概率论第3章边缘分布

xx1211 )12)
t
2
1
2
1
( x1)2
1e e 212
( x1)2 212
1 2
1
2
e ( ) dy
1 2(12 )
y2 2
x1 1
2
X ~ N (1,12 )
同理可证
Y
~
N
(2
,
2 2
)
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
8/9
f (x,y)
边缘密度
fX (x)
是正态曲线
第三章 多维随机变量及其分布
2 )
(y
2 )2
2 2
]}
则称 (X ,服Y )从参数为
(1
,
2
,
12
,
2 2
,
)
的二维正态分布
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2,12
,
2 2
,
)
其中各参数满足
1 , 2 ,1 0,2 0,| | 1
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
7/9
若
(X,Y) ~
N
(
1,
2,
12
,
Y X1
2
3
4 p• j 4 pij i 1
1 1/ 4 1/ 8 1/12 1/16 25 / 48
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13/ 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
00
pi• 4 pij j 1
1 4
1 4
故边缘分布律为
0 1/16 3/ห้องสมุดไป่ตู้48
1
1
4
4
X1 2 3 4 Y 1
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
§2 边缘分布
5/9
设 (X ,Y )的联合密度为
f
(x,
y)
6, 0,
x2 y
其它
x
求边缘密度 fX (x), fY ( y)
(如图)
fX
(x)
f
(x,
y)dy
y
1
y x2 yx
x
x26dy
0,
,0 x 1
其它
故 r.v的X密度函数为
x
f
(u,
y)dydu
fX
(x)
f
(x,
y)dy
( x )
同理 Y的分布函数为
Y的密度函数为
称 fX (为x) 称 fY (为y)
FY
( y)
y
f
(x, v)dxdv
fY
( y)
f
(x,
y)dx
( y )
(关X ,于Y ) 的 X 边缘密度(函数)
2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2三5 /章48多1维3随/ 4机8 变7量/ 4及8 其3分/ 4布8
§2 边缘分布
4/9
设 ( X ,的Y )分布函数和密度函数分别为
F(x, y), f (x, y)
则 r.v的X分布函数为
FX (x) P{X x} P{X x,Y }
设 ( X ,的Y )分布律为
P{X xi ,Y y j} pij (i, j 1, 2,)
则 r.v的X分布律是
P{X xi} P({X pxii} (Si ) 1, 2,)
同理 Y的分布律是 P({X xi} ( {Y y j}) )
P{Y
yj
}
P(
pij
({
Xp
j
i1 j 1
j 1
r.v Y
从 1 ~ X中等可能取值.求 X ,Y的联合分布律及边缘分布律.
值故为X1,的Y~联i P.X由合{X取乘分值法布i,Y为公律1式为j,}2有,X格3P,,{4的YY,而边的j当缘分| X上布X，律i}故i位P({i称于X为联1,i}2边合,3缘1i分, 4 14)分布时(1布律,Y律表的j 取i)
§2 边缘分布
1/9
设 ( X ,Y ) ~ F(x, y), 则
FX (x) P{X x} P{X x,Y }
F (x, )
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F(, y)
r.v的边缘分布完全由它们的联合分布确定
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
2/9
6x(1 x), 0 x 1
0,
其它
y
fY
( y)
f
( x,
y)dx
O
x
1x
y
y
6dx
6(
0,
y y),0 y 1
其它
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
6/9
若 X ,Y的联合密度为
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp{
1
2(1 2 )
[ ( x
1)2 12
2
(x
1)( y 1 2
O
1
2
x
y
x
是否是正态曲线？
固定 x ,截面曲边梯形面积
由 fX(x,,Yy的)d边y 缘分布能否确定联合分布？
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
9/9
设 X ,Y的联合密度为
f
(x,
y)
1
2
exp{
x2
2
y2
}(1
sin
x sin
y)
显然 (X ,不Y )服从正态分布
但
X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1)
联合分布
边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
10/9
令 (X,Y )的联合密度函数为
p( x, y)
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y),
2π
显 然, ( X ,Y ) 不 服 从 正 态 分 布,但 是
pX (x)
1
x2
e2,
2
pY ( y)
1
y2
e2.
2
因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合 分布不一定是二维正态分布.
2 2
,
),
则
X ~ N (1,12 ) ,
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
fX
(x)
f
(x,
y)dy
f
(x, y) [ ( x
122221)112 111ee221((xx122((x112121))y2222e1e)21x21(py1t22{2dt2x22((1)1y11)(222y2)222(2
)2 ]}
xi(}j {1Y, 2,yj)}) )
称数列 {Pp(i为j}1{X(X关x,iY于, Y) 的y j }X)
称数列{p为Pj }{X (X关x,i,Y于Y) 的y j }Y
边缘分布律 边缘分布律
j 1
pij
j 1
第三章 多维随机变量及其分布
§2 边缘分布
3/9
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设