拓扑泛函分析抽象代数
大学数学史考试知识点
大学数学史考试知识点数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。
以下是大学数学史考试中常见的一些知识点：一、古代数学1、古埃及数学古埃及人在数学方面有着重要的贡献。
他们发明了象形数字，并能够进行简单的四则运算。
在几何方面，他们能够计算三角形、矩形和梯形的面积，还知道圆的面积近似计算公式。
古埃及人在建筑和测量中应用了这些数学知识。
2、古巴比伦数学古巴比伦数学使用六十进制，他们的数学成果主要记录在泥板上。
他们能够解一元二次方程，并且有了较完整的乘法表和平方表。
在几何方面，他们能够计算各种图形的面积和体积。
3、古希腊数学古希腊数学是古代数学的巅峰之一。
毕达哥拉斯学派提出了毕达哥拉斯定理（勾股定理），并对整数的性质进行了研究。
欧几里得的《几何原本》是古希腊数学的重要著作，它建立了严密的几何体系，通过公理化方法，从少数几个公理出发，推导出众多的几何定理。
阿基米德在计算几何图形的面积和体积方面有杰出贡献，他还通过穷竭法求出了一些曲线图形的面积和体积。
二、中世纪数学1、印度数学印度数学在中世纪取得了重要进展。
他们发明了十进制数字系统，并将其传播到了阿拉伯地区，最终传遍了全世界。
印度数学家还研究了不定方程和三角学。
2、阿拉伯数学阿拉伯数学家在吸收了古希腊、印度等数学成果的基础上，做出了自己的贡献。
花拉子米的《代数学》是阿拉伯数学的重要著作，书中首次给出了一元二次方程的一般解法。
三、近代数学1、解析几何的创立笛卡尔和费马分别独立地创立了解析几何。
解析几何的出现将代数方法引入几何研究，实现了数与形的结合，为微积分的创立奠定了基础。
2、微积分的创立牛顿和莱布尼茨几乎同时创立了微积分。
微积分的创立是数学史上的一次重大飞跃，它极大地推动了数学和科学的发展。
3、概率论的发展概率论在近代逐渐发展起来。
数学的三次危机——第三次数学危机
三、第三次数学危机数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。
1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。
1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。
他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。
他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。
1968～1969年出版了他的自传。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。
当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。
当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。
狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。
发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。
集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
代数，分析，几何与拓扑，现代数学的三大方法论
代数，分析，⼏何与拓扑，现代数学的三⼤⽅法论很多⼈都听说过“现代数学分成代数、分析、⼏何”三⼤块这种说法。
其实这种说法并不准确。
数学并不是像⽣物学分类那样，按照界门纲⽬科属种那样能够严格地分出不同层次的分界线。
现代数学不同领域的差异当然存在，但是这些领域的边界线则⽝⽛交错，交叉的地⽅并不清晰。
⽽且某个领域使⽤其他领域的⽅法和定理也是很常见的事情。
那么，我们⾸先简单介绍⼀下三⼤⽅法论⼤致是个什么“取向”，给对数学有兴趣的初学者⼀点感觉：代数：以线性代数、抽象代数为基础，研究各种代数结构，⽐如最常见的群环模域线性空间，李代数，以及不那么常见的⾼阶同伦代数（homotopy algebra）等等。
代数的⼀个基本特征是对称性。
⼀般来说，某个数学对象（⽐如说拓扑空间）如果具备某种代数结构（⽐如拓扑空间上⾯有同调群），那我们就可以利⽤这种代数结构的已知结果，来反过来研究、“探测”那个数学对象。
这是代数影响其他数学分⽀的⼀个基本模式。
分析：以⼴义的微积分（⽐如实分析复分析调和分析等等）、微分⽅程理论、泛函分析等为研究⼯具，对函数、⽅程等“可以求导”的东西进⾏精细的分析（⽐如不等式估计等等），的⼀种⽅法论。
分析⼤致可以分为软分析和硬分析。
个⼈的观点是，软分析有点像定性的分析，⽐如泛函分析⾥各种结论，⽐如⼀个函数空间紧嵌⼊到另⼀个函数⾥，不需要知道到底怎么嵌⼊的，就可以依据紧性推导出⼀些结论。
⽽硬分析则有点像定量的分析：每个常数，跟哪些量有关，具体是怎么个相关法（多项式依赖？指数依赖）？这些常数具体是多少，能不能做到最优，最优常数是多少？⽤⼀列东西去逼近⼀个东西，误差项⼤概有多⼤？误差项是什么阶数（多项式（⼏次多项式？）？多项式乘以对数？）？能不能把bound放⼤或者缩⼩，直⾄最优？ etc.⼏何（与拓扑）：主要关注⼏何对象与拓扑对象。
⼏何与拓扑的区别在于，拓扑⽐⼏何更“软”，更flexible，⼏何是在拓扑空间上加额外的结构（度量结构、复结构、⾟结构，或者这种结构的“组合结构”，⽐如Kahler结构，等等）。
数学发展简史
数学发展简史人类进入原始社会，就需要数学了，从早期的结绳记事到学会记数，再到简单的加减乘除，这些都是人类日常生活中所遇到的数学问题。
数学是有等级的，就像自然数的运算是小学生的水平一样，超出了这个范围小学生就不能理解了。
像有未知数的运算小学生就无从下手一样，数学的发生发展也是从低级向高级进化的，人类最早理解的是算数，经过额一段时间的发展算数发展到了方程、函数，一级一级的进化，才发展到了现代的的数学。
人类数学的发展做出较大成就的是古希腊时期，奇怪的是古希腊对数的运算并不突出，反而是要到中学才能学到的几何学在古希腊就奠定了基础，学过几何的人对欧几里得不会陌生，欧几里得是古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。
他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
在古希腊教育中几何学占有相当重要的地位，柏拉图提倡的希腊六艺就包括几何，后来希腊文化衰落了，希腊被入侵，希腊图书馆的藏书被掠夺了，被阿拉伯人保存了。
有这么一个说法，是阿拉伯人对希腊语与拉丁语文献的保留，才让欧洲人得以返过来取经，找回“失落”的希罗文化。
其中包括柏拉图学说和欧几里得几何。
经过了中世纪的黑暗，欧洲找回了古希腊古罗马文化，才有了欧洲的文艺复兴。
在算术上，阿拉伯人对数学的贡献是现在人们最熟悉的1、2、……9、0十个数字，称为阿拉伯数字。
但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要吸收、保存了希腊和印度的数学，并将它传给欧洲。
阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的数学记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。
代数这门学科名称就是由阿拉伯人发明的。
阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，我们数数的时候都是从1开始的，标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。
他们最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。
数学与应用数学专业的主要课程有哪些？
数学与应用数学专业的主要课程有哪些？
我是吉大数学专业的一名同学，学数学学到头秃的那种，接下来给大家介绍一下数学与应用数学的课程。
主干课程有数学分析、高等代数、空间解析几何、实变函数、复变函数、常微分方程、数学物理方程、泛函分析、微分几何、拓扑学、抽象代数。
数学分析、高等代数、空间解析几何这三门课程是在大一上的，是最基础的三门课程，是其他课程的根基，直接点说，就是这三门学不明白，接下来的其他课程将更加学不懂。
其中数学分析内容较多，也较为重要，初学可能较为困难，多用些功夫，就会渐入佳境了。
下图即为我们院所用的数学分析的教材，也是我们学院老师编著的。
大二会学复变函数、常微分方程和抽象代数，复变函数和数学分析的好多知识都是相关联的，如果大一基础打的好，这个时候学复变函数就会事半功倍。
常微分方程是一门很重要的课，应用十分广泛，同时，也需要数学分析中会学到的微积分的知识和高等代数中矩阵的相关知识。
由此可见，学好数学分析和高等代数多么重要。
同时，大一、大二还有C语言和物理这两门课，它们对今后数学的学习影响不大，但是C语言也很重要，它差不多是多数大学生都要学的一个基础课程。
因为我现在是大二下学期，所以对后面的课程还不是特别了解，就不一一为大家介绍了。
最后，我想说，数学各个课程之间关联非常强，大家想学好数学，基础一定要打牢。
国内外数学类研究生培养方案和课程设置
中国科技大学
博士研究生
培养要求
硕博连读生，总学制为5，6年。总学分不得低 于 45 （含公共必修课英语、政治11）。普通博 士生，学制为3，4年。所修总学分不得低于 10 （含公共必修课英语、政治6）
博士生在学期间必须参加至少一次国际会议或 有境外访学经历。学生参加国际学术会议或出 境访学后，须向导师提交会议或访学的学术总 结报告，并报学院教学办公室备案。
整理课件
培养要求
全日制博士研究生学习年限一般为3-4年。非全 日制博士研究生的学习年限最长不超过6年。总 学分为16学分。其中公共必修课4学分（含政治 课2学分，外语课2学分），专业必修课6学分， 研究方向必修课6学分。
整理课件
学位论文 1 论文选题。 2 开题报告。学位论文开题报告是研究生开展 学位论文工作的重要环节，研究生在修完学 位课程进入学位论文写作之前必须作开题报 告。 3 创新要求。对博士学位论文必须有一定的创 新要求，这是衡量博士学位论文质量的一项 主要依据，要能在科学或专门技术上做出创 造性的成果。
2 普通博士生的综合考试应当在入学后第三学期前 完成。
3 发表论文要求 博士毕业生在获得学位前至少需有一篇在SCI索 引的刊物上发表的论文, 或提交论文被接受发表的 信函。 论文的第一作者单位需是北京大学。
整理课件
南开大学
硕士研究生（计算数学）
课程设置 培养要求
博士研究生（计算数学）
课程设置 培养要求
整理课件
3 学位论文中期检查 2.5年学制的硕士研究生在第4学期末（每年6月底 前），2年学制的硕士研究生在第3学期末（每年 1月底前）进行中期检查，由各学院组织公开进 行。学位论文中期检查的主要内容包括：检查课 程学习的学分是否满足要求，论文研究的进展情 况等。对于中期检查不满足要求的学生，应给予 书面警告，并在后期或学位论文答辩中重点督 查。当论文研究的主要内容与开题不符时应重新 开题。
3+1《点集拓扑》课程标准
《点集拓扑》课程标准英文名称：Set topoligy 课程编号：407021010适用专业：数学与应用数学学分数：3一、课程性质《点集拓扑》课程属于数学一级学科下的基础数学二级学科，是数学与应用数学专业的培养方案中学科专业教育平台下专业基础课程系列的一门必修课程。
二、课程理念1、培育抽象思维概括能力，提高数学文化素养《点集拓扑》采用了极为有力的表述形式及高度抽象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有高度的概括力。
以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。
《点集拓扑》不仅在泛函分析、抽象代数、李群论、微分几何、微分方程等其他许多数学分支中有着广泛的应用，而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用，已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，是非数学类众多领域的研究生必修的数学基础课程。
2、增强空间意识，培养扎实的空间状态认识能力《点集拓扑》是数学与应用数学专业人才整体知识结构及能力培养的重要组成部分，在数学与应用数学专业人才的培养方案中占据独特的重要地位，它是现代数学的基础。
本课程面对的是数学与应用数学专业本科四年级的学生，在大学前三年级期间，学生们已经对《数学分析》、《高等代数》以及《空间解析几何》等数学与应用数学专业的基础课程有了系统的学习，为进一步进入《点集拓扑》课程的学习打下了坚实的基础。
通过本课程的学习，使学生理解并掌握点集拓扑和基本方法，能够运用所学的方法对自然界中客观存在的空间形式进行研究、对空间状态进行分析以指导实践。
3、展示点集拓扑的应用，为进一步研究现代数学培养扎实的基础《点集拓扑》是一门相对独立的学科，它与其它学科的联系并不是十分紧密，拓扑学的内容虽然涉及集合论、数理逻辑、度量空间、数学分析等学科，它的一些概念和方法是度量空间、连续函数等概念的推广，但其研究内容和方法已发生了根本的变化，因此具备了集合论、数理逻辑、度量空间、连续函数的基本知识，对拓扑学的学习和理解会起到一定的作用，《点集拓扑》课程需要集合论的基本知识，也是学习拓扑学的必要的基础知识，我们放在了第一章，若熟悉本章知识的内容可直接进行第二章的学习，《点集拓扑》课程的后续课程有代数拓扑学，格上拓扑学等。
数学的三个发展时期现代数学时期
数学的三个发展时期——现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。
它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。
变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。
这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。
希尔伯特的23个问题
巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。
1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流……。
这一年的8月6日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。
年方38岁的德国数学家大卫•希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，他向到会者，也向国际数学界提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。
这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！科学发展的每一个时代都有自己的问题。
希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。
现在，时光已过去80多年。
这23个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。
80年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。
据统计，从1936〜1974年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。
1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。
重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。
希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）。
1884年获哥尼斯堡大学博士学位。
1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世。
他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。
1900年前后致力于数学基础──元数学。
后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献。
希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备。
1899年，第二届国际数学家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。
2024数学三考研大纲
2024数学三考研大纲一、考试背景2024年数学三考研大纲的制定旨在贯彻国家教育政策，培养高素质数学专业人才，促进数学教育的高质量发展。
数学作为一门基础学科，在各个领域都起着重要的作用，考研数学的设立，是为了选拔优秀的数学学子，培养他们成为具有国际竞争力的数学研究与应用人才。
二、考试内容2024年数学三考研大纲的考试内容主要分为数学分析、代数、几何与拓扑、概率与统计四个部分。
1.数学分析数学分析是数学的一门基础课程，它在数学研究和应用中都起着重要作用。
考生需要掌握基本的极限、连续、微分和积分等概念，同时深入理解度量与空间、泛函分析、常微分方程与偏微分方程等内容。
2.代数代数是数学的一个重要分支，它研究的是数、代数结构和代数运算等概念及其相互之间的关系。
考生需要了解群、环、域等基本代数结构理论，熟练掌握线性代数、抽象代数等内容。
3.几何与拓扑几何与拓扑是几何学与代数学的交叉领域，它研究的是空间的性质和结构。
考生需要了解欧几里得几何学、解析几何学、微分几何学以及拓扑学等内容。
4.概率与统计概率统计是数学的一门应用科学，它研究的是随机性现象的规律性和数量化分析方法。
考生需要了解概率论、数理统计、统计推断等内容。
三、考试要求2024年数学三考研大纲的考试要求主要包括以下几个方面：1.知识要点考生需要熟练掌握数学分析、代数、几何与拓扑、概率与统计等领域的基本知识要点，能够运用所学知识解决实际数学问题。
2.方法技巧考生需要掌握数学分析、代数、几何与拓扑、概率与统计等领域的解题方法和技巧，灵活运用数学知识进行推理、证明和计算。
3.深度拓展考生需要在掌握基础知识和方法的基础上，深入理解数学分析、代数、几何与拓扑、概率与统计等领域的深度拓展内容，培养数学思维和解决问题的能力。
四、备考建议为了更好地备考2024年数学三考研大纲，考生可以采取以下几点备考建议：1.制定学习计划考生需要制定合理的学习计划，合理安排时间，有针对性地复习数学分析、代数、几何与拓扑、概率与统计等内容。
大学数学系学什么
大学数学系学什么
大学数学系学习的课程有很多，其主要课程有：数学分析、高等代数、高等数学、解析几何、微分几何、高等几何、常微分方程、偏微分方程、
概率论与数理统计、复变函数论、实变函数论、抽象代数、近世代数、数论、泛函分析、拓扑学、模糊数学。
此外，师范类院校的数学系还要额外
学习数学教育学。
补充资料：
大学数学系旨在培养数学与应用数学的高素质拔尖人才，培养现代数
学顶峰的攀登者，培养在我国现代化建设中担当大任的数学和应用数学领
军人物。
在课程设置上，尤其在一、二年级，强调正规扎实的数学基础训练，为学生将来成才和多方向的发展奠定坚实宽广的根基。
同时引导学生
深入到数学最重要的分支，接触现代数学思想和框架，拓宽知识领域，激
发求知和探索兴趣。
在积极向上，宽松自由的环境中，培养学生高度的创
新意识和能力，达到专与博、严与活的高度和谐统一。
科学 技术 社会
科学技术社会科学的本质：1、科学是人对自然界的客观事实和规律的理性认识2、科学是知识体系3、科学是一项社会实践活动技术的本质：1、技术是经验、技能或技艺2、技术是生产的物质手段3、技术是科学理论的应用4、技术是有目的的运用科学理论和技能，借助物质手段，实现自然界人工化的社会活动过程科学与技术的区别：1、目的和任务不同2、研究内容不同3、研究成果的形式和评价标准不同4、发现进程不同5、生产力属相不同科学技术的社会功能1、科学社会的认知功能2、科学社会的生产力功能3、科学社会的社会变革功能4、科学社会的生态调节功能科学技术社会的社会条件：1、社会生产决定科学技术的发展2、社会制度制约科学技术的发展3、社会思想文化影响科学技术的发展学习科学技术社会的意义：1、有助于理解科学技术社会的本质，增强科技意识，树立科学技术是第一生产力的思想2、有助于认识科学技术的社会功能，了解科学技术与社会的互动关系3、有助于扩大知识面，启迪思维，提高教学业务水平古代中国科学技术的特点：1、发展的延续性2、与封建社会同兴衰3、注重实用，理论薄弱中国科学技术在近代落后的原因：1、自然经济的阻碍2、专制制度的束缚3、科学自身的缺陷科学实验是把自然现象从实际的自然过程或生产技术实践中抽取出来，在人为的控制下加以研究，他是近代自然科学懒以发展的一个最直接、最贴近的基础工程科学是研究特定的对象生产技术和工艺流程的原则和方法的应用性科学。
科理论 现代科学技术整体结构图现代科学技术的发展趋势;1、 综合化趋势A 、 科学技术领域中个学科、各门类之间的相互综合B 、 科学技术与社会科学的综合2、 数学化趋势3、 科学与技术的一体化趋势A 、 科学的技术化与技术的科学化B 、 科学技术向生产转化的周期缩短C、高新技术是科学技术一体化的集中体现第三章现代科学基础学科现代数学的主要特征1、纯粹数学更加抽象和深刻2、数学在分化和综合的基础上统一3、数学的应用更加广泛和深入4、数学和计算机结下不解之缘纯粹数学的若干进展：1、拓扑学2、抽象代数3、泛函分析拓扑变换：一般是指几何图形在空间中的一种连续的变形，同时变形中还要满足一定的条件。
数学专业培养方案
数学专业培养方案第1篇数学专业培养方案一、前言随着我国社会经济的快速发展，对数学等基础学科的需求日益增长。
为培养具有扎实数学基础、较强创新能力和实践能力的高素质人才，本方案根据国家教育方针和行业需求，结合学科发展特点，制定本专业培养方案。
二、培养目标1. 知识目标：使学生掌握数学学科的基本理论、基本方法和基本技能，具备运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 能力目标：培养学生具备较强的逻辑思维能力、数学建模能力、数学分析和解决问题的能力。
3. 素质目标：培养学生具有良好的人文素养、科学素养和职业道德，具备团队协作和沟通能力。
三、课程设置1. 公共基础课：思想政治理论、大学英语、大学计算机基础、体育等。
2. 专业基础课：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数等。
3. 专业核心课：抽象代数、泛函分析、拓扑学、偏微分方程、数值分析、数学物理方程、运筹学等。
4. 专业选修课：组合数学、图论、编码理论、密码学、数学建模、金融数学、应用统计等。
5. 实践教学：数学实验、课程设计、实习、毕业论文等。
四、培养过程1. 第一阶段（第一、二学年）：侧重数学基础知识的传授，使学生掌握数学基本理论和方法，培养基本的逻辑思维能力和数学素养。
2. 第二阶段（第三、四学年）：加强专业核心课程的教授，提高学生数学分析和解决问题的能力，开展数学建模、实习等实践活动，培养学生的实践能力和创新能力。
3. 第三阶段（第五学年）：开展专业选修课程，使学生根据个人兴趣和发展方向深入学习，同时完成毕业论文和实习，提高学生的综合素质。
五、质量保障1. 建立健全教学质量监控体系，定期对教学质量进行评估和反馈。
2. 加强师资队伍建设，提高教师教育教学水平。
3. 强化实践教学，提高学生动手能力和创新能力。
4. 加强与企业、高校的合作，拓宽学生实习和就业渠道。
六、毕业要求1. 修满规定学分。
2. 通过毕业论文答辩。
信息与计算科学专业学习内容是什么
信息与计算科学专业学习内容是什么信息与计算科学专业学习内容主干学科：数学、计算机科学与技术主要课程：数学基础课(分析、代数、几何)、概率统计、数学模型、物理学、计算机基础(计算概论、算法与数据结构、软件系统基础)、信息科学基础、理论计算机科学基础、数值计算方法、计算机图形学、运筹与优化等。
主要实践性教学环节：包括生产实习，科研训练，毕业论文(毕业设计)等，一般安排10～20周。
学年：4年授予学位：理学学士培养目标：本专业培养具有良好的数学素养，掌握信息科学和计算科学的基本理论和方法，受到科学研究的初步训练，能运用所学知识和熟练的计算机技能解决实际问题，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学和应用开发和管理工作的高级专门人才。
信息与计算科学就业方向1.继续深造：由于信息与计算科学专业的毕业生不仅具有扎实的数学基础和良好的数学思维能力，而且掌握了信息与计算科学的方法与技能，受到科学研究的训练，因此继续深造的可选择领域将变得非常广泛。
2.高等院校、科研单位：信息与计算科学专业的毕业生可以在大专院校和科研单位从事教学和科研工作，他们可以继续从事信息科学与计算数学的教学和研究工作，也可以凭借其出色的数学建模能力和计算能力解决实际应用问题。
3. IT企业：信息与计算科学专业的毕业生进入IT企业是一个重要的就业方向，它们可以在这些企业非常高效的从事计算机软件开发、信息安全与网络安全等工作。
信息与计算科学专业介绍信息与计算科学专业培养具有良好的道德、科学与文化素养，掌握数学科学的基本理论、方法与技能，能够运用数学知识和数学技术解决实际问题，能够适应数学与科技发展需求进行知识更新，能够在数学及相关领域从事科学研究或在科技、教育、信息产业、经济金融、行政管理等部门从事研究、教学、应用开发和管理等工作的人才。
主要学习内容有微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、数理统计、随机过程、离散数学、偏微分方程、数学建模等。
拓扑学在中学数学中的体现及其广泛应用-崔宝
拓扑学在中学数学中的体现及其广泛应用摘要：拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质. 其中蕴含的许多经典问题、定理以及基本的数学思想方法等，对中学数学教育有着很高的借鉴价值. 同时它也可以应用于几何学、建筑学等方面，并与现实生活有着许多联系.关键词：拓扑学；中学数学；几何学1 拓扑学的发展及意义1.1 拓扑学的起源拓扑学的起源要追溯到数学家欧拉（Euler 1907-1783年）生活的时代. 有人说拓扑学产生于哥尼斯堡(Konigsberg)七桥问题，因此，人们称欧拉为“拓扑学的鼻祖”. 但是，十九世纪中期之前，拓扑主要是由孤立观察到的一些结果而组成. 虽然，“拓扑”这个名词曾先由高斯(Gauss 1777-2855年)的学生里斯丁(J.B.Listing 1806-1882年)在1847年的《拓扑学初步》一书中第一次出现. 在这以前，菜布尼兹(G.W.Leibnitz 1646-1716年)在几何图形的某些定性的研究中也曾引进了“位置几何”的名词. 就是今天考虑的拓扑. 但是，他对这门学科没有多大贡献. 在十九世纪末和二十世纪初，拓扑通常称为“位置分析”. 而像今天这样系统地研究一般拓扑学实际上起源于德国数学家康托（Cantor 1845-1918年)和法国数学家弗里歇(M.Frechet 1875—1973年)，匈牙利数学家李斯(F.Riese 1880-1956年)及德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff 1868-1942)等人. 康托在1579-1884年创立了集合论后，同时考虑了欧氏空间中的点集，如极限和闭包等性质，为创立拓扑学奠定了基础. 弗里歇在1906年和李斯1909年将极限的概念推广到函数的集上去，而1914年出现了豪斯道夫的点集论纲要，因而近代的一般拓扑产生了[1].1.2 拓扑学大意拓扑学是现代数学的核心内容之一．近人把拓扑学、抽象代数、泛函分析三门课称为大学数学的“新三高”，以和高等几何、等代数和高等微积分的“老三高”相对照．拓扑学原属几何学的分支，但现在已渗透于各门数学学科之中，成为一门基础学科.简略的说，拓扑学的主要研究对象是一维乃至高维空间的曲线和曲面[2].在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置关系，而不考虑长度和角度等其他性质. 有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”，是指橡皮的变化不改变图形的拓扑性质. 因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化. 此时谈论“有多长”、“有多大”之类的问题是毫无意义的. 在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变. 例如：点变化后仍然是点，线变化后仍旧是线，相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交. 拓扑学正是研究诸如此类使图形在橡皮膜上保持不变性质的学科. 一条首尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两部分. 如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”. 在橡皮膜上从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线. 因此，无论怎样拉伸橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折叠、不穿孔，闭曲线的内部总是内部，外部总是外部.2 拓扑学与中学数学的联系拓扑学中所蕴含的一些重要的思想方法对于中学数学的学习有着非常积极的促进作用. 教师应该高瞻远瞩，有选择的从高等数学中挖掘好的思想方法，应用于中学教学，这样做一方面有利于教师加深对初等数学的理解，促进教学，另一方面让学生感觉到那些经典的高等数学问题不是遥不可及的，而是与自己的实际学习密切相关，可以帮助自己解决问题的，从而提高学生的学习兴趣. 拓扑学与中学数学的主要联系可以通过以下几个例题进行具体体现.2.1 整体与局部拓扑学研究的往往是一般的、整体的、连续性的问题. 在中学数学里，我们研究二维和三维欧氏空间中的曲线和曲面. 不过只在给出曲线、曲面的方程和方程所描绘的曲线、曲面等很一般的问题上. 在大学数学中，高等代数中的二次型定理对二次曲线、曲面的分类进行了研究；微积分在局部性质上对曲线的切线、曲面的切平面等进行了研究. 曲线的长度、曲面的面积也用极限工具得到了相当程度的解决．但是，曲线、曲面还有许多性质是整体性的，关于整体结构的研究是更为深刻的一个研究层次，也是拓扑学的内容之一[2].拓扑学中“整体和局部”的思想也是中学数学的一种重要思想. 例如，中学数学解题经常会用到特殊化、一般化来将问题探究的范围扩大或缩小，以利于得出结论. 这其中的原理即是无论局部范围的扩大还是缩小，问题的本质即整体性质是不变的. 这就与多面体欧拉定理类似：空间多面体如有V 个顶点，E 条棱和F 个面，则V −E +F =2. 无论多面体是大是小、形状规则还是不规则，其本质即面数、棱数和顶点数的关系是恒成立的.例1证明:直线(3−2a )x +(a +1)y +2=0不论a 为何值，均过一定点.分析:由于a 取不同的实数值时会得到不同的直线，因此，要证明这些直线均过一定点，只需求出点数的关系是恒成立的. 任意两条直线的交点，再证明该交点的坐标满足直线方程即可.证明:令a =0得直线：3x +y +2=0. ①令a=1得直线：x +2y −1=0. ②联立①式、②式，解得{x =−1.y =1.将(−1，1)代人(3−2a )x +(a +1)y +2=0，得0=0.所以点(−1，1)在直线(3−2a )x +(a +1)y +2=0上. 因此，无论a 取何值，直线(3−2a )x +(a +1)y +2=0必过点(−1，1).2.2 四色问题与排列组合四色问题是拓扑学中的一个经典问题，它说的是给一个平面或一个球面的地图着色时，假定每一个国家在地图上是连通域，并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色，则至多只要四种颜色就可以完成着色. 四色问题的严格证明需要运用高等数学知识，对于中学生来说难度太大，而由其衍生出的“图形涂色问题”却是排列组合中经常出现的问题. 如下面例2.例2[3]某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分六个部分(如图1)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种花，且相邻部分不能种同样的花，问不同的栽种方法有多少种?图1解法一(用计数的基本原理):要用4种颜色填人6个部分，则必有2组颜色是相同的，因此分类求和.（1）2和5同色，则3和6或4和6也同色，按花圃编号从1到6的顺序，共有N1=4×3×2×2×11=48.（2）3和5同色，则2和4或4和6同色，共有N2=4×3×2×2×11=48.（3）2和4且3和6同色，共有N3=4×3×2×1=24.综上，共有N=N1+N2+N3=120（种）.评价：这种分类讨论的方法，中规中矩，但要想不多不少地把3种情形罗列正确还是有些困难的，有时也会遗漏一些情况.解法二(用四色问题的思想):原问题可等价转化为如图2所示的圆状环. 先给1区栽花，有C41种方法，那么其余5个区域只剩3种颜色的花可供栽种，则必有一种颜色的花只种一个区，再从2，3，4 ，5 ，6区中选出一个区只种一种花，其它四个区分成两组种两个区，则有N=C41×C51×A33=120（种）.图2评价：不难看出，运用四色问题的思想方法（用颜色来掌控全局）比应用计数基本原理解决涂色问题要简便得多，这正是拓扑学在中学数学中的一处妙用.2.3 哥尼斯堡七桥问题与数学建模思想拓扑学中另一个著名问题便是哥尼斯堡七桥问题. 即在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来，如图3. 问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题. 欧拉想到：岛的形状、大小、以及桥的长短、宽窄并不影响结果，位置才是最重要的. 他把问题归结为如图4的“一笔画”问题，证明了上述走法是不可能的. 欧拉对这一问题的解决，开创了图论和拓扑学这两门新的学科,使几何学和拓扑学建立了联系.而这一问题对培养中数学生的数学建模思想具有指导意义.A图3通过数学建模，先把实际问题转化成数学问题，把复杂的地理图形变成简洁的数学图形. 欧拉注意到，如果一个图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是经过点. 而经过点有进有出的点，即有一条线进入这个点，就一定有一条线走出这个点. 不可能有进无出，如果有进无出，它就是终点；也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点. 因此，在经过点进出的线总数应该是偶数. 我们称在一个点进出线的总数是偶数的点为偶点；总数为奇数的点称为奇点. 如果起点和终点是同一个点，那么它也属于有进有出的点，它也是偶点，这样图上的点全是偶点. 如果起点和终点不是同一个点，那么它们必定是奇点. 因此，能够一笔画的图形最多只有两个奇点.由此可见，用数学的眼光、数学的方法去观察事物，分析问题，可以把生活中的一些实际问题转化为数学问题，并用数学的方法来处理和解决.七桥问题中蕴含数学建模思想，为中学数学建模提供了又一经典范例.3 拓扑学在实际生活中的广泛应用3.1 拓扑学在指纹自动识别系统中的应用指纹是典型的几何图形，对指纹的同一检验，实际上是图形同胚映射分析研究中最典型、最普遍、最直观的例子，其检验结果所要求出的解，就是两枚指纹是否具有相同的拓扑性质. 因此，指纹检验应该属于拓扑学研究的范畴，或者说拓扑学是指纹检验的指导理论之一[5].3.2 拓扑学在建筑中的应用拓扑学提供给设计者奇特的几何实体为灵感来源和空间结构图示；拓扑学的某些概念启发了建筑师思考，催生了流动的、粘质的和连续的建筑形式；拓扑学的分析方法是人们重新认识了空间结构. 拓扑学的思维方式和设计过程式建筑获得了动态性，反映了周边环境的影响，重组了社会空间结构. 这类拥有拓扑化倾向的建筑能够更好地诠释建筑师对客观世界或社会关系的新认识，能够更好地反映社会文化的发展变化[6].3.3 拓扑学在博物馆展示流线设计中的具体应用基于拓扑学“一笔画”理论，在解决博物馆流线设计问题时，将空间平面图拓扑化，建立数学模型，即可将拓扑学“一笔画”理论应用于空间的流线设计中. 针对参观动线设计的几个要求，可将其进行拓扑转换（表1）.拓扑学不仅对中学数学具有一定的指导意义与联系，同时也对日常生活有一定的影响，合理挖掘数学知识和数学思想，从而进一步促进数学的广泛发展.参考文献[1] 朱玉.一般拓扑学与现代数学[J]. 松江学刊（自然科学版）. 1983，1：5-6.[2] 张奠宙，邹一心. 现代数学与中学数学[M]. 上海:上海教育出版社，1990. 318-325.[3] 吴晶. 拓扑学对中学数学教育的指导意义[J]. 数学之友.2013，24：1-3.[4]沈晓芳. 拓扑学与几何学的桥梁[J]. 伊犁师范学院学报（自然科学版）. 2011，6（2）：22-24.[5] 李浩. 拓扑学在指纹自动识别系统中的应用[J].吉林公安高等专科学校学报. 2012，1：53-57.[6] 杜岱妮. 拓扑学在西方当代建筑中的影响及应用[D]. 天津：天津大学，13-20.。
数学的三个发展时期——现代数学时期
数学的三个发展时期——现代数学时期三、现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。
它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。
变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。
这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
关于四大力学......
我们知道理论物理中四大力学（理论力学、热力学与统计物理、电动力学和量子力学）是支柱内容，那么请问： 1.这四种力学间有何关联？ 2.应该按着什么顺序去学？ 3.可以量子力学与其它三种同时学习吗？敬请各位高手给我这个初学者权威、准确、详尽的解答！万分万分地感谢！！！我想这里的人应该不会有权威、准确、详尽的解答的吧，大家只能谈谈自己的看法，毕竟这里大多数的同学都是学生。
下面是我自己的感受仅供参考：就第一个问题：对于我们初学者来说，这四门课在表面上应该是感觉不到联系的，但就其本质来说肯定有着关联。
因为四大力学所研究的对象各不相同，从而研究方法也有很大差异。
四大力学是五门普通物理学的后继课程，其与普通物理学有着千丝万缕的联系。
理论力学研究的是宏观物体的经典运动，是比较容易掌握的一门课程，其研究方法与普通物理中的《力学》相差不大，主要加强了极坐标系下的运动方程、转动参考系等内容。
新增了《力学》中所没有的《分析力学》部分。
热力学与统计物理学研究的是热现象，热力学引入了四个热力学函数，统计物理学从状态分布开始研究，由于涉及的理念较为抽象，在数学上需要用到多元函数全微分等，学习起来有一定的难度。
电动力学研究的电磁现象，主要从麦克斯韦方程组入手进行研究。
在数学上需要用到数学物理方法中的各种结论和矢量分析，对于数学要求较高，但是基本概念容易掌握。
最后还研究了为了解决电磁运动规律的参考系问题，介绍了狭义相对论，由于很多情况与现实经验违背，故理解起来有一定困难。
量子力学研究的是微观粒子运动所遵循的规律，从六大基本原理（不考虑相对论效应）出发，导出各种结论。
尤其是引入用波函数和几率（概率）来描述粒子运动状态，理论较为抽象，较难理解。
在结论氢原子问题中用到数学物理方法中的球谐函数，需要有一定的数学基础。
2、3学习的顺序。
我们学校上这课的顺序为理论力学——热力学，统计物理学——电动力学——量子力学前三门课由于表面的练习较少，我认为可以同时学习，而量子力学中一些运算要以前几门课为基础，如在量子力学中哈密顿量是个大问题，这在理论力学中学到；在介绍量子力学产生过程中，是从研究紫外灾难入手的，只有学习热统才能有较为深刻的理解。
高等数学的学习顺序
群论研究的是群的结构形式和不同群之间的相互关系，如什么样的代数可以构成群，群的元素个数，子群及其关系，群的同构等。
拓扑学：简单地讲就是研究连续变换下的不变量，展开来讲就比较复杂了。
要想学后后续深入的课程必须把基础打好，很多艰深的数学最后都是要化归到基础的微积分、线性代数来解决。
应该是每个学校的安排也都不会一样吧~然后数学专业各个方向的所学也不一样，楼主要问的的是应用数学么？
大一：高等代数，数学分析，解析几何
大二：常微分方程，实变函数，复变函数，泛函分析，近世代数，c语言
到了三高部分，各自的特色已经不那么明显了。
现代数学研究呈现出结构和分析两大特色，在很多不同的领域都可以交叉使用。
分析中融入了代数工具，如泛函空间也可以看作是代数空间。
代数研究中也常采用分析的方法，如解析数论。
而对几何的研究更是建立在空间的基础上用分析的手段来处理。
针对提出的问题；
高等几何：研究包括空间图形的数学形式的确定（如空间曲面的表示等）、
微分几何：看名字就知道干吗了。就是借助微分研究几何，
在微分几何中，变量的概念会从传统的标量、向量、泛函被推广
到＂流形＂组合数学：包括三个方面，组合分析、组合记数、组合设计。
高中学的排列组合就是属于组合记数的内容。
数学说难很难，说不难也不是很难。
数学的学习有着严格的逻辑关系，基础不好后面的课程是根本学不好的。
常微分方程，偏微分方程，变分法，
实变函数，复变函数，泛函分析
概率论与数理统计，数据分析，运筹学，
离散数学，随机过程，
简单地说一下；
数学中有“三低三高”之说，也就是指分析、代数和几何三个分支，
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• 诺特生前共发表三十七篇论文，但任何数 字也无法表达她留给后代的科学思想。
• 更何况他为占人类半数的女性树立了妇女 同样能攀上抽象学科高峰的又一个光辉榜 样。
§3、抽象代数学（近世代数学 ）
• 以讨论群、环、域、格、向量空间等的性 质和结构为内容的数学分支称为抽象代数 学（近世代数学）。
• 19世纪拉格朗日和阿贝尔在研究五次及五 次以上代数方程的根式解的过程中，给群 论打下了良好的基础；
• “伽罗华理论”为群论的创立做出了杰出的贡 献，在群论史上永垂不朽。
• “点不变，线不断，数学中的表现方式与研究方法的多 样性，拓扑学又分成研究对象和方法各异的若干 分支。
• 在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就出现点集拓 扑学和组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成 一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来又相 继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。
勇于开始，才能找到成 功的路
对诺特的评价
• 诺特是一位卓越的的学者，除环论外，在积分方 程的解析理论、黎曼面理论、、相对论、联络空 间微分几何学、群表示论及其在量子力学上的应 用等方面都有贡献。
• 她热爱数学教育，热爱学生，培养了一大批数学 人才，其中包括我国的曾炯之（以完成近世代数 上的“曾炯之定理”闻名于世）
• 拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展 起来的，它自20世纪30年代以来的大发展，尤其 是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗 透，是20世纪理论数学发展中的一个明显特征。
拓扑学的研究（3）
点集拓扑是在康托点集和弗雷歇（M.Frechet,1878---1973,法国）的函数点集(函数 空间)基础上开创的。1908年，德国的熊福 莱斯提出了点集拓扑学的概念。1914年豪 斯道夫在他的《集合论纲要》中建立了抽 象空间的完整理论，第一次抽象地使用了 点集、和邻域的概念，标志着点集拓扑学 的正式形成。
• 美神虽然没有光顾她的摇篮，
• 她的美德和业绩早已使美神黯然失色！
环论和域论（1）
• 诺特的环论后来由她的学生范德瓦尔登（Van der Waerden,1903.2.2---1996.?.?,荷兰）及拉斯克（ sker,1868.12.24---1941.1.13,德国）继续发 展,成为抽象代数的重要分支。
• 巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且 培育了一大批青年数学家 ，为形成强大的利沃夫 泛函分析学派奠定了基础。
泛函分析的发展（6）
• 算子理论更光辉的成就属于冯.诺依曼， 1929---1930年，他提出希尔伯特空间及希 尔伯特空间的算子的公理方法，并且很幸 运地发现，量子力学合用的数学工具，恰 恰是这种算子的谱理论。至此，泛函分析 基本上得到确立。
§１、拓扑学（位置几何学）
• 拓扑学最早起源与1736年欧拉研究的“哥尼 斯堡七桥问题”。18世纪东普鲁士首都哥尼 斯堡是一个著名的大学城。它位于布勒尔 河的两条支流之间，那里有七座桥联接着 一个岛和一个半岛，如图。
是将实际问题转化为数学问题，并借助 数学理论来解释现实问题的方法
抽象分析法
• 大学生的请教 • 欧拉采用了抽象分析法，他用点代表两岸
• 巴拿赫（ S.Banach,Stefan,1892.3.30--1945.8.31）生于波兰的克 拉科夫，卒于苏联乌克兰 勇加于盟开始共，和才能国找的到成利沃夫。是 功当的时路 波兰利沃夫学派的领 导人。巴拿赫的童年过着 清苦的生活。14岁那年他 就不得不到私人家里讲课 以养活自己。
泛函分析的发展（4） 巴拿赫（续
• 泛函分析是在20世纪发端，而于20年代— 30年代基本完成的。
泛函分析的发展（1）
• 在建立函数空间和泛函的抽象理论中，第 一个卓越成果，属于法国的著名数学家弗 雷歇，他在1906年的博士论文中，用抽象 形式表达了函数空间；空间中每一点是函 数，函数的极限可以看作空间中点列的极 限，这是他的一个深刻的思想。1907年， 施密特把希尔伯特研究积分方程时使函数 等同于傅氏系数集的思想，抽象为一般的L2 ，并导出正交系，希尔伯特空间的名称也 由此产生。
• 1882年，英国载克把群论三个重要来源—方程式论、数论 和无限变换群纳入统一的抽象群概念之中，并提出“生成 元”概念。
• 20世纪初年亨廷顿（Huntington,1874---1952）等人给出 了群的抽象公理体系。同时群论的研究沿着各个不同方向 展开。
环论（1）
• 环是元素之间具有两种代数运算（通常分 别称为加法和乘法）的集，其中加法满足 结合律及交换律，乘法满足结合律及关于 对加法的分配律；这集还有零元素，它与 集里任何元素相加的结果仍是该元素；并 且每个元素都有负元素，任何元素与其负 元素相加是零元素。环论是系统研究环的 性质和应用的学科。
群论的研究
• 1846年—伽罗华死后14年，刘维尔把他的遗稿刊印在他 创办的数学杂志上，其中最重要的论文是《论方程可以用 开方法求解的条件》。
• 1849年凯莱提出了抽象群的概念；1878年他又写出了抽 象群的4篇论文。
• 1874年挪威数学家李在研究微分方程时，发现某些微分方 程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。
伽罗华（1811—1832.5.31）
• 伽罗华出生在巴黎附近一 个小城的家庭，家境本很 优裕。但自18岁后，各种 不幸接踵而至。先是父亲 因与天主教保守势力冲突 勇功而后于的自虽开路杀考始，；入才高高能考等找到又师成遭范失学败校；， 却又因参与革命两次被捕 ；出狱后不久，因爱情的 纠葛死于决斗，时年尚不 到21 岁。
泛函分析的发展（2）
• 作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个 良好的开端，由黎兹1910年发表在《数学 年刊》的文章所做出。
• 巴拿赫在黎兹的基础上，提出了完整的赋 范空间（巴拿赫空间）概念，并为函数空 间上的线性算子理论提出了一系列重要定 理，对近代泛函分析的发展起了重要的作 用。
泛函分析的发展（3）巴拿赫
• 如果环的乘法满足交换律，称为交换环。如果交 换环关于乘法有单位元素，使它与集里任何元素 的积就是该元素，并且除零元素外的任何元素都 有逆元素，使任何元素与其逆元素的乘积是单位 元素，这样的环称为“域”（或“体”）。域论是系统 研究域的性质和应用的学科。
域论（2）
• “域”这个词是由戴德金给出的。域的抽象理论 研究比环更早些，它是由韦伯开始的，1893年， 他曾对伽罗华理论以抽象的阐述，其中引进了域 作为群的一种。
一）
• 1910年巴拿赫中学毕业后曾自修数学，并到雅各 龙大学听过一个短时期的课。后来就读于利沃夫 学院。第一次世界大战使中断了学业，但仍不断 钻研数学。他靠自学和同数学家交谈获得许多数 学知识。1917年巴拿赫和斯泰因豪斯联名写了一 篇关于傅立叶级数收敛性的论文，两年后发表， 这也是巴拿赫的第一篇论文。1920年被破格聘为 助教，同年，提交博士论文《关于抽象集合上的 运算及其在积分方程上的应用》，由此取得了博 士学位。人们有时把该论文作为泛函分析学科形 成的标志之一，为泛函分析奠定了基础。
拓扑学的研究（4）
• 组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。组合拓扑开始 于庞加莱1885—1904年间发表的一系列论文。流 形、单形、复形、边缘、链、贝蒂（Betti）数、 挠系数、示性数等概念，都在这些论文中提出。-----
• 拓扑学在20世纪20---30年代获得重大进展。首先 是出现复形的同调群，它由亚历山大罗夫等人完 成。------
拓扑泛函分析抽象代数
2020年4月28日星期二
序
萌芽于19世纪末，奠基于20 世纪初，成长于 两次世界大战之间的拓扑、泛函分析、抽象代数 是现代数学发展的理论基础。一个数学工作者， 要想站在数学研究的前沿，必须有拓扑、泛函分 析、抽象代数的雄厚基底。正因为如此，我国所 有的大学数学系均把它们列入教学计划，并称之 为“新三高”（“老三高”指数学分析、高等代数、高 等几何）。
伽罗华的遗嘱
• 在决斗前夜，伽罗华通宵达旦整理 自己的手稿，并在遗书中嘱咐朋友 ：“请求雅可比 或高斯不是就这些 定理的正确性而是关于它们的重要 性公开发表他们的意见”。
对伽罗华的评价
• “凡是谴责伽罗华的政治活动，或者干脆不考虑他 的政治活动的人，都不能认清他在科学上所作的 贡献的价值。”伽罗华不仅是一个伟大的数学家， 而且是一个积极的革命者。追求科学理想和追求 社会理想在他身上得到了统一。
、岛和半岛，用线代表桥。如图。
“一笔画”问题
• “七桥问题”可归结为“一笔画”问题。“一笔画 ”的条件要么没有奇点，要么最多只有两个 奇点，但是这个图形的四个点均为奇点， 所以无解。
• 这个问题和1751年欧拉证明的另一条定理 ：“任何一个凸多面体的顶点V、棱数E和面 数F之间有关系V-E+F=2”成为拓扑学的最早 起点。拓扑学的“拓扑”（Topology）一词最 早在1847年由利斯亭（J.B.Listing）所采用 。
环论（2）
• 19世纪戴德金和克罗内克已熟知并利用过环的构 造，但抽象理论却完全是20世纪的产物。
• 克罗内克把环叫做“序”，“环”这个词是希尔伯特引 进的。
• 1907年韦得伯恩在《论超复数》中，研究了线性 结合代数，这种代数实际上是环。
• 环的系统理论是德国女数学家诺特给出的，她 1921年的经典性论文《环中的理想论》标志着环 论现代化的开端。
• 1937年，美国的惠特尼证明了微分流形的嵌入定 理，正式创建了微分拓扑学。
§2、泛函分析
• 泛函分析是综合运用函数论、几何学、代 数学的观点来研究无限维向量空间上的函 数（也称泛函）、算子和极限的数学学科 。它可以看作是无限维向量空间的解析几 何及数学分析。产生泛函分析的背景是变 分法、集合论、积分方程的发展。泛函分 析的名称是阿达玛首先使用的。