2021届福建省厦门一中高三上学期返校考理科数学试题
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（1）证明:平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
21．已知焦点在x轴上的椭圆E经过点 ，且焦距为 .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线 与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于点M，若 ，求m的值.
22．已知函数 ， .
（1）设函数 ，试讨论函数 零点的个数；
18．已知数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ,且 ,求实数 的最大值.
19．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 与月份代码 之间的关系.求 关于 的线性回归方程，并预测 公司2021年5月份（即 时）的市场占有率；
6．求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
A． B． C． D．2 －1
7．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为： .弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式： 圆面积 矢 .球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000 ，建筑容积约为340000 ，估计体育馆建筑高度(单位： )所在区间为（ ）
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程为 ，其中 ）
20．已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， 为 的中点， .
2019届福建省厦门一中高三上学期返校考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合， 若全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 是虚数单位，若复数 （ ）是纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
A． B．
C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD．
11．设函数 与函数 的图像在区间 上交点的横坐标依次为 ，则 （）
A．4B．2C．0D．6
12．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 展开式的 的系数是________.
14．函数 在区间 上单调递减，在区间 上有零点，则 的取值范围是________.
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．已知向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1B．2C． D．3
5．如图， 和 都是圆内接正三角形，且 ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 表示事件“豆子落在 内”， 表示事件“豆子落在 内”，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意可得 ，即 ．
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角 弦的 次分式齐次式，分子分母同时除以 ，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角 的二次整式，然后除以 化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以 可以实现弦化切．
参考数据: ， ， ，
， .
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的左、右顶点分别为A、B，点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交QF于点M，且 ，则双曲线C的离心率为（）
A． B．2C．3D．
10．已知等差数列 满足： ， ，公差 ，则数列 的前 项和 的最大值为
解： ，由纯虚数的定义可得： .
本题选择D选项.
3．A
【解析】
由cos 2 =0得2 =kπ+ ，即 = + ，k∈Z，
则“ ”是“cos 2 =0”的充分不必要条件，
故选：A．
4．A
【分析】
由 ，转化为 ，结合数量积的坐标运算得出 ，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以 ，利用弦化切的思想求解．
（2）若 ， ，求证：
参考答案
1．B
【解析】
分析：根据对数函数的性质，求解 ，即 ，再根据集合补集的运算，即可求解.
详解：由集合 ，即 ，
又因为 ，所以 ，故选B.
点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合 ，得到集合 ，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．D
【解析】
5．D
【解析】
如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等， 包含 个小三角形，同时又在 内的小三角形共有 个，所以 ，故选D.
6．C
【分析】
原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
15．已知函数 的图像与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为 ，则 ________.
16．如图，在棱长为 的正四面体 中，动点 在侧面 内， 底面 ，垂足为 ，若 ，则 长度的最小值为________.
三、解答题
17．在 中, 为 上的点, 为 上的点,且 .
（1）求 的长;
（2）若 ,求 的余弦值.
(Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.
（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
21．已知焦点在x轴上的椭圆E经过点 ，且焦距为 .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线 与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于点M，若 ，求m的值.
22．已知函数 ， .
（1）设函数 ，试讨论函数 零点的个数；
18．已知数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ,且 ,求实数 的最大值.
19．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 与月份代码 之间的关系.求 关于 的线性回归方程，并预测 公司2021年5月份（即 时）的市场占有率；
6．求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
A． B． C． D．2 －1
7．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为： .弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式： 圆面积 矢 .球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000 ，建筑容积约为340000 ，估计体育馆建筑高度(单位： )所在区间为（ ）
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程为 ，其中 ）
20．已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， 为 的中点， .
2019届福建省厦门一中高三上学期返校考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合， 若全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 是虚数单位，若复数 （ ）是纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
A． B．
C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD．
11．设函数 与函数 的图像在区间 上交点的横坐标依次为 ，则 （）
A．4B．2C．0D．6
12．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 展开式的 的系数是________.
14．函数 在区间 上单调递减，在区间 上有零点，则 的取值范围是________.
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．已知向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1B．2C． D．3
5．如图， 和 都是圆内接正三角形，且 ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 表示事件“豆子落在 内”， 表示事件“豆子落在 内”，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意可得 ，即 ．
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角 弦的 次分式齐次式，分子分母同时除以 ，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角 的二次整式，然后除以 化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以 可以实现弦化切．
参考数据: ， ， ，
， .
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的左、右顶点分别为A、B，点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交QF于点M，且 ，则双曲线C的离心率为（）
A． B．2C．3D．
10．已知等差数列 满足： ， ，公差 ，则数列 的前 项和 的最大值为
解： ，由纯虚数的定义可得： .
本题选择D选项.
3．A
【解析】
由cos 2 =0得2 =kπ+ ，即 = + ，k∈Z，
则“ ”是“cos 2 =0”的充分不必要条件，
故选：A．
4．A
【分析】
由 ，转化为 ，结合数量积的坐标运算得出 ，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以 ，利用弦化切的思想求解．
（2）若 ， ，求证：
参考答案
1．B
【解析】
分析：根据对数函数的性质，求解 ，即 ，再根据集合补集的运算，即可求解.
详解：由集合 ，即 ，
又因为 ，所以 ，故选B.
点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合 ，得到集合 ，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．D
【解析】
5．D
【解析】
如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等， 包含 个小三角形，同时又在 内的小三角形共有 个，所以 ，故选D.
6．C
【分析】
原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
15．已知函数 的图像与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为 ，则 ________.
16．如图，在棱长为 的正四面体 中，动点 在侧面 内， 底面 ，垂足为 ，若 ，则 长度的最小值为________.
三、解答题
17．在 中, 为 上的点, 为 上的点,且 .
（1）求 的长;
（2）若 ,求 的余弦值.
(Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.