【控制工程基础-清华课件】第四章频率特性(打印版)

A(ω ) G ( jω ) = ⎡⎣U (ω )⎤⎦2 + ⎡⎣V (ω )⎤⎦2
φ (ω)
∠G
(
jω
)
=
arctan
⎡V ⎢⎣U
(ω (ω
) )
⎤ ⎥ ⎦
4.1 频率特性概述
频域法是工程上广为采用的系统分析和综 合的间接方法。除了电路与频率特性有着密切关 系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着 密切的关系。
机械受到一定频率作用力时产生强迫振动， 由于内反馈还会引起自激振动。机械振动学中的 共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概 念都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
G(jω) = U (ω)+ jV (ω) U (ω )是 G ( jω ) 的实部，称为实频特性。 V (ω )是 G ( jω ) 的虚部，称为虚频特性。
3
系统频率特性的表示形式(续)
频率特性函数也可以表示成如下形式：
G ( jω ) = A(ω ) ejφ(ω) = G ( jω ) ∠G ( jω )
第四章 控制系统的频率特性
时域瞬态响应法：分析控制系统的直接 方法。
Xi (s)
G(s)
( ) Xo (s) L−1 x o t
优点：直观。 缺点：分析高阶系统非常繁琐。
第四章 控制系统的频率特性
频率响应是时间响应的特例，是控制系统 对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。
φ(ω) = − arctan(ωT ) = ∠G( jω)
G( jω) = G(s) s=jω
=
1 Ts + 1 s= jω
=
1 jωT +1
RC电路网络正弦输入的稳态响应(续)
输入 ui (t) = sin(ωt)
R
ui (t )
C uo (t )
稳态输出 uo (t) = a(ω) sin[ωt + φ(ω)]
线性系统
图4-2 线性系统的正弦稳态响应
频率特性的定义
设系统传递函数为 G(s) 。定义系统 输出信号的稳态响应相对其正弦输入信 号的幅值之比 A(ω) = G( jω) 为系统的 幅频特性。
幅频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在幅值上的增益特 性（衰减或放大）。
频率特性的定义(续)
定义ห้องสมุดไป่ตู้统输出信号的稳态响应相对 其正弦输入信号的相移 φ(ω) = ∠G( jω) 为系统的相频特性。
其中， a(ω) = G( jω)
φ(ω) = ∠G( jω)
G( jω)
= G(s) s= jω
=
1 Ts +1 s= jω
频率特性的物理背景
对于一般线性系统均有类似的性质。当输 入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦 信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号 的频率相同；输出幅值和输出相位按照系统传 递函数的不同随着输入正弦信号频率的变化而 有规律的变化，如下图所示。
频率特性的物理背景
图4-1 电路网络正弦输入的稳态响应
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RC电路网络正弦输入的稳态响应
R
ui (t )
C
uo (t )
已知 ui (t) = sin(ωt) 求稳态时 uo (t) = ?
Ui (s)
=
s2
ω +ω2
,
G(s) = 1 , T = RC Ts +1
Uo (s)
= Ui (s)G(s)
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（φ < 0）或超前（φ > 0）特性。
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频率特性的定义(续)
上述定义的幅频特性 A(ω) = G( jω) 和相频特性 φ(ω) = ∠G( jω) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
当输入为非正弦的周期信号时，其输 入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠 加，其输出为相应的正弦波输出的叠加， 如下图所示。
拉氏变换可看作是一种单边的广义的 傅氏变换，其积分区间是从 0 到 +∞。
函数适合进行拉氏变换的条件比傅氏 变换的条件弱一些，因此适合函数的范围 也宽一些。
大多数机电系统可简单地将拉氏变换
G(s) 中的 s 换成 jω 而直接得到相应的
傅氏变换式。
系统频率特性的表示形式
系统的频率特性函数是一种复变函数， 可以表示成如下形式：
2π −∞
傅氏变换与拉氏变换
傅氏正变换式
∫ X (ω) = +∞x(t)e−jωtdt −∞
拉氏正变换式
∫ X (s) = +∞ x(t)e−st dt 0
傅氏变换与拉氏变换是类似的。
除了积分下限不同外，只要将 s 换 成 jω ，就可将已知的拉氏变换式变成 相应的傅氏变换式。
傅氏变换与拉氏变换(续)
线性系统
图4-3 线性系统周期信号输入的稳态响应
当输入为非周期信号时，可将该非周期 信号看做周期 T→∞的周期信号。
傅里叶正变换式
∫ F[x(t)] = X (ω) = +∞x(t)e−jωtdt −∞
傅里叶反变换式
∫ F −1[ X (ω)] = x(t ) = 1 +∞ X (ω)e jωtdω
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其基本 实验方法
4.2 极坐标图（Nyquist图） 4.3 对数坐标图（Bode图） 4.4 由频率特性曲线求系统传递函数 4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性 * 4.6 对数幅相图（Nichols图） 4.7 控制系统的闭环频响 4.8 机械系统动刚度的概念
=
s2
ω +ω2
⋅1 Ts +1
uo (t) = L−1[Uo (s)]
RC电路网络正弦输入的稳态响应(续)
uo (t)
=
Tω 1+ T 2ω 2
−t
eT
+
a(ω)sin [ωt
+ φ(ω)]
稳态时，lim t→∞
uo
(t
)
=
a(ω
)
sin
[ωt
+
φ
(ω
)]
其中， a(ω) = 1
= G( jω)
(ωT )2 +1
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
第四章 控制系统的频率特性
频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可 以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环 系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征 根。 系统的频域指标和时域指标之间存在着对 应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲 线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十 分方便、直观。