信号与系统习题答案(7-10)

7.22 信号()y t 由两个均为带限的信号1()x t 和2()x t 卷积而成，即12()()()y t x t x t =* 其中12()0,1000()0,2000X j X j ωωπωωπ=>=>现对()y t 作冲激串采样，以得到()()()p y t y nT t nT δ+∞-∞=-∑请给出()y t 保证能从()p y t 中恢复出来的采样周期T 的范围。

解：根据傅立叶变换性质，可得12()()()Y j X j X j ωωω= 因此，有当1000ωπ>时，()0Y j ω=即()y t 的最高频率为1000π，所以()y t 的奈奎施特率为210002000ππ⨯=，因此最大采样周期3210()2000T s ππ-==，所以当310()T s -<时能保证()y t 从()p y t 中恢复出来。

7.27如图7.27（a ）一采样系统，)(t x 是实信号，且其频谱函数为)(ωj X ，如图7.27（b ）。

频率0ω选为()21021ωωω+=，低通滤波器()ωj H 的截至频率为()1221ωωω-=c 。

1. 画出输出()t x 2的频谱()ωj X 2；2. 确定最大采样周期T ，以使得()t x 可以从()t x p恢复；1()X j ωω10212ωω-122ωω-2()X j ωω10212ωω-122ωω-图7.27（a ）图7.27(b) 解：1、)(t x 经复指数调制后的01()()j tx t x t eω-=，其傅立叶变换为10()(())X j X j ωωω=+ 如图（a ）所示。

图（a ） 图（b ） 经低通滤波器()H j ω的输出2()x t 的频谱2()X j ω如图（b ）所示。

2、由图（b ）可见，2()X j ω的带宽为21ωω- ，所以最大采样周期为 max212T πωω=- 8.3设()x t 是一实值信号，并有()0X j ω=，2000ωπ>，现进行幅度调制以产生信号()()()sin 2000g t x t t π=，图4-1给出一种解调方法，其中()g t 是输入，()y t 是输出，理想低通滤波器截止频率为2000π，通带增益为2，试确定()y t 。

图4-1解：()()()()()1()cos(2000)sin 2000cos(2000)sin 40002w t g t x t t x t t ππππ===对 ()w t 进行傅立叶变换 ()()11()(4000)(4000)44W j X j X j j jωωπωπ=--+ 因为()02000, X j ωωπ=>很明显，()02000, W j ωωπ=≤，所以()w t 通过截止频率为2000π的理想低通滤波器后的输出()0y t =。

9.17解：系统可以看作是由()1H s 和()2H s 的并联构成()12214(2)8s H s s s ==++()21112(1)2s H s s s ==++()()()1223121016s H s H s H s s s +=+=++ ()2()312()1016Y s s H s X s s s +==++ 2()(1016)()(312)Y s s s X s s ++=+求上式反变换，有2()()()1016()12()3d y t dy t dx t y t x t dt dt dt++=+ 9.28考虑一LTI 系统，其系统函数()H s 的零极点图如图9.28所示。

1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域ROC 。

()cos 2000t π(g t ()y tIm 2.对于1中所标定的每个ROC ，给出有关的系统是否是稳定和/或因果的。

图9.28解：1. 可能的收敛域ROC 为： （1）Re{}2s <-（2）2Re{}1s -<<- （3）1Re{}1s -<< （4）Re{}1s >2. （1）Re{}2s <-，不稳定和反因果的。

（2）2Re{}1s -<<-，不稳定和非因果的。

（3）1Re{}1s -<<，稳定和非因果的。

（4）Re{}1s >，不稳定和因果的。

9.31有一连续时间LTI 系统，其输入()t x 和输出()y t 由下列微分方程所关联：22()()2()()d y t dy t y t x t dt dt--= 设()X s 和()Y s 分别是()t x 和()y t 的拉普拉斯变换，()H s 是系统单位冲激响应()h t 的拉普拉斯变换。

1. 求()H s ，画出()H s 的零极点图。

2. 对下列每一种情况求()h t ：（1）系统是稳定的。

（2）系统是因果的。

（3）系统既不稳定又不是因果的。

解：1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换，得)s ()()()()22s Y s sY s Y s X s --= 所以得 ()2()11()2(2)(1)Y s H s X s s s s s ===---+ 其零—极点图如图（a ）所示。

图（a ） 2、()2()111111()2(2)(1)3231Y s H s X s s s s s s s ====----+-+ （1）当系统是稳定时，其收敛域为{}12s -<ℜ<，所以有()211()()33t t h t e u t e u t -=---（2）当系统是稳定时，其收敛域为{}2s ℜ>，所以有()211()()33t t h t e u t e u t -=-（3）当系统是非因果的和不稳定的时，其收敛域为{}1s ℜ<-，所以有()211()()33t t h t e u t e u t -=--+-10.18解：（a ）()121216821139z z H Z z z -----+=-+（此为直接型Ⅱ结构，详见第二章课件分析）由()1212()16821()139Y Z z z H Z X Z z z -----+==-+得121221()(1)()(168)39Y Z z z X Z z z -----+=-+求上式Z 反变换，得21[][1][2][]6[1]8[2]39y n y n y n x n x n x n --+-=--+-（b ）系统有一个二阶极点13z =，由于系统是因果的，所以收敛域为13z >，包括单位圆，故系统是稳定的10.28已知序列[][][]0.956xn n n δδ=--a.求该序列的z 变换()X z 。

b.画出()X z 零极点图。

c.利用考虑极点向量和零点向量沿单位圆横穿一周时的特性，近似画出[]x n 傅里叶变换的模特性。

解： a 、[]xn 的z 变换为6660.95()10.95z X z z z--=-=，||0z > b 、由()X z 可知，在0z = 处有一6阶极点， 其零点为1/63(0.95)k j k z eπ-= ，0,1,25 k =ggg其零—极点图如图（a ）所示图（a ） c 、傅氏变换的幅值近似图如图（b ）所示。

()j X e ωω图（b ）10.34（P583）有一个因果LTI 系统，其差分方程为[][][][]121y n y n y n x n =-+-+-1.求该系统的系统函数，画出()H z 的零极点图，指出收敛域。

2.求系统的单位脉冲响应。

3.判断该系统是不是稳定的？如果是不稳定的，试求一个满足该差分方程的稳定（非因果）单位脉冲响应。

解：1、1、对所给的差分方程两边进行z 变换，得121()()()Y z z Y z z Y z X z ---=++所以得11212()()()1()()Y z z z H z X z z z z z αα---===----，1||2z >其中，11 1.622α+==，210.622α-==-系统函数()H z 的零点为0z = ，极点为1z α= 和2z α= 系统的零极点图如图（a图（a ）2、因为12()()()((22zH z z z αα==-- 所以[]11[][]22nnh n u n u n ⎛⎫⎛⎫+-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭[]x n []y n3、系统是不稳定的，因为系统的收敛域为1||2z >，不包括单位圆。

若要使系11||22z << 此时有[]11[1][]22nnh n u n u n ⎛⎫⎛⎫+-=---⎪⎪⎪⎪⎭⎭10.59一个数字滤波器的结构如图10.59所示a.求这个因果滤波器的()H z ，画出零极点图，并指出收敛域。

b.当k 为何值时，该系统是稳定的。

c.如果1k =且对所有的n ，2[]3nx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定[]y n 。

解：a.由图（1）得[]x n []y n图（1）12()()()Y z W z W z =+111()()()3k W z X z z W z -=-所以111()()3k z W z X z -⎛⎫+= ⎪⎝⎭而121()()4k W z z W z -=-得 11211()()4()()()1133k z X z X z Y z W z W z k k z z ---=+=-++ 111()4()()313k zY z k H z z k X z z ---==->+,（a ） （b ） 图（2）b ．只有3k <时，收敛域才包含单位圆，系统才能是稳定的。

c. 由于2[]3nx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭是LTI 系统的特征函数，所以输出232[]()|3nz y n H z =⎛⎫=• ⎪⎝⎭1k =时，代入得1213112524[]|1312313n nz z y n z -=--⎛⎫⎛⎫=•= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+。