【控制工程基础-清华课件】第四章频率特性(打印版)
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第四章 控制系统的频率特性PPT课件
一·乃氏图的一般作图法
1·写出 G ( j w ) 和G( jw)表达式； 2·分别求出 w 0 和 w时的 G ( j w ) ；
3·求乃氏图与实轴的交点，交点可利用 ImG(jw)0或 G(jw)n180o
的关系式求出；
4·求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用 ReG(jw)0或 G(jw)n90o
K;
(T 1s1 )(T 2s1 )
K ,T 1,T 20
试概略绘制系统开环幅相曲线。
解：由于惯性环节的角度变化为 ～-900，故该系统开环幅
相曲线中
起点为：
终点为：
系统开环频率特性
A (0)K,
(0)00
A ( ) 0 , ( )2 ( 90) 0 10 80
G (j)K [1 (1 T 1 T T 12 2 2 2) 1 (j (T T 1 22 T 22 ))]
即多环节传递函数的幅频特性是各环节模的乘积，相频特性是各环节 相位角之和。
7
自动控制原理
§4-2频率响应的极 频率响应G(jw)是输入频率w的复变函数，是一种变换，当w从0逐渐增长至
时，G(jw)作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响
应的极坐标图，亦叫坐做乃标氏图图（（Nyq乃uist氏曲线图） ）
传递函数G(s)
S=jw
频率特性G(jw)
注：系统频率特性分析法是一种用“稳态”的方法（即输出稳态时 的正弦信号，不考虑过度过程）来分析系统的动态特性（稳，准， 快）
5
自动控制原理
二·频率特性的一些概念
G (jw ) U (w )jV (w )
幅频特性 A (w ) G (jw )[U (w )]2 [V (w )]2
(jw K)(j(wjw1T11)1()j(wjw2T21).1..)...
1·写出 G ( j w ) 和G( jw)表达式； 2·分别求出 w 0 和 w时的 G ( j w ) ；
3·求乃氏图与实轴的交点，交点可利用 ImG(jw)0或 G(jw)n180o
的关系式求出；
4·求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用 ReG(jw)0或 G(jw)n90o
K;
(T 1s1 )(T 2s1 )
K ,T 1,T 20
试概略绘制系统开环幅相曲线。
解：由于惯性环节的角度变化为 ～-900，故该系统开环幅
相曲线中
起点为：
终点为：
系统开环频率特性
A (0)K,
(0)00
A ( ) 0 , ( )2 ( 90) 0 10 80
G (j)K [1 (1 T 1 T T 12 2 2 2) 1 (j (T T 1 22 T 22 ))]
即多环节传递函数的幅频特性是各环节模的乘积，相频特性是各环节 相位角之和。
7
自动控制原理
§4-2频率响应的极 频率响应G(jw)是输入频率w的复变函数，是一种变换，当w从0逐渐增长至
时，G(jw)作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响
应的极坐标图，亦叫坐做乃标氏图图（（Nyq乃uist氏曲线图） ）
传递函数G(s)
S=jw
频率特性G(jw)
注：系统频率特性分析法是一种用“稳态”的方法（即输出稳态时 的正弦信号，不考虑过度过程）来分析系统的动态特性（稳，准， 快）
5
自动控制原理
二·频率特性的一些概念
G (jw ) U (w )jV (w )
幅频特性 A (w ) G (jw )[U (w )]2 [V (w )]2
(jw K)(j(wjw1T11)1()j(wjw2T21).1..)...
控制工程基础课件第4章
(t 0)
当 t 时，对稳定的系统而言，上式中的
于零。因此
css (t) c(t) ae jt ae jt
t
用部分分式法求得
es1t ，es2t ，∙∙∙，esnt 均趋近
a
G(s)
R0 s2 2
(s
j)
s j
R0G( j)
2j
a
G(s)
R0 s2 2
(s
j)
s j
R0G( j)
2j
位为rad，若化为º则为
G( j) 180 T 57.3T
π
延时环节频率特性的幅值为1，
相位57与.3T 成线性关系，故延时环节
的 Nyquist 曲线为一单位圆点。
延时环节频率特性
4.2 频率特性图形表示法
17
4.2.1 Nyquist图
例4-2 某系统的传递函数为 G(s) e s ，试绘制其 Nyquist 图。 1 Ts
4.2 频率特性图形表示法
9
前言
在相应的坐标系中将频率特性绘成曲线，可直观地看出幅值比与相位 差随频率变化的情况。
以图形来描述系统的频率特性，通常采用以下两种形式： 1) Nyquist图 2) Bode图 本节主要介绍基本环节频率特性、开环频率特性的绘制、最小相位系 统的概念及重要特性。
4.2 频率特性图形表示法
解
G( j) e j 1 jT
G( j) e j 1
1
1 jT 1 (T)2
G( j) e j 1 57.3 arctanT 1 jT
e j 1 57.3 arctanT 1 jT
0，G( j) 1，G( j) 0 ，G( j) 0，G( j)
清华大学《控制工程基础》课件-4
则系统闭环传递函数为假设得到的闭环传递函数三阶特征多项式可分解为令对应项系数相等，有二、高阶系统累试法对于固有传递函数是高于二阶的高阶系统，PID校正不可能作到全部闭环极点的任意配置。
但可以控制部分极点，以达到系统预期的性能指标。
根据相位裕量的定义，有则有则由式可独立地解出比例增益，而后一式包含两个未知参数和，不是唯一解。
通常由稳态误差要求，通过开环放大倍数，先确定积分增益，然后计算出微分增益。
同时通过数字仿真，反复试探，最后确定、和三个参数。
设单位反馈的受控对象的传递函数为试设计PID控制器，实现系统剪切频率，相角裕量。
解：由式,得由式,得输入引起的系统误差象函数表达式为令单位加速度输入的稳态误差，利用上式，可得试探法采用试探法，首先仅选择比例校正，使系统闭环后满足稳定性指标。
然后，在此基础上根据稳态误差要求加入适当参数的积分校正。
积分校正的加入往往使系统稳定裕量和快速性下降，此时再加入适当参数的微分校正，保证系统的稳定性和快速性。
以上过程通常需要循环试探几次，方能使系统闭环后达到理想的性能指标。
齐格勒－尼柯尔斯法（Ziegler and Nichols ）对于受控对象比较复杂、数学模型难以建立的情况，在系统的设计和调试过程中，可以考虑借助实验方法，采用齐格勒－尼柯尔斯法对PID调节器进行设计。
用该方法系统实现所谓“四分之一衰减”响应（”quarter-decay”），即设计的调节器使系统闭环阶跃响应相临后一个周期的超调衰减为前一个周期的25%左右。
当开环受控对象阶跃响应没有超调，其响应曲线有如下图的S形状时，采用齐格勒－尼柯尔斯第一法设定PID参数。
对单位阶跃响应曲线上斜率最大的拐点作切线，得参数L 和T，则齐格勒－尼柯尔斯法参数设定如下：(a) 比例控制器：(b) 比例－积分控制器：，(c) 比例－积分－微分控制器：，对于低增益时稳定而高增益时不稳定会产生振荡发散的系统，采用齐格勒－尼柯尔斯第二法(即连续振荡法)设定参数。
控制工程基础第4章 控制系统的频率特性
( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应： 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时， 系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的 频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图
k
0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1） 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10
【控制工程基础-清华课件】第四章频率特性
定义系统输出信号的稳态响应相对 其正弦输入信号的相移 φ(ω) = ∠G( jω) 为系统的相频特性。
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（φ < 0）或超前（φ > 0）特性。
频率特性的定义(续)
上述定义的幅频特性 A(ω) = G( jω) 和相频特性 φ(ω) = ∠G( jω) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
傅里叶反变换式
∫ F −1[ X (ω)] = x(t ) = 1 +∞ X (ω )e jωtdω
2π −∞
傅氏变换与拉氏变换
傅氏正变换式
∫ X (ω) = +∞x(t)e−jωt dt −∞
拉氏正变换式
∫ X (s) = +∞ x(t)e−stdt 0
傅氏变换与拉氏变换是类似的。
除了积分下限不同外，只要将 s 换
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
第四章 控制系统的频率特性
频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可 以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环 系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征 根。 系统的频域指标和时域指标之间存在着对 应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲 线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十 分方便、直观。
频率特性的物理背景
图4-1 电路网络正弦输入的稳态响应
RC电路网络正弦输入的稳态响应
R
ui (t )
C
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（φ < 0）或超前（φ > 0）特性。
频率特性的定义(续)
上述定义的幅频特性 A(ω) = G( jω) 和相频特性 φ(ω) = ∠G( jω) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
傅里叶反变换式
∫ F −1[ X (ω)] = x(t ) = 1 +∞ X (ω )e jωtdω
2π −∞
傅氏变换与拉氏变换
傅氏正变换式
∫ X (ω) = +∞x(t)e−jωt dt −∞
拉氏正变换式
∫ X (s) = +∞ x(t)e−stdt 0
傅氏变换与拉氏变换是类似的。
除了积分下限不同外，只要将 s 换
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
第四章 控制系统的频率特性
频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可 以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环 系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征 根。 系统的频域指标和时域指标之间存在着对 应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲 线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十 分方便、直观。
频率特性的物理背景
图4-1 电路网络正弦输入的稳态响应
RC电路网络正弦输入的稳态响应
R
ui (t )
C
控制工程基础清华大学PPT课件
第38页/共40页
本章作业（p15~16)
1-1， 1-2 选做：1-6
第39页/共40页
感谢您的观看。
第40页/共40页
第33页/共40页
•本课程讲授39学时（包括课堂讨论）， 实验9学时（另限人数开设后续实验课） •本教材主要涉及经典控制理论部分，对 现代控制理论只作简单涉及，现代控制 理论的主要内容将在研究生课程中讲授。 • 作业 • 考试
第34页/共40页
主要教材
董景新、赵长德、熊沈蜀、郭美凤
控制工程基础(第二版)
第20页/共40页
神州五号载人航天成功（中国，2003年）
第21页/共40页
勇 气 号 、 机 遇 号 火 星 探 第22页/共40页 测 器 （ 美 国 ， 2004
“作为技术科学的控制论，对工
程技术、生物和生命现象的研究和经济
科学，以及对社会研究都有深刻的意义，
比起相对论和量子论对社会的作用有过
第9页/共40页
维纳，MIT教授，曾 于1936年到清华大学任 访问教授。早期进行模 拟计算机研究，二战期 间参与火炮控制研究， 提炼出负反馈概念。
1948年，维纳所著 《控制论》的出版，标 志着这门学科的正式诞 生。
第10页/共40页
Hale Waihona Puke 控制论的奠基人 美国科学家维纳 （Wiener,N.， 1894~1964）
第14页/共40页
第一颗人造卫星（苏联，1957年）
第15页/共40页
第一颗载人飞船（苏联，1961年）
第16页/共40页
人类首次登上月球（美国，1969年）
第17页/共40页
首架航天飞机（美 第18页/共40页 国，1981年）
本章作业（p15~16)
1-1， 1-2 选做：1-6
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感谢您的观看。
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•本课程讲授39学时（包括课堂讨论）， 实验9学时（另限人数开设后续实验课） •本教材主要涉及经典控制理论部分，对 现代控制理论只作简单涉及，现代控制 理论的主要内容将在研究生课程中讲授。 • 作业 • 考试
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主要教材
董景新、赵长德、熊沈蜀、郭美凤
控制工程基础(第二版)
第20页/共40页
神州五号载人航天成功（中国，2003年）
第21页/共40页
勇 气 号 、 机 遇 号 火 星 探 第22页/共40页 测 器 （ 美 国 ， 2004
“作为技术科学的控制论，对工
程技术、生物和生命现象的研究和经济
科学，以及对社会研究都有深刻的意义，
比起相对论和量子论对社会的作用有过
第9页/共40页
维纳，MIT教授，曾 于1936年到清华大学任 访问教授。早期进行模 拟计算机研究，二战期 间参与火炮控制研究， 提炼出负反馈概念。
1948年，维纳所著 《控制论》的出版，标 志着这门学科的正式诞 生。
第10页/共40页
Hale Waihona Puke 控制论的奠基人 美国科学家维纳 （Wiener,N.， 1894~1964）
第14页/共40页
第一颗人造卫星（苏联，1957年）
第15页/共40页
第一颗载人飞船（苏联，1961年）
第16页/共40页
人类首次登上月球（美国，1969年）
第17页/共40页
首架航天飞机（美 第18页/共40页 国，1981年）
控制工程基础 第4章 控制系统的频域特性
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 y(t) u(t)
-20
1
2
3
4
5
6
数学本质 例：如图所示的RC电路
i (t) R ui(t)
C u0(t)
G(s) Uo (s) 1 1 1 / T Ui (s) RCs 1 Ts 1 S 1 / T
如：Ui (t) =
ASin t
, 即：Ui (s) =
第四章 控制系统的频率特性
频率特性及其表示法 极坐标图
对数坐标图 由频率特性曲线求传递函数 由单位脉冲响应求传递函数
对数幅相图 控制系统的闭环频率响应
系统常用的数学模型
常微分方程
线性定常系统 传递函数 频率特性
频率特性的特点
时域（分析方法） 复频域（分析方法） 频域（分析方法）
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方 法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来 说，具有重要的实际意义。
1 T 2 2
一般线性定常系统,设输入信号为正弦函数,即:
x(t)=Xsint
式中: X—输入信号的振幅; X(s) —输入信号的角频率。
(4.1)
G(s) Y(s)
其拉氏变换为：
X
X
X ( s ) s2 2 ( s j )( s j )
(4.2)
一般情况下,传递函数可以写成如下形式:
出Ysin(t+),仍是一个正弦信号。其特点是：
①.频率与输入信号相同;
振幅Y和相移都
是输入信号频率的函
②.振幅Y为输入振幅X的 G( j) 倍;数,对于确定的值来
③.相移为 (ω)=∠G(j)。
控制工程基础第四章频率特性分析
20 0 -20 -40 10 -1 0 10 0 10 1
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
控制工程基础(王建平)章 (4)
2
t
eT
Xi sin(t arctanT) 1 T 22
第4章 频率特性分析与系统辨识
上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。随着时间的 推移，即当t→∞时，瞬态分量迅速衰减到零，因而系统的稳 态输出为
uos (t)
X i sin(t arctanT) 1 T 2 2
(4-4)
如果系统的输入信号为余弦信号，也能得出相似的结果。
G j Xi sint G j
(4-14)
第4章 频率特性分析与系统辨识
根据频率特性的定义，由式(4-14)可直接写出线性系统的 幅频特性和相频特性为
A() Xo () G( j)
Xi
() G( j)
(4-15)
所以系统的频率特性为|G(jω)|e∠G(jω)=G(jω)。所以频率特
第4章 频率特性分析与系统辨识 图4-2 系统的微分方程、传递函数和频率特性之间的关系
第4章 频率特性分析与系统辨识
频率特性是一复变函数，故它可以采用各种复数表示法： G(jω)=|G(jω)|ej∠G(jω)=A(ω)·ejj(ω)
(4-17) 除了用式(4-17)的指数形式描述以外，频率特性G(jω)
［G(jω)］平面实轴上的一个点，其坐标为(K, jω)，如图4-
4所示。它表明比例环节稳态谐波响应的振幅是输入信号的K倍，
第4章 频率特性分析与系统辨识 图4-4 比例环节的Nyquist
第4章 频率特性分析与系统辨识
频率特性的极坐标图，即幅相频率特性曲线图，又称为 Nyquist图（奈奎斯特图），简称奈氏图。显然，频率特性 G(jω)=A(ω)ejj (ω)可以看做是极坐标中的一个矢量，这里 A(ω)表示矢量的长度；j (ω)表示极坐标与矢量间的夹角。 在极坐标系上，令ω由小到大取值，即ω从0→∞变化时，计 算相应的幅值A(ω)和相角j (ω)，并在［G(jω)］平面上逐 点根据A(ω)和j (ω)与ω的关系描点画图，则G(jω)矢量的 终端将会描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率的特性曲线， 频率特性的幅值A(ω)及相位j (ω)与频率ω之间的关系都包 含在这条曲线之中。
《机械控制工程基础》第四章 控制系统的频率特性
解：列写力平衡方程
f(t)
Kx(t) Cx(t) f (t)
其传递函数为：G(s) X (s)
1
1 K
1 K
F(s) Cs K C K s 1 Ts 1
K
X(t)
c
f (t) F sin wt 拉氏变换：
F(s) F w s2 w2
输出位移 X (s) G(s)F(s)
x(t)
F K
( T )w 1 Tw2
(1,j0)
w
U
τ<T
当w=0 A(w)=1 w→∞
(w) 0 A(w)
T
() 0
要画准确的奈氏曲线需计算不同频率下的幅值和相位，或实部 和虚部，得到相应的各点，将各点顺次连接得到奈氏曲线。
若系统传递函数是由多个环节组成，幅频特性曲线其幅值 是各环节幅值的乘积，相角是各环节相位相加。
U (w)
比例环节的特点：不改变曲线的形状，只改变L(w)的大小 。
2.积分环节
G( jw) 1 j 1 jw w
L(w)/dB
20
L(w) 20lg A(w) 20lg 1 20lg w 0.1 w
-20dB/dec
1
(w) arctg V (w) 90
U (w)
φ(w)°
-90°
8.延时环节 传递函数 G(s) eτs
频率特性 G( jw) ejw cosTw j sin Tw
U (w) cosTw
jV
V (w) sinTw
A(w) U 2 (w) V 2 (w) 1
(w) arctg V (w) Tw
U (w)
(1,j0) U
w
例3. 已知系统传递函数为 G(s) s 1 ，试画其奈氏曲线图
控制工程,第四章ppt课件
Ai
2、输出信号与输入信号的相位差也是 的非线
性函，称为系统的相频特性，记为 () 。
3、幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性，
记作：A() () 或 A()ej() 。
故，频率特性定义为 的复变函数，其幅值
为 A() ，相位为 () 。
控制工程基础
二、频率特性的求法
1、利用频率特性的定义来求取：
G(j) T2 2 T
G(j)arctg T
2l0 g G (j )2l0 g T 2 2 2l0 g T
讨论：
第四章 频域分析法
控制工程基础
第四章 频域分析法
当 T 时
2 lG g ( 0 j) 2 lg T 0 2 lg T 0 0 d , B G ( j) 0 0
控制工程基础
G(j) r 0
r n 122
进而求得谐振峰值：
G(jr)
2
1
12
G(jr)arctg122
第四章 频域分析法
Im
1 Re
n
0
n
n
r
控制工程基础
第四章 频域分析法
7、延时环节：
Im
G(s)es
Re 0
G (j)ej co sjsin
幅值特性 ： G( j) 1
相频特性 ： G(j)
控制工程基础
2、对数相频特性图： G(j)
第四章 频域分析法
0 0.010.1 1 10 100 (ra/ds)
三、典型环节的对数坐标图
1、比例环节：G(s)=K
G(j)K
控制工程基础
第四章 频域分析法
2lG 0 g (j) w 2lK 0 g , G (j) w 0 o
2、输出信号与输入信号的相位差也是 的非线
性函，称为系统的相频特性，记为 () 。
3、幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性，
记作：A() () 或 A()ej() 。
故，频率特性定义为 的复变函数，其幅值
为 A() ，相位为 () 。
控制工程基础
二、频率特性的求法
1、利用频率特性的定义来求取：
G(j) T2 2 T
G(j)arctg T
2l0 g G (j )2l0 g T 2 2 2l0 g T
讨论：
第四章 频域分析法
控制工程基础
第四章 频域分析法
当 T 时
2 lG g ( 0 j) 2 lg T 0 2 lg T 0 0 d , B G ( j) 0 0
控制工程基础
G(j) r 0
r n 122
进而求得谐振峰值：
G(jr)
2
1
12
G(jr)arctg122
第四章 频域分析法
Im
1 Re
n
0
n
n
r
控制工程基础
第四章 频域分析法
7、延时环节：
Im
G(s)es
Re 0
G (j)ej co sjsin
幅值特性 ： G( j) 1
相频特性 ： G(j)
控制工程基础
2、对数相频特性图： G(j)
第四章 频域分析法
0 0.010.1 1 10 100 (ra/ds)
三、典型环节的对数坐标图
1、比例环节：G(s)=K
G(j)K
控制工程基础
第四章 频域分析法
2lG 0 g (j) w 2lK 0 g , G (j) w 0 o
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4.1 频率特性概述
频域法是工程上广为采用的系统分析和综 合的间接方法。除了电路与频率特性有着密切关 系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着 密切的关系。
机械受到一定频率作用力时产生强迫振动， 由于内反馈还会引起自激振动。机械振动学中的 共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概 念都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（φ < 0）或超前（φ > 0）特性。
2
频率特性的定义(续)
上述定义的幅频特性 A(ω) = G( jω) 和相频特性 φ(ω) = ∠G( jω) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。
当输入为非正弦的周期信号时，其输 入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠 加，其输出为相应的正弦波输出的叠加， 如下图所示。
=
s2
ω +ω2
⋅1 Ts +1
uo (t) = L−1[Uo (s)]
RC电路网络正弦输入的稳态响应(续)
uo (t)
=
Tω 1+ T 2ω 2
−t
eT
+
a(ω)sin [ωt
+ φ(ω)]
稳态时，lim t→∞
uo
(t
)
=
a(ω
)
sin
[ωt
+
φ
(ω
)]
其中， a(ω) = 1
= G( jω)
(ωT )2 +1
G(jω) = U (ω)+ jV (ω) U (ω )是 G ( jω ) 的实部，称为实频特性。 V (ω )是 G ( jω ) 的虚部，称为虚频特性。
3
系统频率特性的表示形式(续)
频率特性函数也可以表示成如下形式：
G ( jω ) = A(ω ) ejφ(ω) = G ( jω ) ∠G ( jω )
拉氏变换可看作是一种单边的广义的 傅氏变换，其积分区间是从 0 到 +∞。
函数适合进行拉氏变换的条件比傅氏 变换的条件弱一些，因此适合函数的范围 也宽一些。
大多数机电系统可简单地将拉氏变换
G(s) 中的 s 换成 jω 而直接得到相应的
傅氏变换式。
系统频率特性的表示形式
系统的频率特性函数是一种复变函数， 可以表示成如下形式：
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其基本 实验方法
4.2 极坐标图（Nyquist图） 4.3 对数坐标图（Bode图） 4.4 由频率特性曲线求系统传递函数 4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性 * 4.6 对数幅相图（Nichols图） 4.7 控制系统的闭环频响 4.8 机械系统动刚度的概念
A(ω ) G ( jω ) = ⎡⎣U (ω )⎤⎦2 + ⎡⎣V (ω )⎤⎦2
φ (ω)
∠G
(
jω
)
=
arctan
⎡V ⎢⎣U
(ω (ω
) )
⎤ ⎥ ⎦
φ(ω) = − arctan(ωT ) = ∠G( jω)
G( jω) = G(s) s=jω
=
1 Ts + 1 s= jω
=
1 jωT +1
RC电路网络正弦输入的稳态响应(续)
输入 ui (t) = sin(ωt)
R
ui (t )
C uo (t )
稳态输出 uo (t) = a(ω) sin[ωt + φ(ω)]
Hale Waihona Puke 线性系统图4-2 线性系统的正弦稳态响应
频率特性的定义
设系统传递函数为 G(s) 。定义系统 输出信号的稳态响应相对其正弦输入信 号的幅值之比 A(ω) = G( jω) 为系统的 幅频特性。
幅频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在幅值上的增益特 性（衰减或放大）。
频率特性的定义(续)
定义系统输出信号的稳态响应相对 其正弦输入信号的相移 φ(ω) = ∠G( jω) 为系统的相频特性。
其中， a(ω) = G( jω)
φ(ω) = ∠G( jω)
G( jω)
= G(s) s= jω
=
1 Ts +1 s= jω
频率特性的物理背景
对于一般线性系统均有类似的性质。当输 入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦 信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号 的频率相同；输出幅值和输出相位按照系统传 递函数的不同随着输入正弦信号频率的变化而 有规律的变化，如下图所示。
频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。
第四章 控制系统的频率特性
频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可 以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环 系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征 根。 系统的频域指标和时域指标之间存在着对 应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲 线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十 分方便、直观。
频率特性的物理背景
图4-1 电路网络正弦输入的稳态响应
1
RC电路网络正弦输入的稳态响应
R
ui (t )
C
uo (t )
已知 ui (t) = sin(ωt) 求稳态时 uo (t) = ?
Ui (s)
=
s2
ω +ω2
,
G(s) = 1 , T = RC Ts +1
Uo (s)
= Ui (s)G(s)
2π −∞
傅氏变换与拉氏变换
傅氏正变换式
∫ X (ω) = +∞x(t)e−jωtdt −∞
拉氏正变换式
∫ X (s) = +∞ x(t)e−st dt 0
傅氏变换与拉氏变换是类似的。
除了积分下限不同外，只要将 s 换 成 jω ，就可将已知的拉氏变换式变成 相应的傅氏变换式。
傅氏变换与拉氏变换(续)
线性系统
图4-3 线性系统周期信号输入的稳态响应
当输入为非周期信号时，可将该非周期 信号看做周期 T→∞的周期信号。
傅里叶正变换式
∫ F[x(t)] = X (ω) = +∞x(t)e−jωtdt −∞
傅里叶反变换式
∫ F −1[ X (ω)] = x(t ) = 1 +∞ X (ω)e jωtdω
第四章 控制系统的频率特性
时域瞬态响应法：分析控制系统的直接 方法。
Xi (s)
G(s)
( ) Xo (s) L−1 x o t
优点：直观。 缺点：分析高阶系统非常繁琐。
第四章 控制系统的频率特性
频率响应是时间响应的特例，是控制系统 对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。