状态重构问题与Luenberger状态观测器

5.5 状态重构问题与Luenberger状态观测器

前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ)问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在5.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。

迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。

观测器分为

全维状态观测器

降维状态观测器

最小阶状态观测器或最小阶观测器

5.5.1 问题的提法

在下面有关状态观测器的讨论中，我们用x ~

表示被观测的状态向量。在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。

考虑如下线性定常系统

Bu Ax x += (5.27)

Cx y =

(5.28)

假设状态向量x 可由如下动态方程

)~(~~x C y K Bu x A x e -++=

(5.29)

中的状态x ~

来近似，则该式表示状态观测器，其中e K 称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为y 和u ，

输出为x ~

。式（5.29）中右端最后一项包括可量测输出y 与估计输出x ~

C 之差的修正项。矩阵e K 起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量x ~

。当此模型使用的矩阵A 和B 与实际系统使用的矩阵A 和B 之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。图5.5所示为带全维状态观测器的系统方块图。

图5.5 全维状态观测器方块图

5.5.2 全维状态观测器的误差方程

在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（5.27）和（5.28）定义。观测器的方程由式（5.29）定义。

为了得到观测器的误差方程，将式（5.27）减去式（5.29），可得

)~(~~x C Cx K x A Ax x x e ---=- )~)((x x C K A e --= (5.30)

定义x 与x ~

之差为误差向量，即 x x e ~-=

则式（5.30）可改写为

e C K A e e )(-= (5.31)

由式（5.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵C K A e -的特征值决定。如果矩阵C K A e -是稳定矩阵，

则对任意初始误差向量)0(e ，误差向量)(t e 都将趋近于

零。也就是说，不管)0(x 和)0(~

x 的值如何，)(~t x 都将收敛到)(t x 。如果所选的矩阵C K A e -的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量)(t e 都将

以足够快的速度趋近于零 (原点)，此时将)(~

t x 称为)(t x 的渐近估计或重构。

如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择e K ，使得C K A e -具有任意的期望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵e K ，以便产生期望的矩阵C K A e -。

5.5.3 对偶问题

全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵e K ，使得由式（5.31）定义的误差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵C K A e -的特征值决定）。因此，全维观测器的

设计就归结为如何确定一个合适的e K ，使得C K A e -具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与5.2节讨论的极点配置相同的问题。

考虑如下的线性定常系统

Cx

y Bu Ax x =+=

在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统

z

B n

C z A z T T T =+=υ

的极点配置问题。假设控制输入为

Kz -=υ

如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K ，使得反馈闭环系统的系统矩阵K C A T T -得到一组期望的特征值。

如果1μ,2μ,…,n μ是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的i μ作为其对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而

)())(()(21n T

T s s s K C A sI μμμ---=--

注意到K C A T T -和C K A T -的特征值相同，即有 )()(C K A sI K C A sI T

T T --=--

比较特征多项式)(C K A sI T

--和观测器的系统矩阵（参见式（5.31））的特征多项式)(C K A sI e --，可找出e K 和T K 的关系为 T e K K =

因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即 T e T T T K K C C B B A A ,,,

在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵K ，然后利用关系式T

e K K =，确定出原系统的观测器增益矩阵K 。

5.5.4 可观测条件

如前所述，对于使C K A e -具有期望特征值的观测器增益矩阵e K 的确定，其充要条件为原给定系统的对偶系统

v C z A z T T +=

是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为

])([1T n T T T T C A C A C -

的秩为n 。而这正是由式(5.27)和(5.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味着。由式（5.27）和(5.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。