第六章 杆件的内力内力图
合集下载
专升本工程力学第6章 杆件的内力分析.
29
机电工程学院
2018/12/8
6.3.2 剪力和弯矩
【例6.3】求简支梁横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。
30
机电工程学院
2018/12/8
6.3.2 剪力和弯矩
解 （1）求支座反力。由梁的平衡方程，求得支座反力为
FA=FB=10kN
（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩。假想地沿横截面1-1把梁
2018/12/8
6.3 杆件弯曲时的内力分析
6.3.1 平面弯曲的概念 6.3.2 剪力和弯矩
6.3.3 剪力图和弯矩图
26
机电工程学院
2018/12/8
6.3.2 剪力和弯矩
以悬臂梁为例，其上作用有载荷F，由平衡方程可求出固定端
B处的支座反力为FB=F，MB=Fl。
27
机电工程学院
2018/12/8
（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩。假想地沿横截面2-2把梁截
成两段，取左段为研究对象，列出平衡方程
F
y
0, FA F1 FS2 0
FS2 FA F1 0
D
M
0, M2 FA (4m) F1 (2m) 0
M 2 FA (4m) F1 (2m) 20kN m
16
机电工程学院
2018/12/8
6.2.2 扭矩与扭矩图
解 （1）计算外力偶矩。作用于各轮上的外力偶矩分别为
PA M eA 9549 4.46kN m n PB M eB 9549 1.91kN m n PC M eC M eD 9549 1.27kN m n
T2 M eA M eB 2.55kN m T3 M eD 1.27kN m
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
工程力学05-杆件的内力图
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
杆件的内力分析
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
P n
（N·m）
如果功率P以马力为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
M
B
MC
M
＝
A
637
N
m
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为P千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W P1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
e
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
N
单位：KN
F
N
正
20kN
10kN
30kN
10kN
30kN
20kN
第6章内力和内力图
B2
1
C
D
工程力学电子教案
内力和内力图
33
思考题6-4
试作图示杆的轴力图。
20 kN 40 kN
30 kN
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m
1m
工程力学电子教案
内力和内力图
思考题6-4参考答案：
20kN 40kN
30kN
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m
1m
FN /kN 20 10
O
20
34
x
工程力学电子教案
MT (kN·m) 1.5 0.5 + x
2
工程力学电子教案
内力和内力图
47
思考题6-7
作杆的扭矩图。
0.1 m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 1 kN
1m
0.1 m
工程力学电子教案
内力和内力图
48
思考题6-7参考答案
0.1m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 0.1m
1 kN 1m
MT /kN·m
21
思考题6-2
试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。
F
a 2 F
13
4a
F
a
A
B
a
工程力学电子教案
内力和内力图
思考题6-2参考答案：
F
a 2 F
13
4a
F
a
A
B
a
22
F1= F F2= - 2F F3= 2.828F F4= - 3F
工程力学电子教案
内力和内力图
23
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
工程力学第六章杆件与结构的内力计算
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
第六章--静定结构的内力计算-建筑力学
120kN
40kN/m
C
A
120kN D
B
C
40kN/m
D
60kN
A B
60kN
145kN
145
FS图 +
（kN ）
M图 （kN m）
320
235kN
60
-
+
-
60
175
120
180
§6-6 三铰拱
q
C
FAx = FH A
FA y
l 2
l 4
l
q
A
C
FA0y
F
f
B
l
FB x
4 FB y
F
B
FB0y
dx l l y2 = 3m
FA y
81.5m =12m
FB y
100kN
A
20kN/m
C
B
M 2 = M 20 - FH y2 = 67.5kN m
FSL2 = FSL20 c os - FH sin
= 41.6kN
FSR2 = FSR20 c os - FH sin
FA0y tg2 = 0.667
0.5m
FA = 19kN
D
1.5m
8kN
A
FNAC
FxAD
19kN
FyAD
FNAD
FyAD = 11kN FxAD = 33kN
FNAD = 34.8kN FNAC = -33kN
P
P+P'
无外载时的内力: P
有外载时的内力: P+P'
ΔP=P+P'-P=P' —(附加)内力 研究的是外力所产生的附加内力, 简称内力
工程力学06-内力
40 150 20
计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
m 2 150 10 3000 N mm
作用在齿部的平均力偶矩
m B t
A
C
t 3000 20 150 N mm mm
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥
齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶 矩。人加荷载简化为集中力偶矩。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
h
分析 塔体的自重可简化为沿 轴向的均布荷载。了望台重量 简化为集中力。
H
P
H
建立如图的坐标系。 在用截面法分析轴力时， 可考虑取上部为分析对象，这
x
样可以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方 则应考虑力 P ，故应分段分析。
剪切
剪力 FS
弯曲
弯矩 M
3. 内力的符号规定
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。
轴力的正号
轴力的负号
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
x h
x FN1
1 A π( D 2 d 2 ) 4 0 xh
H
P
H
FN2
1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 0 4 1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 4
计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
m 2 150 10 3000 N mm
作用在齿部的平均力偶矩
m B t
A
C
t 3000 20 150 N mm mm
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥
齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶 矩。人加荷载简化为集中力偶矩。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
h
分析 塔体的自重可简化为沿 轴向的均布荷载。了望台重量 简化为集中力。
H
P
H
建立如图的坐标系。 在用截面法分析轴力时， 可考虑取上部为分析对象，这
x
样可以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方 则应考虑力 P ，故应分段分析。
剪切
剪力 FS
弯曲
弯矩 M
3. 内力的符号规定
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。
轴力的正号
轴力的负号
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
x h
x FN1
1 A π( D 2 d 2 ) 4 0 xh
H
P
H
FN2
1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 0 4 1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 4
杆件内力分析
M
max
FS Pcos FN Psin
M PR 2
FN P 2
FS
FN
max
max
FS 0 FS P
内力图
PR
-
R
M图
P
M PRsin （ ）
qa
B D C
qa2 2
x1
a
x2
q
RC
qa 2
qa2
x3
A RAx qa a 3qa RAy 2
M图
qa 2
a
qa
qa
FN图
3qa 2
Fs图
作图示刚架的内力图
C
D
a
A
q
qa2
B
a
解：求约束反力
C
D
a
q
A
3qa 2
qa
qa2
B
a
3qa 2
分析各段内力
内力方程:
D
BD:
FN ( x1 )
杆件的内力分析
杆件内力的一般分类 杆件在外力作用下，内部的相互作用称为内力。 对于一个在外力和约束力作用下处于平衡状态的杆件，将其 在所要求内力的截面假想地截开（一般按横截面截开）考虑部分 平衡。与刚体的不同是杆件的内力在截面上为一分布力系。将其 向截面形心简化，如图所示
Y
FSY FN X Z
FSZ Y
FN 30 5 x( kN )
(4m x 6m)
轴力图
FA=10kN 2m
20kN 2m
5kN/m 2m
FN
kN
10
第六章内力及内力图
Fy 0 F Fs1 0
Fs1 F
MC1 0 M1 Fa 0
M1 Fa
1 M1
1 Fs1
§6.4 剪力和弯矩
由前面的例题可以看出，在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面 的位置而变化的。
若沿梁轴方向选取x坐标表示横截面位置，则梁的各横截面上的剪力和弯矩 可以表示为x的函数，即
Fb l
x
FA
y
Fs称为剪力，它是横截面上切向分布内力的 合力。
M称为弯矩，它是横截面上法向分布内力的
合力偶矩。
FA
取右： Fy 0
FS
Fb l
MC 0
M Fb x l
a
F b
m
x ml
FS M
C
x
ax F M
C
FS
lx
B
FB
FB
剪力、弯矩正负号规定：
1、剪力FS
解： (1) 写出剪力方程和弯矩方程
F
FS (x) F (0 x l)
A
x
l
M (x) Fx (0 x l)
(2) 作剪力图和弯矩图
FS
FS(x)为一常量，故剪力图为一条水平直线。
F
M(x)为x的一次函数，故弯矩图为一条斜直线。
x 0时 M 0
x l时 M Fl
从动轮上外力偶矩的转向和轴 的转向相反
例 已知:传动轴转速n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别 为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。
解： 1.计算外力偶矩
转向
第六章 杆件的内力与内力图
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
FP1=2.5kN A FP1=2.5kN 1 FP2=4kN C FN1 2 FP3=1.5kN
1
2
B
x
Σ X = 0 → FN1 - FP1 = 0
FP1=2.5kN FP2=4kN
FN1=2.5kN
FN2
Σ X = 0 → FN 2 + FP 2 - FP1 = 0
适用于求桁架中某些指定杆件的内力
求 解 要 点
例6-4 试求图中桁架中杆1和杆2的轴力。
Ⅰ Ⅱ
4m 2 1 A Ⅰ 8kN 16kN Ⅱ 16kN 4x3m 16kN FN1 A 8kN 8kN 16kN
B
Σ Fy = 0 FN 1 = -8kN
FN2 B 8kN 16kN
Σ Fy = 0 FN 2 5 = ´ 8kN = 10kN 4
FN2=-1.5kN
6-1-2 轴力图
表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为 轴力图（diagram of normal force）。
A
1 B 1Fp2
2 C 2 Fp3
Fp1
Fp1
FN1 FN2 Fp2 FN3
已知Fp1=6kN；Fp2=18kN； Fp3=8kN；Fp4=4kN;试画出 Fp4 图示杆件的轴力图。 3 解：1、计算各段的轴力。 Σ Fx = 0 AB段 FN1 = Fp1 = 6kN
例传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA= 36KW，从动轮B、 C、D输出功率分别为 PB= PC =11KW ， PD= 14KW，转速 n = 300r/min。试作该轴的扭矩图。
MeC MeA MeD
先计算外力偶矩
PA 1146 N m n P M eB M eC 9549 B 350 N m n P M eD 9549 D 446 N m n M eA 9549
4.1-4内力及内力图
M FRB l
FRA
A a
M
FRB
C b l B
将坐标原点取在梁的左端. 因为梁上没有横向外力，所以
全梁只有一个剪力方程
M FS ( x ) (0 x l ) (1) l
由(1)式画出整个梁的剪力图 是一条平行于 x 轴的直线.
M l
+
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同
AC段
M FRA
FS(x) M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
x
O
O
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁
的剪力图和弯矩图.
A
F
B x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
m dx
的剪力为正；反之，为负。
m dx
4.2截面法
这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其 中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面 内力的方法称截面法。 综上所述，截面法包括以下三个步骤： （1）沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部 分。 （2）取出任一部分为研究对象，并在截开面上 用内力代替，弃去部分对该部分的作用。 （3）列出研究对象的平衡方程，并求解内力。
例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN，
a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
上的剪力和弯矩.
F1=F
C
建筑力学,第六章内力及内力图,武汉理工
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
轴力：杆横截面上分布内力的合力沿杆轴线方向的分量 称为轴力，用符号N表示。 轴力N的正负号规定：拉为正、压为负。 轴力方程：轴力N与杆横截面位置坐标x之间 P 的函数关系表达式。 轴力图：用来表示轴力随截面位置不同 而变化的情况的图形。
3. 绘制扭矩图
Tmax 2.87kN m
T3 2.87
AC段为危险截面。
– 0.95
1.59
T (kN m)
讨论题
6.3 平面弯曲梁的内力及内力图
受力特点：杆件受有作用线垂直于杆轴 的横向力或作用面与杆轴共面的外力偶 作用。 变形特点：杆轴线由直线变为曲线；杆 的横截面形心在垂直于杆轴的方向有位 移（挠度）；杆的横截面绕某个轴发生 转动（转角）。
例11 作图示简支梁的内力图。
例12 求作图示伸臂梁的ＦＱ、Ｍ图
例12 续
例13 比较图示斜梁和简支梁的异同
多跨静定梁的内力分析 多跨静定梁是由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件 与大地通过支座连接而成的结构。
多跨静定梁的组成及传力特征
多跨静定梁的组成及传力特征
对图示梁进行几何组成分 析：……根据各杆之间的依赖、 支承关系，引入以下两个概念： 基本部分：结构中不依赖于其它 部分而独立与大地形成几何不变 体的部分。 附属部分：结构中依赖基本部分 的支承才能保持几何不变的部分。
解 （1） 计算外力偶矩 PA M eA 9549 n 120 9549 Nm 300 3819.6N m 3.82kN m
第6章内力和内力图(桁架内力计算)
工程力学教程电子教案
内力和内力图
13
例题 6-1
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方 先取整体为研究对象 受力如图所示。 受力如图所示 程 ∑Fx = 0，FAx + FE = 0
∑Fy = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑MA(F) = 0,
联立求解得 FAx= －2 kN, FB = 2 kN
工程力学教程电子教案
内力和内力图
32
内力的大小及指向只有将物体假想地截开后才 能确定。 能确定。
拉压杆横截面上的内力，由任一横截面 拉压杆横截面上的内力，由任一横截面(m-m) 一边分离体的平衡条件可知， 一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的 分布力，此分布内力的合力称为轴力。 分布力，此分布内力的合力称为轴力。用符号 FN 表示。 表示。
工程力学教程电子教案
内力和内力图
20
例题 6-2
由平衡方程
先取整体为研究对象, 作受力图。 解：先取整体为研究对象 作受力图。
∑Fx = 0，FAx + FE = 0 ∑Fy = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑MA(F) = 0,
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
工程力学教程电子教案
内力和内力图
12
6.1.3 平面简单桁架的内力计算 1. 节点法 取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。 取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。
例题 6-1
如图平面简单桁架，已知铅垂力 如图平面简单桁架，已知铅垂力FC= 4 kN，水 ， 平力F 平力 E =2 kN。求各杆内力。 。求各杆内力。
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
杆件内力及内力图的绘制(梁的内力)
【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.求特殊点内力值，作剪力图和弯矩图。
M a） Ma / l （
例6-11 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画
出剪力图和弯矩图。
y
q
解：1．求约束反力 B
x
A x
FAY
FAy＝ FBy＝ ql/2 2．写出剪力和弯矩方程
C
l
FBY
FQ ql / 2
FQ x ＝ql / 2 qx 0 x l
2
（2）求特殊点内力值，画剪力图和弯矩图
x
FQ 0 ＝0
FQ l ＝ql
ql / 2M 0＝0 M l/2 ＝ql 2 / 8 M l ＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 8
x
由剪力图、弯矩图可见，最大剪力
和弯矩分别为
FQ max ＝ql
M max＝ql 2 / 2
25
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
FN1 FN2 F2 F2
10
Fx 0
FN 2 F2 F1 0
FN 2 F1 F2 10kN
F1
F3
+ _
10
Fx 0
FN 3 F1 F2 F3 0
FN 3 F1 F2 F3 25kN
剪力和弯矩都可表示为x的函数， FQ = FQ (x) ，M = M (x)。 称为梁的剪力方程和弯矩方程。 一般，剪力方程和弯矩方程是x的分段函数，集中力、集 中力偶、分布力的起点和终点为函数分段点。
剪力、弯矩图：表示剪力、弯矩沿轴线的变化规律的图形。 FQ = FQ (x) ，M = M (x)
压力向下画，最后归零。
例6-2 已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN；试画出图示
杆件的轴力图。
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D
解：取基线平行于杆的中心线
F1
10 kN
3 F4 （1）从杆的左端开始作图 + （2）从杆的右端开始作图 （3）若要求1-1、2-2、3-3截面上的
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
Fy 0 FQ ( x) ( FQ ( x) dFQ ( x)) q( x)dx 0
M C (F ) 0 dx M ( x) dM ( x) M ( x) FQ ( x)dx q( x)dx 0 2
dM ( x) FQ ( x) dx dx d 2 M ( x) dFQ ( x) 载荷集度、剪力和弯矩关系： q ( x) 2 dx dx
和作轴力图完全一致的方法作扭矩图。
例6-3 齿轮轴受载如图，作轴的扭矩图。
解：（1）将力偶用矢量表示 （2）根据作图口诀作图 Me1 Me2 MX
+ _
Me3
Me4
从左端开始作图 从右端开始作图
例6-4
(1)计算外力偶矩 解: 由公式
第四节 梁弯曲时的内力及内力图
一、实例
起重机大梁
火车轮轴
以弯曲为主要
F
FN
F
F
+
x
取x轴平行于杆件轴线（基线），一般，正的轴 力画在基线的上侧。
例6-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;
A F1 F1 F1
FN kN
试画出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D 解：1、计算各段的轴力。 1 F2 2
F3 3
F4 AB段 Fx 0 BC段 FN3 CD段
外伸梁
火车轮轴简化
悬臂梁
车削工件简化
五、梁的内力--剪力和弯矩
M FN FAy M FQ
F
x
y
0
FN 0
Q Ay
F 0 F F M (F ) 0 M F
C
F1
x F1 ( x a)
Ay
FN
FQ 剪力FQ ，和横截面相切。
FBy
弯矩M ，纵向对称面内的力偶。
剪力和弯矩的符号 剪力FQ ：
+
_
截面上的剪力对梁段内任意一点的矩为顺时针转向时，剪 力为正；反之为负。对梁段内任意一点的矩为顺时针转向的外
力，引起正的剪力。记忆口诀：顺转剪力正。
弯矩：
+
_
截面上的弯矩使得梁段呈上凹为正；反之为负。使得 梁段上弯的力或力偶引起正的弯矩。记忆口诀：上弯弯 矩正。
例6-6 求图示简支梁E 截面的内力。 解： 确定反力 1. M A 0 FBy 3a Fa 2F a 0
x 3.求特殊点内力值，画剪力、弯矩图。
试写出剪力和弯矩 例6-10 图示简支梁C点受集中力偶作用。 方程，并画出剪力图和弯矩图。
a
M
b
解：1．求约束反力 x2 B
FBy
FBY
A
FAY
x1
M /l
C
l
M ＝0， F
A
y
0
FAy＝M / l FBy＝ -M/ /l l M 2．写出剪力和弯矩方程
Ma / l
AC：
FQ x1 ＝M / l
M x1 ＝Mx1 / l
0 x1 a
Mb / l
CB：
0 x1 a FQ x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
M b） Mb / l （
+ _
10 kN 25 kN
内力，先作出轴力图，由图可知： FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN
10 kN
+
+ _
10 kN
（4）若要求轴力的最大值，由图可知： FNmax=25kN。
第三节
一、实例
圆轴扭转时的内力及内力图
汽车传动轴
汽车方向盘轴
以扭转为主要变 形的杆件称为轴
丝锥攻丝
第六章
杆件的内力和内力图
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图 第二节 圆轴扭转时的内力及内力图 第三节 梁弯曲时的内力及内力图
本章重点 杆件拉伸或压缩、扭转、弯曲时 横截面上内力的计算和内力图的绘
制。
第一节 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力和内力图
一、实例
A
B C F
以拉、压为主要变形的构件称为杆
代: 将抛掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出内力
即轴力的值
Fx 0
FN F 0
FN F
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
F
F
Fx 0
FN F
FN F 0
FN F
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆 件的轴线重合。所以称为轴力。
Fy 0
FA FB F 4ql 0
FB 3ql
（2）求C截面上的剪力和弯矩。
FQC FB 2ql ql M C FB 2l q 2l 2 4ql 2
六、剪力和弯矩方程，剪力、弯矩图
x 4l x
以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上
二、扭转轴的受力和变形特点：
外力偶作用在垂直于轴轴线的平面内,使轴的横截面
绕轴线产生转动，圆轴表面的直线母线变形后变为螺旋线。
三、外力偶矩的计算
1.直接计算
2.已知电机输出功率为P（kW），转速为 n（转/分钟） P P Me M e 9550 N m n
四、扭矩和扭矩图 m 1.扭矩Mx：轴横截面上的内力 m 2. 用截面法求扭矩 截: 假想沿m-m横截面将杆切开
dFQ ( x) q( x)
5
梁段受常见载荷作用时的剪力、弯矩图
FQ
C处不变
·
x
d 2 M ( x) dFQ ( x) q ( x) 2 dx dx
根据微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
F 1、根据任一截面上的剪力和截面一侧外力之间的关系： Qm Fi
i 1
j
以及剪力和载荷集度之间的微分关系
M E 2F
a 5F 3a 3aF 2 3 2 2
FAy
F FQE FAy 2F 3 a 5F 3a 3aF FByM E 2 F 2 3 2 2
j
结论:任一截面上的剪力等于截面一侧所有的外力的代数和,
FQm Fi
i1
引起正的剪力的外力取正。
取: 取m-m截面以左段或以右段
代: 将去掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
扭矩正负规定 右手螺旋法则
M x - Me 0
M x Me
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之负(-).
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶,外力偶和轴向外力对应,扭矩和轴力对应,可用
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
在截面附近取微段
F
F FN F F FN F FN FN FN F F FN
F
FN
FN FN _ FN +
F
注意
为使从平衡方程中求得的内力的 符号和规定的内力正负号一致，可将 内力一律设为正。无论哪种基本变
形，都这样处理。
F
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线的变化规律的图形。
变形的杆称为梁
0
车削工件
二、平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线