第14章 线性动态电路的复频域分析

0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f
(t)dt
0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
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例 求: f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos
t]
L1
d dt
(sin(
t
)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
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(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
pi )
lim N '(s)(s pi ) N (s)
spi
D' (s)
Ki
N ( pi ) D' ( pi )
例 求 F(s) 4s 5 的原函数
s2 5s 6
解法1
F (s) 4s 5 K1 K2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 K1 s 3 S2 3
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待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2sKn pn源自方法2求极限的方法
Ki
lim
spi
N (s)(s D(s)
pi )
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Ki
lim
spi
N (s)(s D(s)
2πj c j
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数
(3)把F(s)分解为简单项的组合
F(s) F1(s) F2 (s) Fn (s)
部分分式 展开法
f (t) f1(t) f2(t) fn (t)
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F (s)
N (s) D(s)
a0 s m b0 s n
estdt
0
A1
f1 (t )e st dt
0
A2
f2 (t)estdt
A1F1(s) A2F2 (s)
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结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各
函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t) K(1 eat )的象函数
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则：
L[
f1(t)
f2 (t)]
L
t 0
f1(t
)
f2 ( )d
F1(s)F2 (s)
证
L[ f1(t) f2 (t)]
est
0
t 0
f1(t ) f2 ( ) d dt
0
est
0
f1(t ) (t ) f2( ) d dt
令
x t
0
0
f1(x) (x) f2 ( )es esx ddx
则：L
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
证
L
df (t) dt
0
0
df (t)estdt dt
estdf (t)
0
est f (t)
f (t)(sest )dt
0
0
f (0 ) sF (s) 若足够大
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例 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t) cos( t)的象函数
4s 5 K2 s 2 7 s3
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解法2
K1
N ( p1) D' ( p1)
4s 5 2s 5
s 2
3
K2
N( D'(
p2 ) p2 )
4s 5 2s 5
s 3
7
f (t) 3e2t (t) 7e3t (t)
f (t) N ( p1) e p1t N ( p2 ) e p2t N ( pn ) e pnt
sT
F1 ( s)
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L[ f
(t
)]
1
1 esT
F1(s)
对于本题脉冲序列
F1 (s)
f1 (t ) (1 s
(t)
1 esT / 2 s
)
(t
T 2
)
1 L[ f (t)] 1 esT
(1 1 esT/2) ss
1 s
( 1
1 esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷积定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
dt
s
推广：L[d2 f (t)] dt 2
s[sF (s)
f
(0
)]
f
' (0
)
s2F(s) sf (0 ) f ' (0 )
L[
d
nf dt
(t
n
)
]
snF(s)
s n1
f
(0
)
f
n1(0
)
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3.积分性质
若：L[ f (t)] F(s)
则：L[ t f ( )d ] 1 F(s)
f(t) =(t)时此项 0
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如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
f (t) Mect t [0,)
f (t)estdt Me(sc)tdt M
0
0
sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以
找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。
③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)
或：K1
N (s) D' (s)
s 2s 2
s1 j2
0.5
2 45
f (t) 2et cos(2t 45 )
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(3)若 D(s) 0具有重根
F (s)
a0 s m
a1sm1 (s p1)n
am
F (s)
K11 s p1
K12 (s p1)2
第14章 线性动态电路的 复频域分析
14.1 拉普拉斯变换的定义 14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 14.9 极点、零点与频率响应
0
f1(x) (x)esxdx
0
f2 ( )es
d
F1(s)F2(s)
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14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 f (t) 1 c j F (s)estds
...
L[ f1(t)] F1(s)
o T/2 T
t
f (t) f1(t) f1(t T ) (t T )
f1(t 2T ) (t 2T )
L[ f (t)] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
F1(s)[esT e2sT e3sT ]
1
1 e
D' ( p1)
D' ( p2 )
D' ( pn )
原函数的一般形式
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(2)若 D(s) 0具有共轭复根
p1 p2
j j
F(s) N(s)
N (s)
D(s) (s j)(s j)D1(s)
K1 K2 N1(s)
s j s j D1(s)
K1，2
F(s)(s j) s j
N(s) D(s)
s j
注意 K1、K2也是一对共轭复数
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设：K1 K ej K2 K e- j f (t) (K1e(j)t K2e(j)t ) f1(t)
( K ej e( j)t K e e j ( j)t ) f1(t) K e [e t j(t ) e j(t ) ] f1(t)
解
F(s) L[K]- L Keat
K - K Ka
s s a s(s a)
例2 求: f (t) sin( t)的象函数
解
F(s) L sin (ωt)
L
1 2j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
s
1
j
s
1
j
s2
2
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2. 微分性质
若： Lf (t) F(s) 利用 udv uv vdu
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
F (s) f (t)estdt
0
f (t)
1
c j F (s)estds
2πj c j
正变换 反变换
简写 F(s) L f (t) ， f (t) L-1 F(s)
s 复频率 s j
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注意
① 积分域
0 00
a1sm1 am b1sn1 bn
(n
m)
讨论
象函数的一般形式
(1) 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将F(s)分解为： 待定常数
F (s) K1 K2 Kn
s p1 s p2
s pn
f (t) K1e p1t K2e p2t Kne pnt
1.线性性质
若 L[ f1(t)] F1(s) , L[ f2(t)] F2(s)
则 L A1 f1(t) A2 f2(t) A1L f1(t) A2L f2(t)
A1F1(s) A2F2 (s)
证
L A1 f1(t) A2 f2 (t)
0
A1 f1(t) A2 f2 (t)
本章重点
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重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电
路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
返回
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把 时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问 题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微 分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉 氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
2 K et cos(t ) f1(t)
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例
求
F (s)
s2
s3 2s 5
的原函数f
(t)
解 s2 2s 5 0 的根： p1,2 1 j2
K1
s s (1 2j)
s1 j2
0.5 j0.5 0.5
2 45
K2
s
s (1 2j)
s1 j2
0.5
245
L[
(t)dt]
0
11 ss
1 s2
L[t 2
(t)]
L[2
t 0
tdt]
2 s3
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4.延迟性质
若： L[ f (t)] F(s) 则： L[ f (t t0) (t t0)] est0 F(s)
证
L f (t t0) (t t0)
0
f (t t0 ) (t t0 )estdt
t0
f
(t
t0
)estdt
令 t t0
f ( )es( t0 )d est0
0
f ( )es d
0
est0 F (s)
est0 延迟因子
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例1 求矩形脉冲的象函数
解 f (t) (t) (t T ) 根据延迟性质 F (s) 1 1 esT
ss
例2 求三角波的象函数
原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函数的拉氏变换
F (s) f (t)estdt 0
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t) (t)
F (s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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解 f (t) t[ (t) (t T )]
f(t) 1
o
Tt
f(t) T
o
T
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
s
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例3 求周期函数的拉氏变换
f(t) 1
解 设f1(t)为一个周期的函数
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换
。 。
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F(s) f (t)estdt 0 f (t)estdt f (t)estdt
0
0
0
②象函数F(s) 存在的条件：
f (t)est dt 0
[0 ,0＋]区间
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例 一些常用的变换
乘法运算变换
①对数变换 A B AB 为加法运算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
时域的正弦运算 变换为复数运算
相量 I1 I2 I
拉氏变换
对应
f(t)(时域原函数)
F(s)(频域象函数)
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2. 拉氏变换的定义
(2)单位冲激函数的象函数
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t) estdt 0 (t)estdt
0
0
es0 1
(3)指数函数的象函数 f (t) eat
F(s) L eat
eatestdt
0
s
1
a
e( s a )t
0
1 sa
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14.2 拉普拉斯变换的基本性质