第六章 杆件的内力内力图

3.求特殊点内力值，作剪力图和弯矩图。
M a） Ma / l （
例6-11 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画
出剪力图和弯矩图。
y
q
解：1．求约束反力 B
x
A x
FAY
FAy＝ FBy＝ ql/2 2．写出剪力和弯矩方程
C
l
FBY
FQ ql / 2
FQ x ＝ql / 2 qx 0 x l
2
（2）求特殊点内力值，画剪力图和弯矩图
x
FQ 0 ＝0
FQ l ＝ql
ql / 2M 0＝0 M l/2 ＝ql 2 / 8 M l ＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 8

x
由剪力图、弯矩图可见，最大剪力
和弯矩分别为
FQ max ＝ql
M max＝ql 2 / 2
25
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
FN1 FN2 F2 F2
10
Fx 0
FN 2 F2 F1 0
FN 2 F1 F2 10kN
F1
F3
+ _
10
Fx 0
FN 3 F1 F2 F3 0
FN 3 F1 F2 F3 25kN
剪力和弯矩都可表示为x的函数， FQ = FQ (x) ，M = M (x)。 称为梁的剪力方程和弯矩方程。 一般，剪力方程和弯矩方程是x的分段函数，集中力、集 中力偶、分布力的起点和终点为函数分段点。
剪力、弯矩图：表示剪力、弯矩沿轴线的变化规律的图形。 FQ = FQ (x) ，M = M (x)
压力向下画，最后归零。
例6-2 已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN；试画出图示
杆件的轴力图。
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D
解：取基线平行于杆的中心线
F1
10 kN
3 F4 （1）从杆的左端开始作图 + （2）从杆的右端开始作图 （3）若要求1-1、2-2、3-3截面上的
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
Fy 0 FQ ( x) ( FQ ( x) dFQ ( x)) q( x)dx 0
M C (F ) 0 dx M ( x) dM ( x) M ( x) FQ ( x)dx q( x)dx 0 2
dM ( x) FQ ( x) dx dx d 2 M ( x) dFQ ( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系： q ( x) 2 dx dx
和作轴力图完全一致的方法作扭矩图。
例6-3 齿轮轴受载如图，作轴的扭矩图。
解：（1）将力偶用矢量表示 （2）根据作图口诀作图 Me1 Me2 MX
+ _
Me3
Me4
从左端开始作图 从右端开始作图
例6-4
(1)计算外力偶矩 解: 由公式
第四节 梁弯曲时的内力及内力图
一、实例
起重机大梁
火车轮轴
以弯曲为主要
F
FN
F
F
+
x
取x轴平行于杆件轴线（基线），一般，正的轴 力画在基线的上侧。
例6-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;
A F1 F1 F1
FN kN
试画出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D 解：1、计算各段的轴力。 1 F2 2
F3 3
F4 AB段 Fx 0 BC段 FN3 CD段
外伸梁
火车轮轴简化
悬臂梁
车削工件简化
五、梁的内力--剪力和弯矩
M FN FAy M FQ
F
x
y
0
FN 0
Q Ay
F 0 F F M (F ) 0 M F
C
F1
x F1 ( x a)
Ay
FN
FQ 剪力FQ ，和横截面相切。
FBy
弯矩M ，纵向对称面内的力偶。
剪力和弯矩的符号 剪力FQ ：
+
_
截面上的剪力对梁段内任意一点的矩为顺时针转向时，剪 力为正；反之为负。对梁段内任意一点的矩为顺时针转向的外
力，引起正的剪力。记忆口诀：顺转剪力正。
弯矩：
+
_
截面上的弯矩使得梁段呈上凹为正；反之为负。使得 梁段上弯的力或力偶引起正的弯矩。记忆口诀：上弯弯 矩正。
例6-6 求图示简支梁E 截面的内力。 解： 确定反力 1. M A 0 FBy 3a Fa 2F a 0
x 3.求特殊点内力值，画剪力、弯矩图。
试写出剪力和弯矩 例6-10 图示简支梁C点受集中力偶作用。 方程，并画出剪力图和弯矩图。
a
M
b
解：1．求约束反力 x2 B
FBy
FBY
A
FAY
x1
M /l
C
l
M ＝0， F
A
y
0
FAy＝M / l FBy＝ -M/ /l l M 2．写出剪力和弯矩方程

Ma / l
AC：
FQ x1 ＝M / l
M x1 ＝Mx1 / l
0 x1 a

Mb / l
CB：
0 x1 a FQ x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
M b） Mb / l （
+ _
10 kN 25 kN
内力，先作出轴力图，由图可知： FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN
10 kN
+
+ _
10 kN
（4）若要求轴力的最大值，由图可知： FNmax=25kN。
第三节
一、实例
圆轴扭转时的内力及内力图
汽车传动轴
汽车方向盘轴
以扭转为主要变 形的杆件称为轴
丝锥攻丝
第六章
杆件的内力和内力图
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图 第二节 圆轴扭转时的内力及内力图 第三节 梁弯曲时的内力及内力图
本章重点 杆件拉伸或压缩、扭转、弯曲时 横截面上内力的计算和内力图的绘
制。
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力和内力图
一、实例
A
B C F
以拉、压为主要变形的构件称为杆
代: 将抛掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出内力
即轴力的值
Fx 0
FN F 0
FN F
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
F
F
Fx 0
FN F
FN F 0
FN F
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆 件的轴线重合。所以称为轴力。
Fy 0
FA FB F 4ql 0
FB 3ql
（2）求C截面上的剪力和弯矩。
FQC FB 2ql ql M C FB 2l q 2l 2 4ql 2
六、剪力和弯矩方程，剪力、弯矩图
x 4l x
以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上
二、扭转轴的受力和变形特点：
外力偶作用在垂直于轴轴线的平面内,使轴的横截面
绕轴线产生转动，圆轴表面的直线母线变形后变为螺旋线。
三、外力偶矩的计算
1.直接计算
2.已知电机输出功率为P（kW），转速为 n（转/分钟） P P Me M e 9550 N m n
四、扭矩和扭矩图 m 1.扭矩Mx：轴横截面上的内力 m 2. 用截面法求扭矩 截: 假想沿m-m横截面将杆切开
dFQ ( x) q( x)
5
梁段受常见载荷作用时的剪力、弯矩图
FQ
C处不变
·
x
d 2 M ( x) dFQ ( x) q ( x) 2 dx dx
根据微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
F 1、根据任一截面上的剪力和截面一侧外力之间的关系： Qm Fi
i 1
j
以及剪力和载荷集度之间的微分关系
M E 2F
a 5F 3a 3aF 2 3 2 2
FAy
F FQE FAy 2F 3 a 5F 3a 3aF FByM E 2 F 2 3 2 2
j
结论:任一截面上的剪力等于截面一侧所有的外力的代数和,
FQm Fi
i1
引起正的剪力的外力取正。
取: 取m-m截面以左段或以右段
代: 将去掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
扭矩正负规定 右手螺旋法则
M x - Me 0
M x Me
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之负(-).
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶,外力偶和轴向外力对应,扭矩和轴力对应,可用
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
在截面附近取微段
F
F FN F F FN F FN FN FN F F FN
F
FN
FN FN _ FN +
F
注意
为使从平衡方程中求得的内力的 符号和规定的内力正负号一致，可将 内力一律设为正。无论哪种基本变
形，都这样处理。
F
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线的变化规律的图形。
变形的杆称为梁
0
车削工件
二、平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
常见平面弯曲构件截面
三、梁的受力和变形特点： 梁上的外力作用线垂直于梁的中心线，外力偶
作用在梁的纵向对称面内。平面弯曲梁的中心线变
形后在纵向对称面内弯成连续光滑的挠曲线。
四、简单梁的基本形式 简支梁 吊车大梁简化

M x
M x ＝qlx / 2 qx 2 / 2

0 x l
ql 2 / 8
ql / 2 3.求特殊点内力值，作剪力图和弯矩图。

FQ 0 ＝ql / 2 FQ l ＝ ql / 2
M l / 2 ql 2 / 8
x
七、


x CB：
M x1 ＝Fbx1 / l
0 x1 a
a x2 l
0 x1 a
a x2 l
M
FQ x2 ＝ Fa / l
M x2 ＝Fal x2 / l
M 0 M l 0 M a ＝Fab / l ＝
任一截面上的弯矩等于截面一侧所有的外力对截面上一点 之矩以及力偶矩的代数和。
M m M O ( Fi ) 引起正的弯矩的力矩、力偶矩取正。
i1
j
例6-7 已知F = 2ql，M = 2ql2，求图示简支梁跨中截面C上的
剪力和弯矩。
4l
解:（1）求支座反力。由平衡方程
M （F） 0 B FA 4l M F 3l q 4l 2l 0 FA 3ql
建立起剪力、弯矩方程，可根据函数作图法作出剪力图
和弯矩图。
例6-8 悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯
矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 q 解（1）任选截面x，写出剪力、弯矩方程
x
l
FQ x ＝qx M x ＝qx2 / 2
0 x l 0 x l
FQ
ql

0 FAy FBy 2 F 0 F 5F FBy FBy FAy 3 3 2. 用截面法研究内力 5F Fy 0 2 F FQE 0 3 F FQE FAy 2F 3
y
F
FAy
A
E
ME
FAy
FQE
ME 0
ME FQE FBy
5 F 3a a 2F M E 0 3 2 2
2、绘制轴力图。
+
x
五、简易作图法
由上例可知，任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。
即： N j F
Fi 使所取杆段受拉的外力取正，受压的外力取负。
i 1
j
F
F
FN FN （+） F FN （-）N
F
F
将内力随集中外力变化的规律直接用图形表达，可按 以下作图口诀直接作轴力图：拉力向上画，无力平行画，
dFQ ( x) dx
q( x) ，可得从梁
的梁的左端开始作剪力图的作图口诀： 集中力顺着画，无力水平画，匀布载荷斜着画，q定斜向。
例6-9 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程， 并画出剪力图和弯矩图。
a
F
解：1．求约束反力
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
M ＝0， F
A
y
0
FAy＝Fb / l
FBy＝Fa / l
2．写出剪力和弯矩方程
FQ
Fb / l
Fa / l
Fab / l
AC：
FQ x1 ＝Fb / l
二、拉压杆的受力和变形特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线 重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。 杆的受力简图为 拉伸 压缩
F
F F
F
三、拉、压杆的内力——轴力FN
1、轴力FN：拉、压杆横截面上的内力 2、用截面法求轴力
m
F
m
F FN
截: 假想沿m-m横截面将杆切开
取: 取m-m截面以左段