材料力学课件第4讲 Chapter2-3第二章 拉压变形及算例应变能

Ay
2
2 1 Pl EA
19
§2-5 拉（压）杆的应变能 Strain Energy in Axially Loaded Bar
弹性体受外力作用变形。外力对弹性体做的功储存 在弹性体内，称为变形能或应变能(strain energy)。
当外力逐渐减小时，弹性体变形逐渐恢复，所储存 的变形能被释放而做功。
4
非均匀（变形）杆伸长量的计算
F l
F l Fl EA
q
FN FN(x)
F
l
F
A A(x)
l F
F
E E(x)
l
5
对于各段伸长不均匀的杆，有
x(x)
A x
O
x
l(x)
(x) FN(x).x
E(x).A(x)
x0
x dx
A点沿x方向的线应变
x
lim(x)d(x)
x0 x
dx
l FN(x) dx E(x).A(x) 任何单轴情 形都适用
FN1 450
wenku.baidu.comFN2 P
l1
Pl EA
(+)
l2
2P 2l 2Pl(-) EA EA
18
450 l2
Ax l1 Ay
450
l1
Pl EA
(+)
l2
2P 2l 2Pl(-) EA EA
变形协调关系的建立
Ax
l1
Pl () EA
A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
A y ( l2 A xc o s4 5 0 )s in 4 5 0 Ay 2l2Ax
y
Pl 2EA
27
§2-8 应力集中的概念
应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中常见的问题
开有圆孔的板条
F
带有切口的板条
F
max
max
F
F
F
F
28
因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，
称为应力集中。
应力集中因数：
K max nom
max
max ：发生应力集中的截面上的最大应力
l
FN (x).dx E(x).A(x)
6
对于各段伸长不均匀的杆:
q
l F
F
l
l F
l
F
l l FN(x) dx 0 EA
F
l
l
FN
dx
0 EA(x)
F
l
l
FN
dx
0 E(x)A
F
l Fl
EA
7
积分式改写
l
FN(x) dx E(x).A(x)
1 E(x)
.
FN (x)dx A(x)
23
应变能计算的一般情况
分段直杆 变截面直杆
V
i
FNi 2li 2Ei Ai
V
l
FN2
dx
0 2E(x)A(x)
变截面且变外力直杆
V
l FN(x)2 dx 0 2E(x)A(x)
24
应变能计算的一般情况（续）
由应变能密度定义（单位体积变形能）：
v
dV dV
dV vdV
V V vdV
20
外力对弹性体做的功
W ?
F
W 1 Fl
2
l Fl
EA
W
l
F
O
l
W F 2l 2 EA
21
拉（压）杆的应变能
W F 2l 2 EA
功能原理 W＝V
V
F 2l 2 EA
l Fl
EA
V
EAl2
2l
22
应变能密度：单位体积变形能
vV
1 2
Fl
1
V Al 2
E
v 1 2
2E
v 1 E 2
2
(x)dx E (x)
(x)dx
l (x)dx ☺ 任何单轴情形都适用
x
lim(x)d(x)
x0 x
dx
积分 d(x)xdx
8
关于拉（压）杆伸长和缩短的计算公式：
l Fl EA
l
FN(x) dx E(x).A(x)
l(x)dxE (x)dx
9
例题：
x
已知：EA， L及q。
求：B点的位移。
W 1 P
2
Pl
2EAcos2
26
应变能计算的应用（2）
例：图示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，P、l、EA
皆为已知。求C点的垂直和水平位移。 x ?
FN1
FN3
P, 2
FN 2 0
系统应变能
V
3
FNi2li
P
22
2lP2l
i12EiAi
2EA 4EA
W
1 2
P y
V
FN A2
V 2E
dV
V
V
2
2E
dV
V V 12dV
V l
FN A2
A 2E
dAdl
V
dl FN2
l 2EA
25
应变能计算的应用（1）
例：求图示结构结点A的垂直位移。 解：
FN1 FN2
P
2cos
系统应变能
EA ① ② EA
l l
V i212FE Nii2A lii ElA(2co Ps)2
受力分析如图
F N 1 c o s F N 2c o s P 0
F N 1sinF N 2sin0
解得
FN1
FN2
P
2cos
EA ①
l
FN1
② EA
l
FN2
14
两杆的伸长为：
l1
l2
FN1l EA
Pl
2EA cos
A点的最终位置可这样看：
①②
EA
EA
l l
将两杆分别先拉长l后再组装于一起。
1
2
3
F
F
0.2m
0.4m
0.2m
解: F 2A2 30252N18.75kN
3
1
2
3
F
F
0.2m
0.4m
0.2m
lFN1l1FN2l2＋FN3l3 EA1 EA2 EA3
F18.75kN
18750 0.2 0.4 0.2
210109(0.0220.02520.0122)
4
4
0 .2 7 2m m (缩 短 ）
F
nom ：同一截面上按净面积算出的平均应力
29
应力集中因数的大小：
900: q11 2a r2 22 3a r4 4
00:
q2ar223ar22
材料力学课件第4讲 Chapter2-3第二 章 拉压变形及算例应变能
内容
§2-4 拉（压）杆的变形
关于拉（压）杆纵向变形和横向收缩的计算 （算例）
§2-5 拉（压）杆的应变能 §2-8 应力集中的概念
2
§2-4 拉（压）杆的变形
例：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长 a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆 内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l。
x
l
l 0(x)dx
o
l (x) dx l FN (x) dx
0E
0 EA
l qx dx
ql2 ( )
0 EA
2EA
q EA, L
l
B
10
关于横向变形的计算
11
材料弹性模量为E，泊松比为
F
F
D
d
d
ab
l
l2
l1
12
例：求图示结构结点A的垂直位移。
EA ① ② EA
l l
13
解: 先求各杆的内力
关于微小变形问题的处理
l1
A
15
B
C
A
A A’
A
小变形假设的处理 方l 1 法
l2
变形前后角度视为不变
A’
Acosl1
A
l1
cos
Pl
2EAcos2
16
例：求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
EA, l 450
P EA
17
解: 受力分析如图
将力直接分解
FN1 P(拉) FN2 2P(压)