浙教版八年级三角形中几种模型

浙教版八年级三角形中

几种模型

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一、手拉手模型： 1手的判别：

判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2手拉手的定义

两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3手拉手基本结论 ①△ABC ≌△AB'C'(SAS) ②∠BAB'=∠BOB' ③AO 平分∠BOC' 二、例题

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7）

GF ∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）

AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证

明：

（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.

问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立

（2）AE 是否与CD 相等

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分∠AHC

例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H

问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立

（2）AG 是否与CE 相等

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE

例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二

者相交于H.

问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立

（2）AG 是否与CE 相等

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分∠AHE 二、半角模型

1、条件：

.

1802

10=+=γθβα且

2、思路：①截长补短 ②旋转

例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，

求证：①.∠MAN=

45 ②.

AB

C CMN 2=∆

③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.

例2拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN=

45，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， ①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.

例3.在四边形ABCD 中，∠B+∠D=

180，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.

求证：.

21

BAD EAF ∠=∠

练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别

是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=2

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，

若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明.. 练习巩固2：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到

BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明．

练习巩固3：在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且

60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，

分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系． （1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式

_________；此时

Q

L

=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的

猜想并加以证明；

（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示) 练习巩固4：如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。 求证：（1）MN=MB+DN ；

（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）

=

ABCD CMN S 2AB

S MN

； （5）若∠MAB =20°，求∠AMN ； （6）若(

)

∠=ααMAB 0

45，求∠AMN ；

（7）=+222EF EB DF ；

（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）

=

AEF AMN

S 1S

2

。 三、三垂直模型（一线三等角）（K 型） 1、常见的一线三垂直的模型。

例1：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且AE ⊥BF ，垂足为点G ． 求证：AE=BF ．

变式训练：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点

F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。

例2：.如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ．B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF 。 求证：∠ADP=∠EPB ；