xe a x x ，0x >，若()f x 在0x x =处取得极小值．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()00f x >，求证：()03002f x x x >-．参考答案1．D【分析】根据复数的乘除运算可得1z i =+，再利用复数模的运算即可求解.【详解】由()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++-，所以z ==故选：D【点睛】本题考查了复数的乘除运算、复数模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．C【分析】化简集合,A B ，再进行交集运算；【详解】(){}{}ln 22A x y x x x ==-=<，{}{}{}2,0404x B y y x A y y x x ==∈=<<=<<，∴()0,2A B =，故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．B【分析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件.【详解】如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；另一方面，若//αβ，且m αγ=，n βγ=，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.4．A【分析】根据奇偶性，可排除BC ，由()0sin 20f =>，可排除D ，从而可选出答案.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()sin ee x xf x f x --=+=，故函数()f x 为R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ； ()()000sin e e sin 2f =+=，因为()20,π∈，所以()0sin 20f =>，可排除D ，只有A 选项符合题意.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，注意利用函数的奇偶性、特殊值，考查学生的推理能力，属于基础题.5．B【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，故113327a d a d +=+，15105a d +=，解可得，123a =，16d =，故任意两人所得的最大差值243d =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 6．B【分析】取BC 的中点D ，连接PD 、AD ，由二面角的定义可得PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角，即可得解.【详解】取BC 的中点D ，连接PD 、AD ，如图，因为PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA BC ⊥，PA AD ⊥，AD BC ⊥，所以PB PC =，PD BC ⊥，所以PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角，又AD PA ==，所以45PDA ∠=，所以二面角P BC A --的大小为45︒.故选：B.【点睛】本题考查了二面角的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于基础题. 7．A【分析】设出直线AN 的方程与椭圆联立求出点N 的坐标，再根据向量关系可得13N A y y =-，从而求得离心率；【详解】 :AF b l y x b c =+，∴2:AM b b l y x b cc x y b c =-+⇒=-+，代入22221x y a b+=得： 4222562222222222220b b b b b b y a y a b a y y a b c c c c c ⎛⎫⎛⎫⋅-++=⇒+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5222A N N k b y y b y a c b+==++， 3AM MN =，33A N N b y y y ∴=-⇒=-， 245422242233b b b ac b a c b ∴=⇒=++，∴4222b a c =⇒)222ac a c ac =-=，202e e +=⇒=，故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，计算量较大. 8．C 【分析】列举出符合条件的A ，B 的元素，利用A ，B 的元素个数相同，只需让A ，B 都取最大元素个数，即可得到A B 的元素个数的最大值.【详解】{},12020,,U x N x n n A U B U =∈=≤≤⊆⊆， ,2n n B A ∈∈，1n U ∴=∈时，122U =∈，即1,2B A ∈∈，同理可得，2,4B A ∈∈，3,8B A ∈∈， 416,B A ∈∈， 532,B A ∈∈， 664,B A ∈∈， 1287,B A ∈∈， 2568,B A ∈∈，5129,B A ∈∈， 1010,24A B ∈∈，A B =∅，A ，B 的元素个数相同，∴若A B 的元素个数最多，则{}1,3,4,5,6,7,9,10A =，共8个元素，{}2,8,16,32,64,128,512,1024B =，共8个元素，A B ∴⋃的元素个数为8816，故选：C . 【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，考查集合的交集、并集的运算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题. 9．BC 【详解】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y +=上，所以c =又离心率为c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确；由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m , n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立，由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题. 10．AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确；对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数，又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 11．AC 【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答. 【详解】对于A,若直线m α⊥,则直线m 垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直.故A 正确;对于B,若直线m α⊥,如果α，β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m 平行的直线.故B错误;对于C,若直线m α⊂,则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线.故C 正确; 对于D,若直线m α⊂,则在平面β内,存在与直线m 平行的直线.故D 错误. 故选:AC. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理,全面考虑. 12．ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e-=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为343204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4204g e ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e --'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以42a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当42a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 13．0x ∃>，20x ≤ 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p “0x ∀>，20x >”的否定p ⌝为：0x ∃>，20x ≤. 故答案为：0x ∃>，20x ≤. 【点睛】本题考查全称命题的否定，考查全称命题与特称命题的关系，属于基本知识的考查. 14．192 【分析】对“乐”课程进行讨论，一类排在第2，5，6周，一类排在3或4周，再利用排列数进行计算，即可得答案；【详解】（1）当“乐”课程排在第2，5，6周时，114324144N A A A =⨯⨯=；（2）当“乐”课程排在第3或4周时，11421448N A A A =⨯⨯=，∴所有可能的排法种数为192.【点睛】本题考排列数计算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意进行分类. 15．4π 【分析】将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，当平面AMC ⊥平面ACD 时，三棱锥M ACD -的体积最大时，取AD 的中点F ，可证明F 为外接球的球心，进而可知半径12r AD =，求出外接球的表面积即可. 【详解】在梯形ABCD ，△ABC 为等腰直角三角形，AC ==在△ACD 中，45DAC ACB ︒∠=∠=,由余弦定理2222cos CD AC AD AC AD DAC =+-⋅⋅∠，即224222CD =+-=，则CD AC ==所以△ACD 为等腰直角三角形，90ACD ︒=∠.将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，当平面AMC ⊥平面ACD 时，三棱锥M ACD -的体积最大时，取AC 的中点E ，AD 的中点F ，连结,ME EF ，则ME AC ⊥，因为ME ⊂平面MAC ，所以ME ⊥平面ACD ，因为//EF CD ，所以EF AC ⊥，又EF ⊂平面ACD ，所以EF ⊥平面MAC ，过F 作//FK ME ，则FK ⊥平面ACD ，因为△MAC 的外接圆圆心为E ，EF ⊥平面MAC ，所以三棱锥的外接球球心在直线EF 上，因为△ACD 的外接圆圆心为F ，FK ⊥平面ACD ，所以三棱锥的外接球球心在直线FK 上，因为EFFK F =，所以外接球球心为F ，则外接球的半径为112r AD ==，外接球的表面积为24π4πr =. 故答案为：4π. 【点睛】本题考查外接球问题，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.16．2 【分析】过A 作抛物线的准线的垂线交于M ，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得，||||MA MF +的最小值为A 到准线的距离，由题意可得p 的值，进而求出A ，F 的坐标，求出线段AF 的中点D 的坐标，及AF 的斜率，进而求出线段AF 的中垂线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长||PQ ，及||AF 的长度，进而求出四边形APFQ 的面积．【详解】解：过A 作抛物线的准线的垂线交抛物线于M ，交准线与于点，由抛物线的性质可得||||MF MN =，所以3||||||||||()22p pMA MF MA MN AN p +=+≥=--=，由题意可得：332p=，解得2p =，所以抛物线的方程为：24x y =；由抛物线的方程可得(1,2)A ，(0,1)F ，所以AF 的中点1(2D ，3)2，21110AF k -==-，所以AF 的中垂线的方程为：31()22y x -=--，即2y x =-+，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，与抛物线联立224y x x y=-+⎧⎨=⎩，整理可得2480x x +-=，124x x +=-，128x x =-，所以弦||PQ =，||AF =所以11||||22APFQ S PQ AF =⋅=⋅=；故答案为：2，【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，线段的中垂线的求法、弦长公式和对角线互相垂直的四边形的面积的求法，属于中档题．17．（1）条件性选择见解析，21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）()2323nn Q n =-⨯+．【分析】（1）若选①，根据1a ，2a ，5a 成等比数列，得到()()21114d d +=⋅+，解方程即可得到21n a n =-，再根据2n n T b -=，得到数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，即可得到112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=.（2）首先根据（1）得到()1212n nna nb -=-，再利用错位相加法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，选①，因为1a ，2a ，5a 成等比数列，故1225a a a =，即()()21114d d +=⋅+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-．因为2n n T b -=，当1n =时，1112T b b -==，所以11b =. 当2n ≥时，()1122n n n n n b T T b b --=-=---，整理得：112n n b b -=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=．选②．因为242S S =，故()2434112d d ⨯+=++，解得2d =或0d =（舍），，所以21n a n =-．由1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得，当1n =时，111b T ==，当2n ≥时，121111122222n n n n n n b T T ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，检验1n =时，011112b T ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=.（2）由（1）可知，()112121212n n n n a n n b ---==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0121123252212n n Q n -=⨯+⨯+⨯++-⨯…，()1232123252212n n Q n =⨯+⨯+⨯++-⨯…，所以()231222212nnn Q n -=++++--⨯…，即()()21212121212n n nQ n ---=+--⨯-，解得()2323nn Q n =-⨯+．【点睛】本题第一问考查等差等比的综合应用，同时考查了由前n 项和求通项公式，第二问考查了错位相减法求数列的和，属于中档题. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得1A D AC ⊥，再由AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面1A DB ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）由线面平行的判定定理可得1//AA 平面11BB C C ，根据线面平行的性质定理可得11//AA BB ，同理证出11//AA DD ，即证.【详解】（1）因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．因为1A D ⊥平面1AA C ，AC ⊂平面1AA C ，所以1A D AC ⊥．又1A D BD D ⊥=，1A D ，BD ⊂平面1A DB ，所以AC ⊥平面1A DB ．又AC ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面1A DB ．（2）因为11//AA CC ，1CC ⊂平面11BB C C ，1AA ⊄平面11BB C C ，所以1//AA 平面11BB C C ．又1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⊥平面111BB C C BB =，所以11//AA BB ．同理，11//AA DD ．所以11//BB DD ．【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.19．（1）221x y -=；（2）(MNPQ∈．【分析】（1）依题意可得a b =，所以得到c =，根据ABC的面积112BC AF ⨯⨯=，计算可得；（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到210,0,0,M Nk x x ⎧-≠⎪∆>⎨⎪<⎩，从而求出参数k 的取值范围，利用弦长公式表示出MN ，PQ ，即可得到MN PQ的取值范围；【详解】解：（1）因为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>为等轴双曲线，所以a b =，设双曲线的焦距为2c ，0c >，故2222c a b a =+=，即c =．因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将B x c ==代入22221x y a b-=，可得B y a =，故2BC a =．将ABC1，所以112BC AF ⨯⨯=，即()1212a a c ⨯⨯+=，所以21a =，1a =，故双曲线E 的方程为221x y -=．（2）依题意，直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，联立方程组221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 可得，()221220k x kx -+-=，所以()()()222210,24120,20,1M N k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=--⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩解得11k -<<，且222,12.1M N M N k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩所以M N MN x ==-=== 联立方程组,1,y x y kx =⎧⎨=-⎩得11P x k =-，同理11Q x k =+，所以2111P Q PQ x k k=-=-=+-．所以21MN PQ k ==-11k -<<，所以(MNPQ∈．【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 20．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）利用11n n n S S a ++-=，利用数列递推式，结合等比数列的定义，即可得出结论；（2）由（1）得，111112121n n n n n n a b a a +++==---，利用裂项相消法即可求得数列{}n b 的前n 项和为n T ，再求3031n T ≥，即可得出结果. 【详解】（1）因为2n n S a n =-，*n ∈N ，故()1121n n S a n ++=-+，所以111221n n n n n S S a a a +++-==--，即121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+．又当1n =时，1121S a =-，11a =，1120a +=≠，故10n a +≠．所以1121n n a a ++=+为定值，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知，12nn a +=，21n n a =-．所以()()()()()()1111121211211212121212121n n n n n n n n n n n n n a b a a +++++---+====-------，1223111111111121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3031n T ≥，即113012131n +-≥-，解得4n ≥，*n ∈N ．所以满足不等式3031n T ≥的最小正整数n 的值为4．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及裂项相消法求和，考查了解不等式.属于中档题.21．（1）2212x y +=；（2）．【分析】（1）由焦距求出c ，再由椭圆定义求出a ，即可求出b ，得出椭圆方程；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:l y kx t =+，联立椭圆方程得()222214220kx ktx t +++-=，列出韦达定理，依题意OP PQ ⊥，可知直线PQ 的方程为1=-y x k ，联立直线l 得121kt x k -=+，同理得221221kt x k -=+，即可列出方程求出212t kt kt +=-，进而求出k .【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则22c =，1c =，故()11,0F -，()21,0F ．设1,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以122a MF MF =+==故a =2221b a c =-=，1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:l y kx t =+，k 0<，0t >．联立方程组221,2,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()222214220k x ktx t +++-=，所以()()()22212221224421220,4,2122,21kt k t kt x x k t x x k ⎧∆=-+⨯->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即221222122210,4,2122.21k t kt x x k t x x k ⎧⎪-+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩（*）依题意，OP PQ ⊥，故直线PQ 的方程为1=-y x k，联立方程组1,,y x k y kx t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得121kt x k -=+．① 又12//PF QF ，设PQ 的中点为G ，则12////OG PF QF ．据（*）可得，222,2121kt t G k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，故直线OG 的斜率为12k -，所以直线2QF 的方程为()112y x k=--，联立方程组()112y x k y kx t⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221221kt x k -=+．② 将①②代入（*）可得222222212412121122212121ktkt kt k k k kt kt t k k k ---⎧+=⎪⎪+++⎨---⎪⋅=⎪+++⎩，化简得2221121t kt k k kt⎧+=+⎪⎨⎪+=-⎩，所以212t kt kt +=-，又0t >，故32t k =-，代回上式，可得2312k k k ⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭，又k 0<，解得k =t =22210k t -+>．所以实数k 的值为．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于较难题. 22．（1）()0,∞+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求得()()()1x x xe a f x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性，结合已知条件可得出实数a 的取值范围；（2）由极值点的定义可得出00x x ea =，由()00f x >可得出001x <<，构造函数()ln 1p x x x =-+可得出00ln 1x x <+，构造函数()1x q x e x =--可得出001x e x >+，进而可得出()()200021f x x x >-，即可证得结论成立.【详解】（1）依题意，()()ln =-+xf x xe a x x ，0x >，()()()1111x x x f x x e a xe a x x +⎛⎫'=+-+=⋅- ⎪⎝⎭．①当0a ≤时，则()0f x '>，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，函数()y f x =无极小值，所以0a ≤不符题意；②若0a >，令()xg x xe a =-，0x >，()()10xg x x e '=+>，故函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，又()00g a =-<，()()10ag a a e =->，据零点存在性定理可知，存在()00,x a ∈，使得()00g x =，()00f x '=，且当00x x <<时，()0g x <，()0f x '<，函数()y f x =在()00,x 上单调递减；当0x x >时，()0g x >，()0f x '>，函数()y f x =在()0,x +∞上单调递增. 所以()f x 在0x x =处取得极小值，所以0a >符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+；（2）由（1）可知，当0a >时，存在()00,x a ∈，使得()00g x =，即00x x ea =．又()00f x >，即()0000ln 0xx e a x x -+>，所以()00001ln 0xx e x x -->．因为00x >，00x e >，所以001ln 0x x -->，即00ln 10x x +-<．令()ln 1h x x x =+-，0x >，()110h x x'=+>，故函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，又()10h =，据()00h x <，可得001x <<．令()ln 1p x x x =-+，01x <<，()110p x x'=->，故函数()y p x =在()0,1上单调递增，所以()()10p x p <=，故ln 1x x <-，其中01x <<．令()1xq x e x =--，01x <<，()10xq x e '=->．故函数()y q x =在()0,1上单调递增，所以()()00q x q >=，故1x e x >+，其中01x <<．所以()()()()()0200000000001ln 11121x f x x e x x x x x x x x =-->+---=-⎡⎤⎣⎦，结合001x <<，可得()03002f x x x >-．【点睛】本题考查利用函数存在极值点求参数的取值范围，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。

2020-2021学年江苏省如皋市高二下学期教学质量调研(一)数学试题

——★ 参*考*答*案★——1-5．AADCD 6-8．CDC 9．AD 10．AC 11．AB 12．ACD 13．512 14．6+2i 15．2 16．1+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， 17．『解答』（1）若选①，22222==910z z za +=，又0a >，所以=1a .……………………2分若选②，()()()12221+i 3i 33i1+i +3i 99a a a z z a a a -++-===++，又复平面上表示12z z 的点在直线20x y +=上，所以22332099a a a a +-+⨯=++，所以=1a . ……………………2分若选③，()()()()()1i 1+i i 11i 0z a a a a -=-=++->得1010a a +>⎧⎨-=⎩，所以=1a .……………………2分所以2=13i z +. （1）1211111i 13i 34+i 1i 13i 21055z z z --==+=+=-++ ， ……………………4分1z ==. ……………………6分（2）223491624724i i=i 552525252525z ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭， ……………………8分21z ==. ……………………10分18．『解答』（1）因为()ln ,R f x x ax a =-∈，所以()1'f x a x=-． ①当0a ≤时，()1'0f x a x =->，所以()f x 的增区间为()0,+∞． ……………2分②当0a >时，若10x a <<，()1'0f x a x =->；若1x a>，()1'0f x a x =-<．所以()f x 的增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． …………5分综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． ………6分（2）法一：由（1）得，当1x a =时，()f x 取最大值1ln 1a-． ………8分因为若存在0x ，使得()00f x >，所以1ln 10a ->，解得10a e<<．所以正数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ……12分法二：若存在0x ，使得()00f x >，即若存在0x ，使得ln x a x >．令ln ()x g x x =，则21ln '()xg x x -=，由'()0g x =，解得x e =． ………8分当(0,e)x ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增，当(e,+)x ∈∞时，'()0g x <，()g x 单调递减，所以()g x 在x e =处取到极大值，也即是最大值，最大值是1e.所以正数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ……12分19．『解答』（1）因为()2tan f x x x =-，所以)22111'()2cos cos x x f x xx+-=-=．令()π'0,0,2f x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，解得π4x =．列表如下． ……………………2分所以，当π4x =时，有极大值ππ142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………6分（说明：列表时0x =未列出或者列成π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭扣1分）（2）①由（1）得，0是()f x 的零点． ……………………8分②当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ππ1042f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，)5π5π10126f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以连续函数()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有零点． …………10分因为()f x 在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点．所以()f x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有两个零点． ………………12分（赋值方法：0ππ,42x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使得0tan πx >，则()00002tan πtan 0f x x x x =-<-<）20．『解答』（1）在ABC ∆中，()2222211199sin 13sin sin 1cos 2244S AB BC B B B B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得，在ADC ∆中，()()222221344cos 43cos 152cos 3cos 44S D B B B =-=-⨯-=⨯+-．……………2分因为4cos 3cos 1(1,1)D B =-∈-，所以2cos (0,)3B ∈．令2cos ,(0,)3B x x =∈，则()()()222232129998cos 3cos 81523523444B S B S x x x x x x x x ⨯-⨯=⨯--+-=-+-．…6分令()322523,(0,)3f x x x x x =+-∈，则()2'1543f x x x =+-，由()'0f x =且20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得13x =． …………8分当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <；当12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >．所以当13x =时，()f x 取得极小值且是最小值，最小值为1627-，所以，当1cos 3B =时，22128cos 3cos B S B S ⨯-⨯的最大值为43． ………12分（说明：cos B 的范围错且结果对扣3分） 20．『解答』（1）(ⅰ)若3()3x x x ϕ=-，则2'()33x xϕ=-，所以'(0)3ϕ=-．所以()y x ϕ=在0x =处的切线方程是30x y +=． …………2分(ⅱ)令()()33()33h x x x x x =---=，当0x >时，3()0h x x =>；当0x <时，3()0h x x =<，所以()y x ϕ=不是“单侧函数”． ……………………4分（2）当12a =-时，()y f x =是“单侧函数”． ……………………5分函数()y f x =图象上任意一点()00,P x y 处的切线为()00001122x x y e x e x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()000112x xy e x x e ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． ………………7分令()()00011122x x xh x e x e x x e ⎛⎫=----- ⎪⎝⎭，则()0'x x h x e e =-．当0x x <时，()'0h x <，()h x 在()0,x -∞上单调递减；当0x x >时，()'0h x >，()h x 在()0,x +∞上单调递增，所以()()00h x h x ≥=， ……………10分所以()00011122x x xe x e x x e ⎛⎫-≥-+- ⎪⎝⎭，当且仅当0x x =时取等号，所以()y f x =是“单侧函数”． ……………………12分 22．『解答』（1）因为2()ln f x x a x =-，所以22()2a x af x x x x-'=-=．因为函数()f x 在2x =处取到极小值，所以(2)0f '=，解得8a =．……………………2分此时，2(2)(2)()x x f x x+-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(2,+)x ∈∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在2x =处取到极小值.所以8a =符合题意，即2()8ln f x x x =-. ……………………3分（说明：不检验扣1分）若对任意的(0,1]x ∈，不等式()1f x bx ≥-恒成立，即18ln xb x x x ≤+-恒成立. 令18ln (),(0,1]xh x x x x x=+-∈，则 2222188ln 8ln 9'()1x x x h x x x x -+-=--=，令2()8ln 9x x x ϕ=+-，则8()20x x xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在(0,1]上单调递增， ()(1)80x ϕϕ≤=-<，即()0h x '<在(0,1]上恒成立所以()h x 在(0,1]上为减函数，min ()(1)2h x h ==，故实数b 的取值范围为(,2]-∞. ……………………7分（说明：本小题含参讨论酌情给分，可以先取特值1x =将参数b 的范围缩成(,2]-∞再讨论）（2）由（1）得2()8ln g x x x cx =-+，因为函数()g x 的图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),A x 2(,0)B x ，所以方程28ln 0x x cx -+=的两个根为12,x x ，则211122228ln 08ln 0x x cx x x cx ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得……………………9分下证：()1212128ln ln 160x x x x x x --<+-（*），即证明()211112222ln 0,x x x x t x x x x -+<=+， 120,01,x x t <<∴<<即证明()()21ln 01t F t t t -=+<+在01t <<时恒成立. ………10分因为()()()()222221211114'(1)(1)(1)t t t F t t t t t t t -+---=+=-=+++又01t <<，所以()'0F t >.期中考试试卷11 所以，()F t 在()0,1上是增函数，则()()10F t F <=，从而()2111222ln 0x x x x x x -+<+. 故()1212128ln ln 160x x x x x x --<+-. ……………………12分（说明：本小题利用其他方法证明酌情评分）。

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研(一)数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题1．抛物线23y x =的准线方程为（） A ．34x =-B ．34x =C ．34y =-D ．34y =【答案】A 【解析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=，所以抛物线的准线方程为34x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC D 【答案】C【解析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上，所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】A【解析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，114422PF x x ====+=+6=，解得4x =，因此，点P 到右准线的距离为844-=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P 的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．已知抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，则p 的值为（）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线22154y x -=20y ±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，22254p⨯=+，解得6p故选：B 【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单. 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则MF NF +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C 【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【解析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解．【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=，在MBN △中，6MN =，由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+，当且仅当x y =时等号成立，此时5x y ==，7cos 25min B =，所以24sin 25max B =，所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形，故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A ．12B C ．13D 【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===，故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（） A ．8 B．C ．4D．【答案】A【解析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案. 【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯，1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多选题9．已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（）A ．渐近线方程B ．顶点坐标C ．离心率D ．焦距【答案】AC【解析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果. 【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2be a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选：AC. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（）A ．2BCD ．3【答案】AB【解析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案.【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得，所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+，即42a c ≥，12e <≤，故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11．设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（） A ．12MF = B ．22MF = C ．点M 的横坐标为83D ．12MF F S =△【答案】BCD【解析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形，所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得：22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 662218MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=，故选；BCD 【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD【解析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-，所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =，所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===，所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确，综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题 13．当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>，即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14．设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6【解析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可. 【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a ，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 的周长为16，因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=，故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________. 【答案】5【解析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a =，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ，由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =，因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =，在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以5ce a==5【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题四、双空题16．已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】292【解析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB . 【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =，所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=. 故答案为：2；92. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P 坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】（1）先表示出焦点坐标和设点P 的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩，又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l：y = 若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点. （1）求ABCD的值；（2）设M 为1C 与2C的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M的坐标，然后由OM =c 即可.【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c+=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =，又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =，令x c =解得2y c =±，所以4CD c =，故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,3M c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题. 19．设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m <）与C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意易得c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦ ()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m =，又m <，所以m =，即直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ；（2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =（2）1k =±.【解析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k+=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==，所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --，由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-，因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++，()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++， 21k =∴解得1k =±. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形.（1）求双曲线E 的方程；（2）过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】(1)由题意可知c =，再利用2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS=,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形，所以c =又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--，因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k -<<，（或由双曲线的渐近线方程为y =得k <<）.121212PQN x x x x S N M -==-=△=2102k ≤<，令1,12t ⎛⎤=⎥⎝⎦，则2441212t S t t t==--，因为12y t t=-在1,12⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22．已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122yy x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证；（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8a MN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ， 211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=，因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =，此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②，将①②联立方程组，解得122M y y y +=，所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，第 2 页共 4 页则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则212||1AB m y y a =+-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤，所以3311||||||22168ABM a a S AB MN a MQ p=⋅≤⋅==. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研数学试题

江苏南通2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）数学试题a一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线23y x =的准线方程为（）A. 34x =-B. 34x =C. 34y =-D. 34y =【答案】A 【解析】【分析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=，所以抛物线的准线方程为34x =-. 故选：A【点睛】本题主要考查抛物线准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（）B.【答案】C 【解析】【分析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上，所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（） A 4B. 6C. 8D. 12【答案】A 【解析】【分析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离.【详解】设点P的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ==，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，.114422PF x x ====+=+6=，解得4x=，因此，点P到右准线的距离为844-=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4. 已知抛物线()220x py p=>的焦点到双曲线22154y x-=的渐近线的距离为2，则p的值为（）A. 4 B. 6 C. 9 D. 12【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线22154y x-=20y±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p⎛⎫⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p=>的焦点到双曲线22154y x-=的渐近线的距离为2，22p⨯=，解得6p故选：B【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单.5. 设抛物线C：24y x=的焦点为F，过点()2,0-且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则MF NF+=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6. 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】D 【解析】【分析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解．【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=，在MBN △中，6MN =，由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+，当且仅当x y =时等号成立，此时5x y ==，7cos 25min B =，所以24sin 25max B ==，所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形，故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7. 已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A.12C.13【答案】B 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a+-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以2c e a ===，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8. 已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（） A. 8B. C. 4D.【解析】【分析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案.【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±. 则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF =又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯， 1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（） A. 渐近线方程 B. 顶点坐标C. 离心率D. 焦距【答案】AC.【分析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果.【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选：AC.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（）A. 2B.D. 3【答案】AB 【解析】【分析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案. 【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得，所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+，即42a c ≥，12e <≤，【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11. 设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（） A. 12MF = B. 22MF =C. 点M 的横坐标为83D. 12MF F S △【答案】BCD 【解析】【分析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形，所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得： 22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 6622MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=，【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A. 点F 的坐标为()1,0B. 若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C. 若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D. 若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-，所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =，所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===，所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确，综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>，即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14. 设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6 【解析】【分析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可.【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 周长为16，因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=，故答案为：6.【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________.【解析】【分析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a=，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ，由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =，因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =，的在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以ce a==【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题16. 已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________.【答案】 (1). 2 (2).92【解析】【分析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB .【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =，所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=.故答案为：2；92.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】【分析】（1）先表示出焦点坐标和设点P的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩，又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l ：y =若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l 的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18. 已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点.（1）求ABCD的值；（2）设M 为1C 与2C 的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M 的坐标，然后由3OM =求出c 即可. 【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c +=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =，又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =，令x c =解得2y c =±，所以4CD c =，故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,33M c c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题.19. 设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点距离的最大值1.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意易得2c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m ±=，又m <<，所以m =，即直线l恒过定点43⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ；（2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =2）1k =±. 【解析】【分析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k +=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==，所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --，由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-，因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++， ()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++，21k =∴解得1k =±.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21. 已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形. （1）求双曲线E 的方程；（2）过点M直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】【分析】(1)由题意可知c =2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS =,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形，所以c=又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--，因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k <<，（或由双曲线的渐近线方程为2y x=±得22k -<<）. 121212PQNx x x x S N M -==-=△=2102k ≤<，令1,12t ⎛⎤= ⎥⎝⎦，则2441212t S t t t==--，因为12y t t =-在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22. 已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122y y x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证；（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8aMN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ，211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=，因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =，此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②，将①②联立方程组，解得122M y y y +=，所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则12||AB y y a =-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤，所以3311||||||22168ABMa a SAB MN a MQ p=⋅≤⋅==.。

江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测数学试题 Word版含答案

姓名，年级：时间：江苏省如皋中学2020～2021学年度第一学期第一次阶段检测高二数学一、单选题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．命题“20,22x x ∀≥-≤”的否定为 ( )A ．20,22x x ∀≥->B ．20,22x x ∃≥->C ．20,22x x ∀<->D ．20,22x x ∃<->2．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点,则双曲线1C 的渐近线方程为（）A 。

30x y ±= B. 30x y ±= C. 230x y ±= D 。

320x y ±=3．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，E 为11A D 的中点,设AB=a ,AD b =,1AA =c ，则CE= ( )A ．12a b c +-B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．1-2a b c -+4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为265y x =±,且过点()5,32，则其焦距为（ ) A.7 B 。

72C 。

1 D. 125．已知命题:p “x R ∃∈，使得210mx mx m ++-≥”为假命题,:q 0m <，则命题p 是命题q 的条件。

( ）A 。

充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要6．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为5．P是C 上一点,且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a = （） A 。

1 B. 2 C 。

江苏省如皋市2020-2021学年度高二年级第一学期教学质量调研(二)

江苏省如皋市2020－2021学年度高二年级第一学期教学质量调研（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，设角,,A B C 所对的边长分别为c b a ,,,2,4==c b ，ABC △的面积32=S ，则a 等于（）A ．72B ．32C ．72或32D ．622． ()π0,,sin 2x x x ∀∈>的否定是（）A ．()π0,,sin 2x x x ∃∉≤B ．()π0,,sin 2x x x ∃∈≤C ．()π0,,sin 2x x x ∀∉>D ．()π0,,sin 2x x x ∀∈≤3．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为 ( )A ．20B ．30C ．36D ．404．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3kD V =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3kD V =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式3kD V =求体积（在正四面体中，D 表示正四面体的棱长；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、正四面体（正四面体棱长为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为321,,k k k ，那么321k k k ：：的值为（）A ．πB ．2πC ．π6D ．π:5．已知抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ,抛物线C 上一点(),1P m 到焦点F 的距离为45.则实数p 值为（） A ．2B ．1C ．21 D ．41 6．设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ,AC 为α平面内的一条直线，令,,,21θθθ=∠=∠=∠BAC OAB OAC 则这三个角存在一个余弦关系：21cos cos cos θθθ=（其中1θ和2θ只能是锐角），称为最小张角定理. 直线l 与平面α所成的角是π4，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成角为π4，则直线l 与直线m 所成的角是（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．在三棱锥ABC P -中，32,4======PA BC AC AB PC PB ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是（）A ．81B ．61C ．41D ．318．已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，关于原点对称的两点B A 、分别在双曲线的左、右两支上，FC BF FB AF ==⋅3,0且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．210C ．3D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省如皋市2021-2021学年高二上学期教学质量调研(一)数学参考答案

52 2 y -⎩ = ( ) = ⎪⎪ ⎧ p 0高二数学参考答案一、单选题ACAB CDBA 二、多选AC,AB,BCD,BCD 三、填空题13． ⎛ 0,π⎫14. 615.16. 294 ⎪ 2⎝ ⎭四、解答题17.（1）焦点坐标 F⎛ P , 0 ⎫ 2⎛ y 2 ⎫ ，设 P 0 , y 2 p 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2⎪ 0 = 2因为 PF = (2 , - 4 2 )，所以 ⎨ 2 2 p………2 分 ⎪- y = -4又 p > 0 ，解得 y 0 = 4 ，p = 8 所以 P 坐标为(2, 4 2 )，抛物线的方程为 y 2 = 16x ………4 分（2）当直线l 的斜率不存在时， l 与抛物线有两个交点，故舍去；………5 分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y = kx + b ，代入抛物线方程，消去 x 得到ky 2 - 16y - 32k + 6 = 0若 k = 0 ，此时直线l : y = 4 与抛物线只有一个交点；………7 分若 k ≠ 0 ，则 ∆ = 256 - 4k (-32k + 6 2 )= 0 解得 k = . ………9 分综上：直线l 的方程为 y = 4 或 y = 2x + 2 .………10 分1 18. (1)因为椭圆C 1 的离心率为 2，所以设其方程为 x 2 + 4c 2 y 2 3c2 1，F c , 0 令 x = c 解得 y = ± 3c ，所以 AB = 3c ………2 分2又抛物线C 的焦点与椭圆C 的右焦点 F (c , 0)重合，所以设其方程为 y 2 = 4cx21令 x = c 解得 y = ±2c ，所以CD = 4c ………4 分 AB 3故 ………5 分 CD 4⎧ x 2+ y 2 =⎪ (2)由 ⎨ 4c 2 3c 2 消去 y 得： 3x 2 +16cx -12c 2 = 0 ，解得 x = c 或 -6c （舍）………7 分 3 ⎪ y 2 = 4cx 12 2 2 2 2 22 6 2 7 32 2 2 2 - 10 x 2 + y 20 0 14 2（2）由 ⎪ 4 3 y ⎛ 2 所以 M 3 c , ± 3 ⎫c ⎪⎪⎝ ⎭因为OM = ，所以 c = 1………10 分x 2+ y 2 =y 2 = 即椭圆方程为 4 3 ，抛物线方程为x 2 y 24x .………12 分19.(1) 设椭圆方程为 a 2 + = 1(a > b > 0) ，焦距为 2c ，又题意可得b 2c = 2， a + c = 1 + ，所以 a = ，c = 1………2 分 a 2又b 2 = a 2 - c 2 = 1 所以椭圆方程为⎧ x 2x 2 + 22= 1………4 分⎪ （2）由 ⎨ 2+ y 2 = 1消去 x 得， (t 2 + 2)y 2 + 2mty + m 2 - 2 = 0 ………6 分 ⎪⎩ x = ty + m由 ∆ > 0 ，得 m 2 < t 2 + 2设 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 ) ,则 y 1 + y 2 = - 2mt , y y t 2+ 2 1 2 = m - 2 t 2 + 2………8 分 (x - 2)(x - 2) + y y = x x - 2 (x + x ) + 4 = (ty + m )(ty + m ) - 2 ⎡t ( y + y ) + 2m ⎤MA MB = 12 1 2 1 2 1 2 1 2 ⎣ 1 2 ⎦ = (t 2 + 1)y y + t (m - 2)( y + y ) + (m - 2)2= 21 212所以3m 2 - 8m + 2 = 0 ………10 分解得 m =4 ± 10又- < m < 3所以 m = 4 3 ⎛ 4 即直线l 恒过定点 3 ⎫ , 0 ⎪⎪ ………12 分20.（1）椭圆方程为 x 2 + y 2 = 4 3 ⎝ ⎭1 ………2 分设M (x 0 , y 0 )， N (-x 0 , - y 0 )由 k AM + k AN = -2k ，得 y 0 + x + 2 y 0 x - 2= -2k ， kx 0 + x + 2 kx 0 x - 2= -2k 0 0 0 0因为 k ≠ 0 ，所以 x 2 = 2，代入椭圆方程得 y 2= 3 ………4 分0 2所以 MN = 2 = ………6 分⎧ x 2 + y 2= ⎨ 消去 y 得， (3 + 4k 2 )x 2 - 8k 2 x + 4k 2 -12 = 0 ⎪y = k (x - 1) 1 - 10 13 2 2 ( x + x - 4x x 1 2 ) 21 2 2 l x x 1 2 y⎪ 1⎝ ∆ > 0 恒成立M (x , y )N (x , y )+ =8k2= 4k- 12设1 1，2 2,则 x 1x 23 + 4k 2, x 1 x 2 3 + 4k 2………8 分由 k AM + k AN = -k ，得 y 1 + x + 2 y 2 x + 2= -k 1 2k (x 1 -1) + k (x 2 -1) = -k 又k ≠ 0 所以 2x 1 x 2 + (x 1 + x 2 ) - 4 = -1………10 分x 1 + 2 x 2 + 2 x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) + 4解得 k = ±1………12 分21.（1）设焦距为 2c ，因为 M (0 , 1)， N (0 , -1)，且 ∆MNF 为等边三角形所以 c =又 2a = 2 ，所以 a = ， b 2 = c 2 - a 2 = 1所以双曲线方程为 x 2 -2 2= 1………3 分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点当直线l 的斜率存在时，设其方程为 y = kx + 1 ⎧ y = kx + 1⎨ x 2 - y 2 = 1 消去 y 得到(1 - 2k2 )x 2 - 4kx - 4 = 0 ⎪⎩ 2设 P (x , y )， Q (x , y ),则 x + x =4k, x x = - 4………6 分 1 122121 - 2k2 1 2 1 - 2k 2⎧ ∆ > 0因为直线与 E 的左右两支分别交于两点，所以 ⎨⎩ 1 2 < 0 解得 - 2< k < 2（或由双曲线的渐近线方程为 y = ± 2 x 得-2< k < 2 ）………8 分S ∆PQN = 2令t MN x 1 - x 2⎛ 1 ,1⎤2 2 2= x 1 - x 2 == 40 ≤ k 2< ………10 分 22 ⎥⎝ ⎦S = 4t =4 则 2t 2 -12t - 1t 因为 y = 2t - 1 在⎛ 1 ,1⎤单调递增，所以当t = 1时， y 最小为 4 t⎥⎦即 S ∈[4, +∞)………12 分2 2 1 - k 2 (1 - 2k 2 )21 - k 2)y2⎛y 2 ⎫设A 1 , y ⎪，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k⎝ 4 ⎭⎧-⎛y 2 ⎫⎪y y =k x - 1 ⎪⎨ 1 ⎝ 4 ⎭消去 x 得， ky2 - 4 y+ 4 y-ky 2 = 01 1y2 = 4x因为直线与抛物线相切，所以∆= 0 解得k =2………3 分12 ⎛y 2 ⎫ 2 y ⎛y 2 ⎫此时切线方程为 y -y = x - 1 ⎪即y = x + 1 A 1 , y ⎪①1 y 4 y2 4 11 ⎝⎭ 1 ⎝⎭⎛y 2同理设 B 2 , y4⎫2⎪另一条切线方程为y =y x +y2 ②………5 分2⎝⎭将①②联立方程组，解得yM2=y1+y22所以A, M , B 三点的纵坐标成等差数列………6 分（2）取AB 的中点Q ,连接MQ ，过M 点作MN ⊥AB ,垂足为N2则MN ≤MQ = 1 2 - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 1 2设直线AB 的方程为x =my +t （由题意可知m ≠ 0 ）AB -y =a y -y ≤a (y-y)2 a2则 1 2 ，所以 1 2 ，即MN ≤MQ = 1 2 ≤4 81 1 a3 a3所以S∆ABM=2AB •MN ≤2a MQ =16=8 p………12 分1⎩⎪x +x y y y 2 +y 2 y y (y -y2 4 8 4 4。

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）αβ>是sin sin αβ>的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为( ) A ．70B ．70-C ．120D ．120-3．（5分）如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14，18)内的频数是6，则样本数据落在[6，10)的频数是( )A ．6B ．8C ．9D ．104．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥5．（5分）直线34y x =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则的取值有()个A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为( ) A 221B 221C 47D 477．（5分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A ．1360B ．16C ．115D ．7158．（5分）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是( )A ．3(0,][4,)4+∞B ．9(0,][4,)4+∞C ．3(0,][12,)4+∞D ．9(0,][12,)4+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研(一)数学试题

2021～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研(一)数学试题一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．抛物线23y x =的准线方程为〔〕A ．34x =-B ．34x =C ．34y =-D ．34y = 2．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，那么该双曲线的离心率为〔〕A ．62B ．6C ．52D ．53．椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，那么点P 到右准线的距离为〔〕 A ．4B ．6C ．8D ．12 4．抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，那么p 的值为〔〕A ．4B ．6C ．9D ．125．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么MF NF +=〔〕A ．5B ．6C ．7D ．86．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，方案以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为〔〕A ．6B ．12C ．18D ．247．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，过点(4，0)的直线交椭圆E 于A ，B 两点．假设AB 中点坐标为()2,1-，那么椭圆E 的离心率为〔〕A ．12BC ．13D 8．双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，那么12PF PF =〔〕A ．8B ．C ．4D ．二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。

在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分.9．双曲线()222063x y λλ-=≠，那么不因λ改变而变化的是〔〕 A ．渐近线方程 B ．顶点坐标 C ．离心率 D ．焦距10．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，假设123PF PF =，那么双曲线的离心率可能为〔〕A ．2BCD ．311．设1F ，2F 为椭圆22:1167x y C +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，假设12MF F ∆为等腰三角形，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．12MF =B ．22MF =C ．点M 的横坐标为83D ．12MF F S ∆=12．抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．点F 的坐标为()1,0B ．假设A ,F ,B 三点共线，那么3OA OB =-C ．假设直线OA 与OB 的斜率之积为14-，那么直线AB 过点F D ．假设6AB =，那么AB 的中点到x 轴距离的最小值为2三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.13．当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么α的取值范围为 ▲ ．14．设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点．在2ABF ∆中，假设有两边之和为10，那么第三边的长度为 ▲ ．15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，01290F MF ∠=，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，那么双曲线的离心率是 ▲ ．16．F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，那么p = ▲ ；假设过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，有2AF FB =，那么AB = ▲ ．四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值10分〕抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足()2,42PF =-．〔1〕求点P 的坐标和抛物线E 的方程；〔2〕过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程．18．〔本小题总分值12分〕椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ,B 两点，交2C 于C ,D 两点．〔1〕求AB CD的值；〔2〕设M 为1C 与2C 的公共点，假设27OM =1C 与2C 的标准方程． 19．〔本小题总分值12分〕设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆上的点到焦点距离的最大21+．〔1〕求椭圆C 的方程; 〔2〕动直线(:22l x ty m m =+-与C 交于A ，B 两点，M ()2,0，且2MA MB =,求证：直线l 恒过定点．20．〔本小题总分值12分〕椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点．〔1〕当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ；〔2〕当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值． 21．〔本小题总分值12分〕双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的实轴长为F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF ∆为等边三角形．〔1〕求双曲线E 的方程；〔2〕过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN ∆面积的取值范围．22．〔本小题总分值12分〕点()10F ，为抛物线()02:2>=p px y E 的焦点，直线l 与抛物线E 相交于B A ,两点，抛物线E 在B A ,两点处的切线交于M ．（1）求证：,,A M B 三点的纵坐标成等差数列；（2）假设a AB =，其中a 为定值，求证：△ABM 的面积的最大值为p a 83．。

江苏省南通市如皋市2024-2025学年高二上学期教学质量调研(二)(期中)物理试题(无答案)

2024—2025学年度高二年级第一学期教学质量调研（二）物理一、单项选择题：共12题，每题3分，共36分.每题只有一个选项最符合题意.1.在挡板上安装一个宽度可调的狭缝，缝后放一个光屏.用红色平行光照射狭缝，光屏上出现如图所示的图样.可使中央亮条纹变宽的操作是（）A.增大平行光的宽度B.减小单缝的宽度C.减小屏到单缝的距离D.改用绿色平行光照射2.如图所示，在用插针法“测量玻璃的折射率”实验中，下列说法中正确的是（）A.大头针4P 须挡住3P 及1P 、2P的像B.利用量角器量出1i 、2i ，可求出玻璃砖的折射率21sin sin i n i = C.若误将玻璃砖的边PQ 画到P Q ''，折射率的测量值将偏大D.若增大入射角1i ，经过1P 、2P 的光可在PQ 面上发生全反射现象3.如图所示，电灯S 发出的光先后经过偏振片A 和B ，人眼在P 处迎着入射光方向，却看不到光亮，下列说法中正确的是（）A.电灯S发出的光是偏振光B.以SP为轴转动A，Q处将出现明暗交替的现象C.将B沿SP向A平移至某位置时，在P处看到光亮D.以SP为轴将A转过45°，在P处看到光亮4.某同学利用如图甲所示装置测量某种单色光的波长，该同学通过测量头的目镜观察到如图乙所示的图像，下列说法中正确的是（）A.凸透镜的作用是获得平行光B.旋转测量头，可使分划板竖线与条纹平行C.左右拨动拨杆，调节单缝可使条纹与分划板竖线平行D.将屏向远离双缝的方向移动，可以增加从目镜中观察到的条纹个数S飘入电势差为U的加速电场，其初速5.如图所示，质量为m、电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔1S沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D 度几乎为0，然后经过3上.则粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为（）6.如图所示，宽为l的光滑导轨与水平面成角，质量为m、长为l的金属杆水平放置在导轨上.空间存在着匀强磁场，当回路总电流为I时，金属杆恰好能静止.则磁感应强度（）A.最小值为tan mg lIα，方向竖直向上 B.最小值为tan mg lIα，方向竖直向下 C.最小值为sin mg lIα，方向垂直导轨平面向上 D.最小值为sin mg lI α，方向垂直导轨平面向下 7.如图所示为某一时刻的波形图，实线为向左传播的波，虚线为向右传播的波，a 、b 、c 、d 、e 为介质中沿波传播路径上五个等间距的质点.下列说法中正确的是（）A.图中时刻质点c 的速度方向向上B.质点b 、d 为振动加强点C.质点a 、c 、e 为振动减弱点D.质点a 、c 、e 始终静止不动8.如图所示，纸面内有一环形线圈，线圈中通入顺时针方向的环形电流，在线圈内部放入一小段通电导线，导线与线圈共面，且通过导线的电流方向如图所示.则线圈所受的安培力（）A.大小为0B.垂直导线向左C.垂直导线向右D.垂直纸面向内9.如图所示，物块A 、B 通过轻弹簧连接，A 、B 和弹簧组成的系统静止在光滑水平面上.现用手将A 、B 向两侧拉开一段距离，并由静止同时释放两物块，则放手后（）A.弹簧恢复到原长时，A 的动能达到最大B.弹簧压缩量最大时，A 的动量达到最大C.弹簧恢复到原长过程中，系统的动量增加D.弹簧恢复到原长过程中，系统的机械能增加10.如图所示，边长为L 的等边三角形区域内有匀强磁场.大量电子从B 点射入磁场中，入射方向分布在与BC 边的夹角为()060a α≤≤︒的范围内，在磁场中的运动半径均为L .不计电子间的相互作用.则在磁场中运动时间最长的电子入射时的α角为（）A.0°B.15°C.30°D.45°11.如图所示，场强为E 的匀强电场竖直向上，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直电场向外，一带电小球获得垂直磁场水平向左的初速度，正好做匀速圆周运动.重力加速度为g .下列说法中正确的是（）A.小球带负电B.小球做匀速圆周运动的周期为2πE BgC.若撤去电场，小球可能做平抛运动D.若将电场的方向改为竖直向下，小球一定做曲线运动12.如图甲、乙所示，同一单摆先后做简谐运动和圆锥摆运动，已知摆球的最大高度相同.则两次运动相比较，简谐运动中摆球的（）A.运动的周期小，机械能大B.运动的周期小，机械能小C.运动的周期大，机械能大D.运动的周期大，机械能小二、非选择题：共6题，共64分.其中第13题~第18题解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分；有数值计算时，答案中必须明确写出数值和单位.13.（8分）如图所示，质量为M 的木块静止在离地高度为h 的光滑桌面边缘.一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入木块并停留其中，接着子弹和木块组成的系统一起水平抛出.已知重力加速度为g .求系统（1）离开桌面时的速度大小v ；（2）从抛出到落地过程中动量变化量的大小p ∆.14.（8分）某实验小组用一单色光做双缝干涉实验，所用的双缝间距为d ，在距离双缝为l 处的光屏上，测量得到第1条亮纹中心至第5条亮纹中心之间的距离为x .（1）求该单色光的波长λ；（2）现需在眼镜镜片上镀膜，以增强对该单色光的透射.已知膜对该光的折射率为n ，求膜的最小厚度h .15.（9分）如图所示，一列简谐横波沿x 轴正方向传播，0t =时刻的波形如图实线所示，在0.4s t =时刻的波形如图虚线所示.（1）求波的传播速度大小v ；（2）若波的周期大于0.4s ，写出0x =处的质点的振动方程.16.（9分）如图为圆柱体光导纤维（可简化为长玻璃丝）的示意图，玻璃丝的长度为L .光垂直入射到玻璃丝的端面AB ，已知玻璃丝对光的折射率为n ，光在真空中的传播速度为c .（1）求光在玻璃丝中传播的时间t ；（2）若光以任意角度入射到玻璃丝的端面AB 的圆心，光均能从另一个端面射出而不会从侧壁泄露出来，求玻璃丝折射率应满足的大小范围.17.（15分）回旋加速器的工作原理如图所示.半径为R 的真空的D 形金属盒处在匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向与盒面垂直，将两盒与电压为0U 、周期为2m T qBπ=的高频交变电源相连.一质量为m 、电荷量为q +的带电粒子从A 处飘入两盒间的狭缝，其初速度视为零.不计粒子穿过狭缝的时间和粒子的重力.求粒子（1）离开加速器时的动能k E ；（2）从飘入狭缝至动能达到k E 所需的时间t ；（3）第2、4次加速后，刚进入2D 时的位置间的距离x .18.（15分）如图所示，平面直角坐标系xOy 的x 轴上方有平行于y 轴的匀强电场，在第四象限内有磁感应强度大小为1B 、方向垂直于坐标平面向内的直线边界匀强磁场，直线边界过点(3,0)c L 且与x 轴垂直，第三条限内有垂直于坐标平面向内的矩形有界匀强磁场（未画出），一电子从点(0,)a L 以速度0v 垂直于y 轴进入第一象限，并从点()2,0b L ，进入第四象限，经过第四、三象限的磁场偏转后，进入第二象限的电场，回到点a 后重复上述过程的运动.已知电子的质量为m 、电荷量为e -，不计电子重力.求：（1）电子运动到点b 时的速度大小v 和方向；（2）电子从点b 到离开第四象限时经过的时间t ；（3）第三象限内磁场的磁场感应强度大小2B .。

2020-2021学年江苏省如皋市高一上学期教学质量调研(一)数学试题

如皋市2020～2021学年度高一年级第一学期教学质量调研（一）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,2,3--=A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x x x B ，则=B A （） A ．{}1,0,2- B ．{}0,2- C ．{}2,1,3- D ．{}2,3-2．满足{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆A 的集合A 的个数为（） A ．8 B ．7 C ．4 D ．163．不等式()()042222≥--+-x a x a 的解集为φ，则实数a 的取值范围是（）A ．()[)+∞⋃-∞-,22,B ．()2,2-C ．(]2,2-D ．()2,∞- 4．设R ∈a ，则"2">a 是"2"2a a >的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()2216->++=x x x y 取最小值时x 的值为（） A.6 B.2 C.3 D.66．下列命题中，真命题的个数是（） ①4622++=x x y 的最小值是22；②x x x ≤∈∃2N,； ③若B A x ∈,则B A x ∈；④集合{}01|2=+-=x kx x A 中只有一个元素的充要条件是41=k ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若关于x 的不等式()()042<---a x x 的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,0B ．()2,1C ．[)(]6,51,2--D ．(]2,18．已知集合(){}R ,02|,2∈=+-+=m y mx x y x A ，集合(){}20,01|,≤≤=+-=x y x y x B ，若集合B A 中有2个元素，则实数m 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23B ．()1,3--C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23 D ．()()+∞⋃-,31,3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知集合{}{}R ,1|,2,1∈===m mx x B A ，若A B ⊆,则实数m 可能的取值为（） A ．0 B ．1 C ．21 D ．210．已知m b a ,,均为正实数，则b a 11>成立的充要条件是（） A ．b a < B ．2>+b a a b C ．m b m a b a ++< D ．22ab b a >11．若不等式0322≤--x x 对[]2,+∈∀a a x 恒成立，则实数a 的值可能为（）A ．2-B ．1-C ．21D ．212．若0,0>>y x 且满足xy y x =+，则（）A ．y x +的最小值为4B ．y x +的最小值为2C ．1412-+-y y x x 的最小值为642+D ．1412-+-y y x x 的最小值为246+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题：032R,2>++∈∀x x x 的否定是__________．14．若不等式1<-m x 成立的一个充分不必要条件是121<<x ，则实数m 的取值范围是 __________．15．设集合{}{}b a a B a a A ++=+=,12,,6,12，若{}4=B A ,则=a _______,=b _______．16．古希腊数学家希波克拉底曾研究过右面的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AC AB ,．若以AC AB ,为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，则以斜边BC 为直径的半圆面积的最小值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}183|2--==x x y x A ，{}012|≥+-=a x x B ，{}2|≥=x x C ．（1）求集合C A ;（2）若R R A C B =（）,求实数a 的范围．18．（本小题满分12分）已知全集R =U ，集合{}[]R m m m B x x x A ∈++=≤+-=，32,1,045|2．（1）若21-=m ，求U A B （）; （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m 的取值范围．条件① B B A = ; 条件② φ≠B A ；条件③=R U A B （）（注：如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）19.（本小题满分12分）已知不等式02>++c bx ax 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,31. （1）证明：0337=++c b a ;（3）求不等式02<+-a bx cx 的解集．20．（本小题满分12分）设集合{}02|2=--=x x x A ，(){}0623|22=-+-+=a x a x x B ．（1）0=a 时，求B A 中各元素之和；（2）若A B ⊆,求实数a 的取值的集合．21．（本小题满分12分）已知0>a ，命题:p 二次函数29y x ax =-+在()2，4内有且只有一个零点；命题:q 对()140,1,31x a x x∀∈+≥-恒成立．若p 是真命题，q 是假命题，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()32-++=x b a ax y .（1）当2-=a 时，不等式()b x b a ax ≤-++32对()+∞∈∀,1x 恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当3-=b 时，解关于x 的不等式()032<-++x b a ax ．。