模糊数学和其应用2

P
P
0
1
1
0
P
Q
P Q P Q
P→Q
P↔Q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
当5个连接词连续使用时，其优先连接次序如下：
、、、→、↔
利用上表，容易验证二值逻辑具有下列性质：
1、 幂等律 2、交换律 3、结合律
P P=P，P P=P，P→P=1，P↔P=1 P Q=Q P，P Q=Q P，P↔Q=Q↔P （P Q）R=P （Q R），
至少有一个为真时，P Q才为真。即 P Q = max（P，Q）
P，读作非P，表示P的否定，即“GIS不是空间信息系 统”。当且仅当P假时，P 才为真。即
P = 1-P
P→Q，读作P蕴涵Q，表示若P则Q，即“若GIS是空间信 息系统则坐标是空间信息”。当P、Q两个命题都真时， P→Q才为真；当P真而Q假时，P→Q为假；当P假时，不论Q 是真还是假，P→Q都为真。即
2 , , n 1
n2, n 1
n 1 n 1
（3-2-1）
作为命题的真假值域，这样一个命题就可有多个取值。象这
样可在 Tn 中取多个值的命题称为多值逻辑。
由（3-2-1）式知，当n=2时，有
Tn
2
0
1
,
2
1
1
{0,
1}
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
当n=3时，有
Tn
3
（P Q） R=P （Q R）
（P↔Q）↔R=P↔（Q↔R）
4、分配律
P（Q R）=（P Q）（P R）
P（Q R）=（PQ）（P R）
P→（Q→R）=（P→Q）→（P→R）
5、德•摩根律 （P Q）=P Q，（P Q）=P Q
6、双重否定律 P=P
7、两极律 8、补余律
P1=1，P 0=P，P 1=P，P 0=0 PP=1，P P=0
3 8
和Q=
7，
8
P =1- 3 = 5
88
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
P Q =
min 3 , 7 3 8 8 8
P Q = max 3 , 7 7 8 8 8
P→Q = min（1，1+Q-P）=
min 1, 1 7 3 1
8 8
P↔Q = 1- P Q = 1- 3 7 4
P Q，读作P与Q，表示P、Q的合取，即“GIS是空间信
息系统并且坐标是空间信息”。当且仅当P、Q两个命题都
2020/7真/15时，P Q才为真。即
P Q = min（P，Q） 2
第三讲 模糊逻辑与模糊推理
P Q，读作P或Q，表示P、Q的析取，即“GIS是空间
信息系统或者坐标是空间信息”。当且仅当P、Q两个命题中
P
Q
P
Q
P Q P Q
P→Q
P↔Q
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1/2
0
1/2
1/2
1
1/2
1/2
1
0
0
1
0
1
0
0
1/2
1
1/2
0
1/2
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1
1/2
0
1/2
1
0
1/2
1/2
1/2
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1/2
1
1/2
0
1/2
1
1/2
0
0
1
1
0
0
1
1
根据此表，我们不难得到（P→Q）→Q、P P以及P P 的真假值，见下表。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
模糊逻辑是无限值逻辑的推广。模糊逻辑不仅将二值逻辑 的真假值域从{0，1}扩充到闭区间[0，1]，而且还在无限值 逻辑中插入了模糊集和模糊关系。模糊逻辑将清晰明确的命 题推广到亦此亦彼的模糊命题。
设A为论域U的模糊子集，“a属于A”就是模糊命题。这 个命题的值可定义为A的隶属函数在a上的值。于是，模糊 命题“a属于A”的值不再是非0即1，而是闭区间[0，1]上的 任何一个值。该值也不象无限值逻辑那样表示模糊命题“a 属于A”是真还是假，而是表示模糊命题“a属于A”是真的程 度。例如，设武汉属于大城市的隶属度为0.78，则模糊命题 “武汉是大城市”的真假值是0.78。
6、对不起。
1——4句都能明确判断其真或假，但第5句和第6句却无法判断其真或假。
所以1——4句是命题，而第5句和第6句不是命题。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
真假值域：
命题的真假值的取值范围称为真假值域。如果命题正确，
则命题的值为真，用1表示；如果命题不正确，则命题的值 为假，用0表示。所以二值逻辑的真假值域是{0，1}。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
P
Q
P
P→Q
（P→Q）→Q
P P
P P
1
1
0
1
1
0
1
1
1/2
0
1/2
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1/2
1
1/2
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1/2
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
0
1
1
1
1
0
1
0
1/2
1
1
1/2
0
1
0
0
1
1
0
0
1
由以上两表可以看出，P Q的值与（P→Q）→Q的值是 相等的，即P Q=（P→Q）→Q。于是可以说P Q与
量词：对于论域中的个体作出量的规定的词，称
为量词。“论域中所有个体”为全称量词，表示
“全部”，即“所有的”，用符号“ ”表示；
“论域中有些个体” 为存在量词，表示部分，即
“存在”或“有些”，用符号“ ”表示。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
二、三值逻辑
19世纪末和20世纪初，人们对二值逻辑中的命题要么为
（P→Q）→Q是等价的。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
三、多值逻辑
二值逻辑是用0和1两个值来表示命题的真或假。三值逻辑则
是将区间[0，1]二等分，并在中间增加一个值1/2来表示命题
的不确定性。如果我们将区间[0，1]分成n-1等分（ n 3 ），
并用
Tn
n
0
1
,
1, n 1
第三讲 模糊逻辑与模糊推理
模糊逻辑和模糊推理是按模糊集合论的框架对人类推理作定量研究 的一门学科。明确而系统地提出模糊逻辑的是美国的L. A. Zadeh。1971 年，L. A. Zadeh引入定量的模糊语义的概念，将一个语言词解释为一个 论域上的模糊集，而词的逻辑组合用模糊集的运算来表示。不论是从
真，要么为假的原则不断地提出质疑。因为要准确表示未来
事件这类命题的真假值是十分困难的。例如，“明年武汉市
还要在长江上修两座大桥”。这一命题表示未来事件。而未
来事件既不为真，也不为假，即未来事件的真假值是不确定
的，只有等事件发生后才知道它的真假值。于是，二值逻辑
就难以描述这类事件的真假。既然二值逻辑不能描述未来事
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
只需注意在模糊逻辑的情况下，命题的真假值不再局限于真或假 （1或0），而是可取[0，1]中的任何值，则容易验证二值逻辑中的8条重 要性质，除第8条补余律外，其余7条全部成立。补余律对模糊逻辑失效， 意味着一个命题和它的否命题的析取不一定是恒真的命题，它们的合取 也不一定是恒真的命题。因为模糊逻辑背离补余律，美国加州大学圣地 亚哥分校的Elkan(Elkan C. 1994)[67] 于1993年7月在美国第11届人工智能 年会上所作的题为《模糊逻辑似是而非的成功》初引起了一场轩然大波 （王国俊.1998）[68]。Elkan认为模糊逻辑只能是二值逻辑。吴望名教授 在文献[69]中进行了深入的研究，澄清了Elkan的错误观点（吴望名. 1995） [69]。在现实生活中，两个对立的描述统一在同一个事物上是累见不鲜的。 例如，相对全国的城市而言，我们说深圳市大，又不算大；说它不大， 又还算大。背离补余律，正是模糊逻辑区别于传统的二值逻辑的一大特 点。就是由于这个特点，才使得模糊逻辑更接近人类思维使用的逻辑。
理论研究还是从实际应用来看，模糊逻辑都是模糊数学最重要的组成
部分，在模糊信息处理中占据中心位置。
一、二值逻辑的基本知识
命题：可以明确判断其真、假的陈述语句称为命题。例如，下列陈述 句：
1、地球绕太阳公转；
2、天安门在北京；
3、GPS坐标采用WPS84坐标系；
4、STOP卫星的影像分辨率是1m；
5、谢谢你；
3、命题的条件和结论缀有模糊量词
若在条件和（或）结论中带有诸如很大、很好、漂亮、能力强这样一
些模糊量词时，二值逻辑将无法处理。例如，若某城市的交通很拥挤， 则这个城市是大城市。条件中的很拥挤和结论中的大城市，都是模糊量 词，而二值逻辑中只有全称量词和存在量词，所以二值逻辑无法处理这 个命题。
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当n → 时，区间[0，1]就被所有实数充满。此时命题的
真假值域就变为整个[0，1]区间，即 T [0, 1] 。象这样命 题的真假值域为整个[0，1]区间的多值逻辑称为无限值逻辑。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
四、模糊逻辑
1、一般概念
二值逻辑中的一个命题，其值要么为真（取值1），要么为 假（取值0），二者必居其一。多值逻辑虽然突破了二值逻辑 的这个限制，承认真假值具有中介过渡性，但它是通过穷举 且界限十分明显地来表示这种中介过渡性。在现实生活中， 有许多命题并非都是可以穷举且界限十分明显的。例如， “这里是城市的中心”，“这里是城乡结合部”等等，这个 “中心”和“城乡结合部”都是界限不明显的。因此，传统 的二值逻辑和多值逻辑就显得无能为力。而采用模糊逻辑则 很容易解决这样的问题。
同时，亦此亦彼也正是辩证法的充分体现。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
下面是二值逻辑难以凑效，而只能用模糊逻辑才能处理的几种情况。
1、命题的条件、结论甚至命题本身是模糊的，例如，若这幅图的精度高， 则这幅图的质量好。精度高和质量好都是模糊的，故命题本身是模糊的。
若数字城市的三维效果好，则软件系统是张三研发的。结论是二值逻 辑，但条件是模糊的。
件的真假，人们就设想在二值逻辑的0和1之间增加一个表示 不确定性的值 1 来解决这个问题。在二值逻辑的0和1之间增
2
加一个表示不确定性的值后，命题的真假值域就由原来的二
2020值/7/1{50，1}变为三值{0，12 ，1}，这样就形成了三值逻辑。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
在三值逻辑中，对于命题P和Q，由连接词“与”
P→Q = min（1，1+Q-P）
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
P↔Q，读作P等价Q，表示P真当且仅当Q真，即“GIS是 空间信息系统当且仅当坐标是空间信息”。当P、Q两个命题 都真或都假时，P↔Q为真；否则P↔Q是假命题。
P↔Q = 1- P Q
一个复合命题的真假值是由构成它的若干原始命题的真假 值所决定的。下表给出了复合命题的真假值。
若遥感图像是来自气象卫星的，则分辨率是低的（可信度0.8）。条件 是二值逻辑，但结论是模糊的。
2、事实和规则的条件只是近似吻合时的推理
这类问题在专家系统中特别突出。因为任何一个专家系统都不可能囊
括所有规则，更不可能考虑与规则近似的特殊规则。例如，若山峰高程 为8813m，则该峰是朱峰。现已知某山峰的高程为8812m，问如何做出结 论，即该山峰是什么峰？这样的问题就是模糊逻辑所要解决的重要问题。
（ ）、“或”（ ）、“非”（）、“蕴涵” （→）和“等价”（↔）所构成的复合命题与二值 逻辑中复合命题的定义完全相同，所不同的仅仅是 命题P和Q及其复合命题的真假值域由原来的二值 {0，1}变为1三值{0， ，1}。于是复合命题的真假 值可由下表2给出。
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
0
1
,
1, 31
3
2
1
0,
1, 2
1
当n=9时，有
Tn
9
0
1
,
1, 9 1
2, 9 1
3, 9 1
4, 9 1
5, 9 1
6, 9 1
7, Hale Waihona Puke Baidu 1
8 9 1
0,
1, 8
2, 8
3, 8
1, 2
5, 8
6, 8
7, 8
1
在n=9时，若命题P和命题Q的值分别为P= 则P和Q的复合命题的值为
连接词：
连接原始命题以构成复合命题的词称为连接词。基本的连
接词有5个。它们是：“与”，用符号表示 ；“或”，用
符号
表示；“非”，用符号表示；“蕴涵”，用符号→表
示；“等价”，用符号↔表示。例如，设命题P表示“GIS
是空间信息系统”，命题Q表示“坐标是空间信息”。则利
用这5个连接词可以构成下列复合命题：
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第三讲 模糊逻辑与模糊推理
命题函数：假定在命题中出现的个体是可取为论 域中任意元素的变量。用符号x表示。于是“x属于A” 可写为P（x） 。由于包含变量，所以 P（x）的真假 值是不定的。因此，P（x）就不是命题，而是一种 函数。当以论域中的个体取代变量x时，就得到能明 确判断其真假的命题，于是称P（x）为命题函数。