函数及其表示方法(习题)

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函数概念及其表示方法测试题

函数的概念及表示方法测试题A 卷基础在线一．填空题（本大题共10小题，每题5分） 1. 若函数2()2f x x x =-，则)3(f =________． 1.3 提示：2(3)3233f .2.函数422--=x x y 的定义域________．515050()2x t2.2x x提示：2402x x，故定义域为2x x .. ①29()3x f x x ，()3g x x ；②2()()f x x ，2()g x x ；③21()3f x x；242()3x g x xx；④2()()f x x ，()g x x .3.提示：①29()3,(3)3x f x x x x ，()3g x x 定义域为全体实数，两个函数定义域不同；②2()()(0)f x x x ，2(),g x x x xR ，两函数解析式不同；③21()()3f x x R x，24221()(0)33x g x xx x x 两函数定义域不同；④两函数解析式相同，定义域也相同故两函数为同一函数.4. 若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________． 4. [0,5] 提示：由题意可知204x ，则2015x ，故函数()f x 的定义域为[0,5].5. 下列图象中能表示函数y ＝()f x 的有．① ② ③ ④5.①④．提示：根据函数的定义可判断。

6.函数221,[1,3)y x x x =--∈-的值域为_______． 6. [2,2] 提示：该二次函数开口方向向上，对称轴为1x ，故函数的最小值为2，当1x时，函数有最大值为2，故函数的值域为[2,2].7.定义运算,,,,a ab abb ab 则对任意x R ，函数()1f x x 的解析式为 .7. 1,1(),1x f x x x提示：若1x ，则()1f x ；若1x ，则()f x x .8.若函数2()1f x x ，()2g x x，则[(2)]f g .8.17 提示：由题意(2)224g ，则2[(2)](4)4117f g f .9.若函数()f x 满足()()()f x f y f xy ，且(3)f a ，(2)f b ，则(36)f .9.22a b 提示：由题意知(6)(2)(3)f f f ab，则22(36)(6)(6)f f f ab ab a b .10.若(2),2()1,2f x x f x xx，则(0)f 的值为 .10.1 提示：由题意(0)(02)(2)211f f f .二．解答题（本大题共3小题）13.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后以50千米/小时的速度返回A 地，求汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式. 13.解析：由题意当52t时，60x t ，当5722t时，则150x ，当71322t时，715050()325502xtt 。

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意数 x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”，用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的；当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =，当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

第08讲函数的概念及其表示方法(原卷版)

第08讲函数的概念及其表示方法1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的，如果对于集合A 中的一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：、、．(2)如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数相等． 3．函数的表示法4若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．5.常见函数的定义域：(1)分式函数中分母 . (2)偶次根式函数被开方式 . (3)一次函数、二次函数的定义域为 .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cosx，定义域均为 . (5)y ＝tan x 的定义域为(6)函数f (x )＝x α的定义域为 .【2018年新课标1卷文科】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．1、下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )2、下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝xB ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 23、函数的定义域是（） A ．B ．C ．D ．4、 (多选)(2022·雅礼中学高三月考)下列说法中，正确的有( )A. 式子y ＝x －1＋－x －1可表示自变量为x ，因变量为y 的函数B. 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个C. 若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝1 D. f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数考向一函数的概念例1、（1）下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )()()2lg 31f x x =++1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）(多选)下列各组函数是同一函数的为( ) A.f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1 B.f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C.f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0D.f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．A ．f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0B ．f (x )＝（2x ＋1）2与g (x )＝|2x ＋1|；C ．f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；D ．f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.变式2、已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A 到值域B 的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．考向二函数的定义域例1、求下列函数的定义域： (1) f (x )＝lg (5－x 2)； (2) f (x )＝1ln (x －1).变式1、（1）函数f (x )＝ln(4x －x 2)＋1x －2的定义域为( )A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) （2）.函数f (x )＝ln x ·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22－x 的定义域是( )A.[1，2]B.[2，＋∞)C.[1，2)D.(1，2]变式3、.已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是( )A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]方法总结：1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤g(x)≤b 求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]上的值域.考向三函数的解析式例2、 (1) 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式；(2) 已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，求当－1≤x ≤0时，函数f (x )的解析式；(3) 已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式．变式1、(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式； (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．变式2、求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式.方法总结：函数解析式的常见求法函数解析式的求法主要有以下几种：(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，其中a ，b ，c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a ，b ，c 即可．(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫1x (或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．考向四分段函数例3、（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.（2）、已知()()()()3,94,9x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩则f (7） =______.（3）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．（4）、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．变式1、设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___．方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．1、设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．122、设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.3、(2022·泰州中学期初考试)下列关于x ，y 的关系中为函数的是（） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≤1，log 12x ，x ＞1，f (x 0)＝－2，则x 0＝．5、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()()22101x x f x g x a a a a -+=-+>≠,，则()1f =（）A. 1-B. 0C. 1D. 26、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)设函数y ＝f (x )定义域为D ，若存在x ，y ∈D ，且x ≠y ，使得2f (x ＋y 2)＝f (x )＋f (y )，则称函数y ＝f (x )是D 上的“S 函数”，下列函数是“S 函数”的是A ．y ＝2xB ．y ＝x －sin x ＋1C ．y ＝ln xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞01，x ≤07、已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.。

高中试卷-3.1 函数的概念及其表示方法(含答案)

3.1 函数的概念及其表示方法1. 函数概念的理解；2. 求函数的定义域；3. 求函数值（值域）；4. 函数的三种表示方法；5. 求函数解析式；6. 分段函数的概念；7.分段函数的求值；8.函数的图象及应用；9. 分段函数与方程、不等式综合问题一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）设()1,01,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<î，则()()0f f 等于（）A ．1B ．0C ．2D ．-1【答案】C 【解析】1,0()1,01,0x x f x x x +>ìï==íï-<îQ\ (0)1f =,((0))(1)112f f f ==+=.故选: C.2．（2021·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y =有相同定义域的是（）A．()f x =B ．1()f x x=C ．()||f x x =D．()f x =【答案】A 【解析】函数y =的定义域为{}0x x >；函数()f x ={}0x x >；函数1()f x x=的定义域为{}0,x x x ¹ÎR ；函数()f x x =的定义域为R ；函数()f x =定义域为{}1x x ….所以与函数y =有相同定义域的是()f x =.故选：A.3．（2021·浙江高一期中）函数1()f x x=的定义域是( )A ．R B ．[1,)-+¥C ．(,0)(0,)-¥+¥U D ．[1,0)(0,)-+¥U 【答案】D 【解析】由题意可得：10x +³，且0x ¹，得到1x ³-，且0x ¹，故选：D4．（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为( )A ．－2B ．6C ．1D ．0【答案】B 【解析】令1x t -=，则1x t =+,()()213f t t \=+-,()()213f x x \=+-()()222136f \=+-=,故选B.5．（2021·全国高一课时练习）如果1f x æöç÷èø＝1x x-，则当x≠0，1时，f(x)等于（）A ．1xB ．11x -C ．11x-D ．11x-【答案】B 【解析】令1x＝t ，则x ＝1t ()1t ¹，代入1f x æöç÷èø＝1x x -，则有f(t)＝111t t-＝11t -()1t ¹.即()()111f x x x =¹-.故选：B.6．（2021·全国高一课时练习）已知函数y ＝21,02,0x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C 【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-.故选：C.7．（2021·全国高一课时练习）设函数若f （a ）＝4，则实数a ＝（）A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【答案】B 【解析】当0a £时，()4f a a =-=，解得4a =-；当0a >时，24()f a a ==，解得2a =±，因为0a >，所以2a =，综上，4a =-或2，故答案选B 8．（2021·全国高一）函数()f x x =+的值域是（）A ．1,2éö+¥÷êëøB ．1,2æù-¥çúèûC ．(0,)+¥D ．[1,)+¥【答案】A【解析】t =，且0t ³，则212t x +=，函数转化为2211(1)22t y t t +=+=+由0t ³，则12y ≥，即值域为1,2éö+¥÷êëø故选：A.9．（2021·浙江高一课时练习）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（）A ．()f x x =B ．()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．()f x x=-【答案】C 【解析】A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=，C 中()()2212f x x f x =+¹，D 中()()222f x x f x =-=10．（2021·浙江高一课时练习）设函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数()(2)(01)f x a f x a a +++<<的定义域为（）A ．1,22a a -éù-êúëûB ．,12a a éù--êúëûC ．[,1]a a --D ．1,2a a -éù-êúëû【答案】A 【解析】由1011021220101a x ax a a a x a x a a --ì+ìï-ïï+Þ-ííïï<<î<<ïî……………………得122a a x --……故选：A 二、多选题11．（2021·广东禅城佛山一中高一月考）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】在A ，D 中，对于定义域内每一个x 都有唯一的y 与之相对应，满足函数关系，在B ，C 中，存在一个x 有两个y 与x 对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.12．（2021·历下山东师范大学附中高一学业考试）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（）A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x=D ．()39f =【答案】AB 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=，可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确；故选：AB.13．（2021·江苏姑苏苏州中学高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()||f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >ì=í-<îD ．()f x =()g x =【答案】AC 【解析】对A, ()g x x ==,故A 正确.对B, ()1f x x =+定义域为R ,21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ¹,故B 错误.对C, 1,0()1,0x xf x x x >ì==í-<î,故C 正确.对D, ()f x =210x -³,解得1x £-或1x ³.()g x =定义域为1010x x +³ìí-³î即1x ³.故D 错误.故选：AC14．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +£-ì=í-<<î，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-¥C ．()13f =D ．若()3f x =，则x E.()1f x <的解集为()1,1-【答案】BD 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(),2-¥，故A 错误；当1x £-时，()f x 的取值范围是(],1-¥，当12x -<<时，()f x 的取值范围是[)0,4，因此()f x 的值域为(),4-¥，故B 正确；当1x =时，()2111f ==，故C 错误；当1x £-时，23x +=，解得1x =（舍去），当12x -<<时，23x =，解得x =或x =，故D 正确；当1x £-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得11x -<<，因此()1f x <的解集为()(),11,1-¥--U ；故E 错误.故选：BD.三、填空题15．（2021·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________.①，ÎÎA R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:®=f x y .【答案】②【解析】①，ÎÎA R B R ，221x y +=，存在x 对应两个y 的情况，所以不是A 到B 的函数；②符合函数的定义，是A 到B 的函数；③，==A R B R ，1:2®=-f x y x ，对于集合A 中的2x =没有对应y ，所以不是A 到B 的函数；④，==A Z B Z ，:®=f x y ，对于集合A 中的{|0,}x x x z £Î没有对应y ，所以不是A 到B的函数.故答案为：②16．（2021·浙江南湖嘉兴一中高一月考）已知，若()()10f f a =，则a =______________.【答案】32【解析】0x >时，()20f x x =-<，∴由()10f x =知0x £，∴2110x +=，3x =-，而2()11f x x =+³，因此由()3f a =-知0a >，即23a -=-，32a =．故答案为：32．17．（2021·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ³ì=í<î则不等式()2xf x x +£的解集是________.【答案】{}|1x x £【解析】当0x ³时，()1f x =，代入()2xf x x +£，解得1x £，∴01x ££；当0x <时，()0f x =，代入()2xf x x +£，解得2x £，∴0x <；综上可知{}|1x x £.故答案为：{}|1x x £.四、双空题18．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝11x+ (x≠－1)，g(x)＝x 2＋2，则f （2）＝________，f(g （2）)＝________.【答案】13 17【解析】因为()11f x x =+，故可得()123f =；又()22g x x =+，故可得()22226g =+=；故()()()1267f g f ==.故答案为：13；17.19．（2021·安达市第七中学高一月考）设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知函数[]()f x x x =-，则(0.5)f -=________ ；其值域为_________.【答案】0.5 [)0,1 【解析】作出函数[]()f x x x =-的图像，如图所示，由图可知(0.5)0.5(1)0.5f -=---=，其值域为[)0,1，故答案为(1). 0.5 (2). [)0,120．（2021·浙江高一期中）设函数()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，则((0))f f =____，使得()4f a a ³的实数a 的取值范围是_____．【答案】4 1a £ 【解析】因为()(2141x f x x ì<ï=í³ïî，所以()01f =，因此((0))(1)4f f f ==；当1a <时，()4f a a ³可化为2(1)4+³a a ，即2(1)0a -³显然恒成立，所以1a <；当1a ³时，()44f a a =³，解得1a =；综上，1a £.故答案为4；1a £21．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知函数22,(),x x x af x x x a ì-+£=í>î.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】R []0,1【解析】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ì-+£=í>î当1x >时，()1f x x =>当1x £时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+£所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R+¥-¥=U （2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+³，即01x ££时，所以当01a ££时，函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+£的图像与直线y a =无公共点，因此实数a 的取值范围是[]0,1故答案为：(1). R (2). []0,1五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y ＝3－12x ；（2）y ＝（3）y（4）y 1x.【答案】（1）R ；（2）10,7éùêúëû；（3）()()2,11,---+¥U ；（4）()3,00,22éö-÷êëøU .【解析】（1）因为函数y ＝3－12x 为一次函数，所以该函数的定义域为全体实数R ；（2）由题意可得0170x x ³ìí-³î，解得107x ££，所以该函数的定义域为10,7éùêúëû；（3）由题意得1020x x +¹ìí+>î，解得2x >-且1x ¹-，所以该函数的定义域为()()2,11,---+¥U ；（4）由题意得230200x x x +³ìï->íï¹î，解得322x -£<且0x ¹，所以该函数的定义域为()3,00,22éö-÷êëøU .23．（2021·全国高一课时练习）已知2,11()1,11,1x x f x x x ì-££ï=>íï<-î（1）画出f(x)的图象；（2）若1()4f x =，求x 的值；（3）若1()4f x ³，求x 的取值范围.【答案】（1）作图见解析；（2）12x =±；（3）11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø【解析】（1）函数2y x =的对称轴0x =，当0x =时，0y =；当1x =-时，1y =；当1x =时，1y =，则f(x)的图象如图所示.（2）1()4f x=等价于21114xx-££ìïí=ïî①或1114x>ìïí=ïî②或1114x<-ìïí=ïî③解①得12x=±，②③的解集都为Æ∴当1()4f x=时，12x=±.（3）由于1124fæö±=ç÷èø，结合此函数图象可知,使1()4f x³的x的取值范围是11,,22æùéö-¥-È+¥ç÷úêèûëø24．（2021·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）12()(0) f f x x xxæö+=¹ç÷èø.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）2()(0)33xf x xx=-¹【解析】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得22 329 aa b=ìí+=î∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解1 ()2f x f xxæö+=ç÷èøQ，将原式中的x与1x互换，得112()f f xx xæö+=ç÷èø.于是得关于f(x)的方程组()()12112f x f x x f f x x x ìæö+=ç÷ïïèøíæöï+=ç÷ïèøî解得2()(0)33x f x x x =-¹.25．（2021·全国高一课时练习）已知函数22,2()2,2x x f x x x £ì=í+>î（1）若0)(8f x =，求0x 的值；（2）解不等式()8f x >.【答案】（1）0x =；（2）{|>x x .【解析】（1）当02x £时，由02=8x ，得04x =，不符合题意；当02x >时，由2028+=x，得0x =0x =舍去)，故0x =（2）()8f x >等价于228x x £ìí>î ——①或2228x x >ìí+>î——②解①得x f Î，解②得>x ，综合①②知()8f x >的解集为{|>x x .26．（2021·全国高一）已知(1)f x +的定义域为(2,4)，（1）求()f x 的定义域；（2）求(2)f x 的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）35,22æöç÷èø.【解析】（1）)1(f x +Q 的定义域为(2,4)，24x \<<，则315x <+<，即()f x 的定义域为(3,5)；（2）()f x Q 的定义域为(3,5)；\由325x <<得3522x <<，即(2)f x 的定义域为35,22æöç÷èø．27．（2021·全国高一）若函数()f x =的定义域为R ，则m 的取值范围为多少？【答案】112mm ìü>íýîþ∣.【解析】Q 函数()f x =的定义域为R ，230mx x \++¹，若0m =，则3x ¹-，不满足条件．，若0m ¹，则判别式1120m D =-<，解得112m >，即1|12m m ìü>íýîþ。

高一数学：函数及其表示(导学案含答案)

第一节函数及其表示1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[答案] (1)D (2)B 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B考点二求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A ．－2B ．2C ．3D ．－3[答案] B考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[答案] D[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________. 解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2.答案：23．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43 D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝ln xC ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( ) A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 解析：选B 9．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．答案：(0,1]10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 答案：－211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。

专题函数的概念及其表示方法练习题

【基础巩固】1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．【答案】[－3,6)【解析】要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．函数f (x )＝ln 2x －x2x －1的定义域为________．【答案】(0,1)∪(1,2)【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ＜2，故所求函数定义域为(0,1)∪(1,2)．3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________. 【答案】74【解析】令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74. 4．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.【答案】x ＋15．已知f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝________. 【答案】1【解析】令3x －1＝－710，得x ＝10，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ， x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．【答案】－52 [－3，＋∞) 【解析】f (2)＝12，则f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)，所以f (x )∈[－3，＋∞)．7．在函数①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x ；④y ＝1x 中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的有________(填序号)．【答案】④【解析】函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ；y ＝lg x 的值域为R ，y ＝1x 的定义域和值域为(0，＋∞)．【能力提升】8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号)．①y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10；②y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310；③y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410；④y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510. 【答案】②9．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．【答案】－25【解析】由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 10．设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的【解析】式可以是________(填序号)．①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝e x －1； ③f (x )＝x ＋4x；④f (x )＝tan x . 【答案】③11．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．【答案】f (x )＝－log 2 x【解析】根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【思维拓展】13．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.【答案】－34【解析】当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34. 14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 【答案】715.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧ 402200＋40m ＋n ＝，602200＋60m ＋n ＝，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤，得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时．。

函数表示方法练习题

函数表示方法练习题在数学学习过程中，函数表示方法是一个重要的概念。

通过不同的方式表示函数，可以更好地理解函数的性质和特点。

本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固函数表示方法的理解。

1. 设函数f(x)在区间[0, 2]上连续，且f(0) = 2, f(2) = 6。

试确定f(x)的一个表示方法。

解析：根据所给条件，我们可以确定函数f(x)的两个点：(0, 2)和(2, 6)。

因为函数f(x)在[0, 2]上连续，我们可以使用线性插值的方法得到函数f(x)的表示方法。

线性插值的思想是通过已知点之间的线性关系来表示函数。

由于函数f(x)在(0, 2)和(2, 6)两点上的斜率相同，我们可以得到函数f(x)的表示方法为f(x) = 2 + (x-0) * (6-2) / (2-0) = 2 + 2x。

2. 设函数g(x)的定义域为实数集R，满足g(x + 2) = 2g(x) + 1。

试确定g(x)的一个表示方法。

解析：我们可以通过观察左边和右边的函数式来寻找函数g(x)的表示方法。

注意到g(x + 2)的形式与g(x)相似，我们可以猜测g(x) = 2g(x-2) + 1。

为了验证这个猜测，我们将它代入原函数式中：左边：g(x + 2) = 2g(x + 2 - 2) + 1 = 2g(x) + 1右边：2g(x) + 1由于左边和右边相等，我们可以得出g(x) = 2g(x-2) + 1是函数g(x)的一个表示方法。

3. 设函数h(x)在定义域[1, 3]上连续，且满足h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4。

试确定h(x)的一个表示方法。

解析：由所给条件，我们可以确定函数h(x)的三个点：(1, 2), (2, 3)和(3, 4)。

因为函数h(x)在[1, 3]上连续，我们可以使用二次插值的方法得到函数h(x)的表示方法。

二次插值的思想是通过已知点之间的二次曲线来表示函数。

我们可以构造二次多项式h(x) = ax^2 + bx + c，代入已知点进行求解：当x = 1时，2 = a + b + c (1)当x = 2时，3 = 4a + 2b + c (2)当x = 3时，4 = 9a + 3b + c (3)通过解这个线性方程组，我们可以得到a = 1, b = -3, c = 4。

(完整版)函数及其表示练习题及答案

i函数及其表示练习题一．选择题1函数满足则常数等于（）23(,32)(-≠+=xxcxxf,)]([xxff=cA B33-C D33-或35-或2. 已知，那么等于（）)0(1)]([,21)(22≠-=-=xxxxgfxxg21(fA B151C D3303．函数的值域是（）2y=A B[2,2]-[1,2]C D[0,2][4已知，则的解析式为（）2211(11x xfx x--=++()f xA B21xx+212xx+-C D212xx+21xx+-5．设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )()f x(A)是奇函数 (B)是奇函数()()f x f x-()()f x f x-(C) 是偶函数 (D) 是偶函数()()f x f x--()()f x f x+-6. 下列图中，画在同一坐标系中，函数与函数bxaxy+=2)0,0(≠≠+=babaxy的图象只可能是（）7．已知二次函数，若，则的值为（)0()(2>++=aaxxxf0)(<mf)1(+mfAl l ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关8. 已知的定义域为，则的定义域为（)(x f )2,1[-|)(|x f ）A ．B ．C ．D ．)2,1[-]1,1[-)2,2(-)2,2[-9. 已知在克的盐水中，加入克的盐水，浓度变为，将y 表示成x 的函x %a y %b %c 数关系式（）A ．B ．C ．D ．x b c ac y --=x cb ac y --=x a c b c y --=x ac cb y --=10．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=，那么等于（p q f =)3()72(f ）A ．B ．C ．D ．qp +qp 23+qp 32+23qp +11. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（A ）y ＝[10x ]（B ）y ＝[310x +]（C ）y ＝[410x +]（D ）y ＝[510x +]12.已知函数则()()2113,f x x x =+≤≤A ． B ．()()12202f x x x -=+≤≤()()12124f x x x -=-+≤≤C ． D ．()()12202f x x x -=-≤≤()()12104f x x x -=-≤≤13.函数的定义域为y =A ．B ．()4,1--()4,1-C ． D ．()1,1-(1,1]-14.设函数则的值为()221, 1,2, 1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A ．B ．C ． D.15162716-891815. 定义在上的函数满足R ()f x ()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=则等于（）()3f - A. 2 B. 3 C. 6 D ．916.下列函数中与函数有相同定义域的是（）y =A ．B 。

2023年中考数学----《函数基础知识--函数的三种表示方法》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----《函数基础知识--函数的三种表示方法》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 解析式法表达函数：根据题意列函数表达式。

函数表达式等号左边不能出现平方与绝对值以及正负号，右边不能出现正负号。

2. 列表法表达函数：表格中不同自变量不能对应同一函数值。

3. 图像法表达函数：①判断图像是否为函数图像，只需做一条与x 轴垂直的直线，看直线与图像的交点个数，若出现两个即两个以上的交点，则不是函数图像。

②函数图像与信息表达。

练习题1、（2022•益阳）已知一个函数的因变量y 与自变量x 的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）A ．y ＝2xB ．y ＝x ﹣1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2【分析】观察表中x ，y 的对应值可以看出，y 的值恰好是x 值的2倍．从而求出y 与x 的函数表达式．【解答】解：根据表中数据可以看出：y 的值是x 值的2倍．∴y ＝2x ．故选：A ．2、（2022•大连）汽车油箱中有汽油30L ．如果不再加油，那么油箱中的油量y （单位：L ）随行驶路程x （单位：km ）的增加而减少，平均耗油量为0.1L /km ．当0≤x ≤300时，y 与x 的函数解析式是（）A ．y ＝0.1xB ．y ＝﹣0.1x +30C ．y ＝x 300D ．y ＝﹣0.1x 2+30x【分析】直接利用油箱中的油量y ＝总油量﹣耗油量，进而得出函数关系式，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：y ＝30﹣0.1x ，（0≤x ≤300）．故选：B ．3、（2022•常州）某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（）A ．y ＝x +50B ．y ＝50xC ．y ＝x 50D ．y ＝50x 【分析】根据题意列出函数关系式即可得出答案．【解答】解：由城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，则平均每人拥有绿地y ＝．故选：C ．4、（2022•巴中）甲、乙两人沿同一直道从A 地到B 地，在整个行程中，甲、乙离A 地的距离S 与时间t 之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A ．甲比乙早1分钟出发B ．乙的速度是甲的速度的2倍C ．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟D ．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地【分析】根据函数图象得出甲比乙早1分钟出发，及列一元一次方程依次进行判断即可．【解答】解：A 、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；B 、由图可得，甲乙在t ＝2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；C 、设乙用时x 分钟到达，则甲用时（x +5+1）分钟，由B 得，乙的速度是甲速度的2倍，∴乙用的时间是甲用的时间的一半，∴2x ＝x +5+1，解得：x＝6，∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，∵甲比乙早1分钟出发，∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；故选：C．5、（2022•青海）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系采用排除法求解即可．【解答】解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．故选：B．6、（2022•河池）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．【解答】解：因为底部的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．故选：C．7、（2022•烟台）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图象如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（）A．12B．16C．20D．24【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所走路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所走路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．【解答】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120＝（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），∴20分钟父子所走路程和为20×60×（+2）＝6400（米），父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200×2+200＝600（米），父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400×2+200＝1000（米），父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600×2+200＝1400（米），…父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，令400n﹣200＝6400，解得n＝16.5，∴父子二人迎面相遇的次数为16，故选：B．8、（2022•潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（）A．海拔越高，大气压越大B．图中曲线是反比例函数的图象C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系【分析】根据图中数据，进行分析确定答案即可．【解答】解：海拔越高大气压越低，A选项不符合题意；代值图中点（2，80）和（4，60），由横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图象，B选项不符合题意；海拔为4千米时，图中读数可知大气压应该是60千帕左右，C选项不符合题意；图中曲线表达的是大气压与海拔两个量之间的变化关系，D选项符合题意．故选：D．9、（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】（1）根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；（2）根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；（3）根据矩形的面积公式判断即可．【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．故选：A．10、（2022•遵义）遵义市某天的气温y1（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y2与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义，根据数形结合的思想求解．【解答】解：因为极差是该段时间内的最大值与最小值的差．所以当t从0到5时，极差逐渐增大；t从5到气温为20℃时，极差不变；当气温从20℃到28℃时极差达到最大值．直到24时都不变．只有A符合．故选：A．11、（2022•哈尔滨）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（）A．150km B．165km C．125km D．350km【分析】由图象可知，汽车行驶10km耗油1L，据此解答即可．【解答】解：当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km），故选：A．12、（2022•临沂）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80km/hD．甲车比乙车早到B城【分析】根据“速度＝路程÷时间”，得出两车的速度，再逐一判断即可．【解答】解：由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；甲车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），乙车的平均速度是：240÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；设乙车出发x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，解得x＝3，60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选项A不合题意；由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．故选：D．13、（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，列出函数解析式，再选择出适合的图象．【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．14、（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速，加速、匀速的变化情况，进行选择．【解答】解：公共汽车经历加速、匀速、减速到站，加速、匀速的过程，故选：B．15、（2022•永州）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为y 米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据已知，结合各选项y与x的关系图象即可得到答案．【解答】解：根据已知0≤x≤30时，y随x的增大而增大，当30＜x≤90时，y是一个定值，当90＜x≤135时，y随x的增大而减小，∴能大致反映y与x关系的是A，故选：A．17、（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A ．50m /minB ．40m /minC ．7200m /minD ．20m /min【分析】根据小强匀速步行时的函数图象为直线，根据图象得出结论即可．【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m /min ），故选：D ．18、（2022•随州）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示时间，y 表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是（）A ．张强从家到体育场用了15minB ．体育场离文具店1.5kmC ．张强在文具店停留了20minD ．张强从文具店回家用了35min【分析】由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可．【解答】解：由图象知，A 、张强从家到体育场用了15min ，故A 选项不符合题意；B 、体育场离文具店2.5﹣1.5＝1（km ），故B 选项符合题意；C 、张强在文具店停留了65﹣45＝20（min ），故C 选项不符合题意；D 、张强从文具店回家用了100﹣65＝35（min ），故D 选项不符合题意；故选：B ．19、（2022•台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m ，600m ．他从家出发匀速步行8min 到公园后，停留4min ，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】在不同时间段中，找出y的值，即可求解．【解答】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，故选：C．20、（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．故选：A．21、（2022•江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20gD．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等【分析】利用函数图象的意义可得答案．【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，故选：D．22、（2022•重庆）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．【解答】解：观察图象，当t＝3时，h＝13，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，故选：D．23、（2022•西藏）周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝．【分析】根据函数图象可知，达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20＝0.3千米/分钟，20～35分钟休息，求出继续骑行9千米的时间即可．【解答】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20＝0.3（千米/分钟），休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3＝30（分钟），∴a＝35+30＝65．故答案为：65．。

函数的表示法习题及其答案

2.2-函数的表示法习题及其答案(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-函数的表示法一、选择题。

1．下列四种说法正确的一个是（ C ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ B ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y ==4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为（ D ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞D ． ]1,21()21,(-⋃--∞5．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）7．设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ C ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为（ A ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式（ B ）A ．x b c a c y --=B ．x c b a c y --=C ．x a c b c y --=D ．x ac cb y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ C ）日期:_______A ．)2,1[-B ．]1,1[-C ．)2,2(-D ．)2,2[- 二、填空题。

函数及其表示方法

已知f:x→-sinx是集合A［0,2π］到集合B={0， }的一个映射，则集合A中元素个数最多是____.
【解析】∵A［0,2π］，由-sinx=0，得x=0,π,2π;
由-sinx= ，得x= , .
∴A中最多有5个元素.
答案：5
（2010·杭州模拟）已知f(x- )=x2+ ,则函数 f(3)=____. 【解析】∵f(x- )=x2+ =(x- )2+2, ∴f(x)=x2+2,∴f(3)=32+2=11. 答案：11
2
解得a=2.
3
某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间
t（天）的函数关系如图所示.该商品在30天内日销售量
Q（件）与时间t（天）之间的关系如表所示：
根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）
【解析】（1）根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为P= t+20(0<t<25,t∈N*) t+100(25≤t≤30,t∈N*).
（2）描出实数对(t,Q)的对应点如图所示.从图象发现点(5,35),(15,25),(20,20),(30,10)在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l:Q=kt+b. 由点(5,35),(30,10)确定出l的解析式为Q=-t+40. 通过检验可知:点(15,25),(20,20)也在直线l上. ∴日销售量Q与时间t的一个函数关系式为 Q=-t+40(0<t≤30,t∈N*).

2023年高考数学一轮复习第二章函数1函数的概念及其表示练习含解析

函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0，所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________．答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________．答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]．教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析令1－2x>0，即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________．答案 [－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．题型二函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)，所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案－2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案－x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．题型三分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0；当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立，则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3，当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)，等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立；若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立；若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析令x 5＝100，则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________．答案 (1,4]解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0，又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析当x <0时，f (x )＝x ，代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0，解得－2≤x <0；当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______．答案 [2，＋∞) 解析当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________．答案 (2e ，＋∞)解析因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。

函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)

函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。

解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。

2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。

题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。

官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。

为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。

根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。

2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。

设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。

3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。

设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。

根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。

4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。

根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。

5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。

根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。

6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。

根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。

7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。

基本初等函数函数的概念及其表示方法

基本初等函数函数的概念及其表示方法A. 课时精练一、选择题1. 若函数y ＝4－x 2 的定义域为A ，函数y ＝ln (1－x )的定义域为B ，则A ∩B 等于( )A. (1，2)B. (1，2]C. (－2，1)D. [－2，1)2. 已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a 等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 83. 已知二次函数f (x )过原点，且f (1)＝4，f (－1)＝4，那么该二次函数的解析式为( )A. f (x )＝x 2＋3xB. f (x )＝4x 2C. f (x )＝2x 2＋2xD. f (x )＝－4x 24. (多选)给出以下四个判断，其中正确的是( )A. f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0 表示同一函数 B. 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个C. f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数D. 若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝05. 函数f (x )＝4－|x | ＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A. (2，3) B. (2，4] C. (2，3)∪(3，4] D. (－1，3)∪(3，6]二、填空题6. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ，那么函数y ＝f (x )的定义域为________，函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．7. (2019·南昌一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为________．8. 函数y ＝1－log 3x －12cos 2x －1的定义域是________．(用区间表示)三、解答题9. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(2) 若定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，求f (x ).10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，求满足f (x )＋f (x －12 )＞1的x 的取值范围．B. 滚动小练1. “x <－1”是“x 2－1>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________．3. 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．第7讲函数的单调性与最值课时1 函数的单调性一、选择题1. 已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )为减函数，则f (1)等于( )A. －3B. 13C. 7D. 由m 而定2. 已知函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，恒有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0成立．若a ＝f (log 47)，b ＝f (log 23)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. c ＜b ＜aB. b ＜a ＜cC. b ＜c ＜aD. a ＜b ＜c3. (2019·茂名二模)若函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝2－f (x )在R 上为减函数D. y ＝－[f (x )]3在R 上为增函数4. (多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b>0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 ≥f （x 1）＋f （x 2）2 成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( )A. f (x )＝3x ＋1B. f (x )＝－2x －1C. f (x )＝x 2－2x ＋3D. f (x )＝－x 3＋4x －3，x ∈(－∞，1)5. (2019·太原一模)已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f ⎝⎛⎭⎫f （x ）－1x ＝2，则f ⎝⎛⎭⎫15 的值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8二、填空题6. 已知函数f (x )在区间(－1，1)上是减函数，且f (a 2－1)＜f (a －1)，那么a 的取值范围是________．7. 函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调减区间是_______________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，（a －2）e x ，x <0 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．10. 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1，2]上的单调性．课时2 函数的最值问题一、选择题1. 若x >0，则函数f (x )＝12x＋3x 的最小值是( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 122. 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 在[－2，3]上的最大值为6，则a 等于( )A. －9B. －10C. 6D. 73. (2019·深圳二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －2|，x ≤2，log 2（x ＋a ），x ＞2 的最小值为f (2)，则实数a 的取值范围为( )A. {a |a ＜0}B. {a |a ＞0}C. {a |a ≤0}D. {a |a ≥0}4. (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ≥3，mx ＋8，x ＜3，若f (2)＝4，且函数f (x )存在最小值，则实数a 的取值范围为( )A. (1，3 ]B. (1，2]C. ⎝⎛⎦⎤0，33 D. [3 ，＋∞) 5. (多选)若定义在区间D 上的函数y ＝f (x )满足：对x ∈D ，M ∈R ，使得|f (x )|≤M 恒成立，则称函数y ＝f (x )在区间D 上有界，则下列函数中有界的是( )A. y ＝sin xB. y ＝x ＋1xC. y ＝tan xD. y ＝e x －e －xe x ＋e－x E. y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(－4≤x ≤4)，其中a ，b ∈R二、填空题6. 函数y ＝x ＋x －1 的值域为________．7. 已知x >0，那么函数y ＝x 2－4x ＋1x的最小值为________．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则f (x 1)，f (x 2)的大小关系为____________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2，3]上的最大值为5，最小值为2，求a 与b 的值．10. 已知函数f (x )＝x ＋1x. (1) 求证：函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数；(2) 求函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤12，4 上最值．第8讲函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性的判定与周期性A. 课时精练一、选择题1. (2019·山西二模)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)上是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. 若定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (x －2)，且f (1)＝1，则f (2 021)等于( )A. 0B. 1C. －1D. －23. (2019·南昌一模)若f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x －7x ＋2b (b 为常数)，则f (－2)等于( )A. 6B. －6C. 4D. －44. (2019·合肥二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝(－x ＋a ＋1)log 2(x ＋2)＋x ＋m ，其中a ，m 是常数，且a >0，若f (a )＝1，则a －m 等于( )A. －5B. 5C. －1D. 15. (多选)若函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A. f (x )为奇函数B. f (x )为周期函数C. f (x ＋3)为奇函数D. f (x ＋4)为偶函数二、填空题6. (2019·安庆二模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．7. (2019·北京卷)已知若函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数).若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．8. 若f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图所示为该函数在区间(－2，1]上的图象，则f (2 020)＋f (2 021)＝________．(第8题)三、解答题9. 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12 ＝25 . (1) 确定函数f (x )的解析式；(2) 用定义法证明f (x )在(－1，1)上是增函数．10. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，求不等式f (x )>x 的解集．B. 滚动小练1. 已知全集U ＝R ，若集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )(第1题)A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个2. “－2≤a ≤2”是“实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0有虚根”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2 上单调递减，求mn 的最大值．课时2 函数性质的综合应用A. 课时精练一、选择题1. 已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数．若f (1)＝2，则满足－2≤ f (x －3)≤2的x 的取值范围是( )A. [－2，4]B. [－1，1]C. [2，4]D. [1，4]2. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝e x ，则f (2 021)＋f (2 022)等于( )A. －1eB. 1eC. －eD. e3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f （x ），若f (x )在[－1，0]上是减函数，记a ＝f (log 0.52), b ＝f (log 24), c ＝f (20.5)，则( )A. a >c >bB. a >b >cC. b >c >aD. b >a >c4. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x 2－x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞，1)和(1，＋∞) D. 1x>1是x <1的必要不充分条件 5. (多选)对于函数f (x )＝x 1＋|x | (x ∈R)，下列判断正确的是( ) A. f (－x )＋f (x )＝0B. 当m ∈(0，1)时，方程f (x )＝m 总有实数解C. 函数f (x )的值域为[－1，1]D. 函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)二、填空题6. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝8x ，则f ⎝⎛⎭⎫－193 ＝________．8. (2019·石家庄一模)已知f (x )是定义在[－2b ，1＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，那么f (x －1)≤f (2x )的解集为________．三、解答题9. 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 013)＋f (－2 014)的值．10. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －20)的图象关于点(20，0)对称，若实数x ，y 满足不等式f (x 2－6x )＋f (y 2－8y ＋24)<0，求y x的取值范围．B. 滚动小练1. 若U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )等于( )A. {x |0≤x <1}B. {x |0<x ≤1}C. {x |x <0}D. {x |x >1}2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．3. 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R).第9讲二次函数与幂函数A. 课时精练一、选择题1. (多选)下列说法中正确的是()A. 当n＝0时，y＝x n的图象是一个点B. 幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C. 幂函数的图象不可能出现在第四象限D. 若幂函数y＝x n在第一象限为减函数，则n<02. 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的大致图象是()A BC D3.(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论，其中正确的是()(第3题)A. b2＞4acB. 2a－b＝1C. a－b＋c＝0D. 5a＜b4. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，那么m的取值范围是()A. [1，＋∞)B. [0，2]C. (－∞，2]D. [1，2]5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数B. 存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C. 若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D. 若a 2－b －2>0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点二、填空题6. 若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两个不相等的实数根均大于5，则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，那么a ＝________．8. 已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0，若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R).(1) 若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2) 若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．10. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2，2]上存在单调减区间，求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ，任选一个函数补充在下列问题中，若m 存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．问题：当k ＝0时，若对任意的x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[－1，2]，使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)B. 滚动小练1. 已知全集U ＝R ，若集合A ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U A 等于( )A. {x |0≤x ≤2}B. {x |0<x <2}C. {x |x <0或x >2}D. {x |x ≤0或x ≤2}2. 若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．3. 已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R)有最小值．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．第10讲指数式与指数函数A. 课时精练一、选择题1. 已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13 x，那么f (x )( ) A. 是偶函数，且在R 上是增函数 B. 是奇函数，且在R 上是增函数 C. 是偶函数，且在R 上是减函数 D. 是奇函数，且在R 上是减函数2. (2019·邯郸一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1 在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A. [2，3]B. [2，＋∞)C. [1，3]D. [1，＋∞)3. (2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，那么( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. b <c <a4. (2019·全国卷Ⅱ)若a >b ，则 ( )A. ln (a －b )>0B. 3a <3bC. a 3－b 3>0D. |a |>|b |5. (多选)若指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则下列等式正确的是( ) A. f (x ＋y )＝f (x )·f (y )B. f (x －y )＝f （x ）f （y ）C. f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q)D. [f (xy )]n ＝[f (x )]n ·[f (y )]n (n ∈N)二、填空题6. 若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为________．7. 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，那么a ＋b ＝________．8. (2019·厦门一模改编)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).(1) 求f (x )的表达式；(2) 若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．10. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ，g (x )＝a x －a －x2，其中a 为常数，且a >0，a ≠1.(1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式，使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例，并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．B. 滚动小练1. 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，那么A ∩B ＝________．2. “1<x <2”是“2x >1”成立的____________条件．3. 已知f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1) 判定f (x )的奇偶性；(2) 试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．第11讲对数与对数函数A. 课时精练一、选择题1. (多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （－x ），x <0，e x －1，x ≥0. 若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A. 1B. －1C. 10D. －102. (2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A. y ＝ln (1－x )B. y ＝ln (2－x )C. y ＝ln (1＋x )D. y ＝ln (2＋x )3. 已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213 ，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b4. (多选)若0＜a ＜b ＜1，则下列选项中正确的是( ) A. a 3＜b 2 B. 2a ＜3bC. log 2a >log 3bD. log a 2＜log b 35. (2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52 lg E 1E 2 ，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，那么太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg 10.1D. 10－10.1二、填空题6. 若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________．7. 已知a ＝log 372 ，b ＝⎝⎛⎭⎫34 13 ，c ＝log 1315 ，那么a ，b ，c 从大到小的关系为________．8. 若函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23 上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝log 2g (x )＋(k －1)x .(1) 若g (log 2x )＝x ＋1，且f (x )为偶函数，求实数k 的值；(2) 当k ＝1，g (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋a 时，若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．10. 已知函数f (x )＝log a 1－x1＋x(0＜a ＜1).(1) 求函数f (x )的定义域D ，并判断f (x )的奇偶性； (2) 用定义证明函数f (x )在D 上是增函数；(3) 当x ∈(t ，a )时，函数f (x )的值域是(－∞，1)，求a 与t 的值．B. 滚动小练1. 若全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(∁U A )∪(∁U B )＝________．2. 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]都有f (x )<0，则实数m 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫13x －1＋12 . (1) 求函数f (x )的定义域；(2) 讨论函数f (x )的奇偶性；(3) 求证：函数f (x )在定义域上恒大于0.第12讲函数的图象课时1图象的变换及识别A. 课时精练一、选择题1. 已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，那么y＝－f(2－x)的图象为()(第1题)A BC D2. (2019·浙江卷)在同一平面直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log a⎝⎛⎭⎫x＋12(a>0且a≠1)的图象可能是()A BC D3. (2019·茂名二模)函数y＝x sin x＋1x2的部分图象大致为()A BC D4. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D5. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象为()二、填空题6. 函数f(x)＝lg (2x＋1)－1的图象向右平移1个单位长度，将所得图象向上平移1个单位长度，然后将所得图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分，则f(x)的解析式为____________．7. 若函数y＝f(x) (x∈[0，6])的图象如图所示，将其图象向上平移3个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则y＝g(|x|)在区间[－6，0]上的最大值为________．(第7题)8.已知给出如下六个函数：y＝x，y＝x2，y＝ln x，y＝2x，y＝sin x，y＝cos x，从中选出两个函数记为f(x)和g(x)，若F(x)＝f(x)＋g(x)的图象如图所示，则F(x)＝________．(第8题)三、解答题9. 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1) 求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2) 求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}．10. 已知函数f(x)＝x|x－m|(x∈R)，且f(4)＝0.(1) 求实数m的值；(2) 作出函数f(x)的图象；(3) 根据图象指出f(x)的单调区间，并写出不等式f(x)>0的解集；(4) 当f(x)＝k有三个实数根时，求k的取值范围．B. 滚动小练1. 已知集合A＝{x|1＜x＜3，x∈R}，B＝{x||x－a|<4，x∈R}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围为________．2. 已知函数f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x2∈[2，3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为________．3. 比较1＋log x3与2log x2(x>0，x≠1)的大小．课时2 以函数性质为背景的图象问题A. 课时精练一、选择题1. 使得log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( )A. (－1，0)B. [－1，0)C. (－2，0)D. [－2，0)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤2，x ＋2，x >2或x <－1，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A. (2，4)∪(5，＋∞)B. (1，2]∪(4，5]C. (－∞，1)∪(4，5]D. [1，2]3. 记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( )A. 5B. 6C. 8D. 104. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤203，263B. ⎝⎛⎭⎫203，263C. ⎝⎛⎦⎤113，6D. ⎝⎛⎭⎫113，65. 已知a ＝1b >1，若方程a x ＝log b x ，b x ＝log a x ，b x ＝log b x 的根分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( )A. x 3＜x 1＜x 2B. x 3＜x 2＜x 1C. x 1＜x 3＜x 2D. x 1＜x 2＜x 3二、填空题6. 对于每一个实数x ，f (x )取4－x ，x ＋2，3x 三个值中最小的值，则f (x )的最大值为________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．8. 若函数f (x )＝x |x －a |的图象与函数g (x )＝|x －1|的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9. (2019·广州一模改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ，x >1，ln （x ＋a ），x ≤1 的图象上存在关于直线x ＝1对称的两点，求实数a 的取值范围．10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x <1，x ＋2x ，x ≥1. 设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，求a 的取值范围．B. 滚动小练1. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________．2. 若函数f (x )＝13x －1 ＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．3. 已知函数f (x )＝3x ＋λ·3－x (λ∈R).(1) 若f (x )为奇函数，求λ的值和此时不等式f (x )>1的解集；(2) 若不等式f (x )≤6对x ∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．第13讲函数与方程A. 课时精练一、选择题 1. (2019·新乡二模)函数f (x )＝ln x ＋2x －1的零点必落在区间( ) A. ⎝⎛⎭⎫18，14 B. ⎝⎛⎭⎫14，12 C. ⎝⎛⎭⎫12，1 D. (1，2)2. (2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]上的零点个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为( )A. (0，4)B. (0，＋∞)C. (3，4)D. (3，＋∞)4. (2019·泰安一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，sin ⎝⎛⎭⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2 的取值范围是( )A. (0，12)B. (0，16)C. (9，21)D. (15，25)5. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)＋a (x 2－x )，若f (x )在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a 的取值范围是( )A. [0，1]B. [－1，0]C. [0，2]D. [－1，1]二、填空题6. 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两个根中，一个根在0和1之间，另一个根在1和2之间，则k 的取值范围为________．7. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为________．8. 已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．三、解答题9. 若关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围．10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1) 若a ＝1，则f (x )的最小值；(2) 若f (x )恰有2个零点，求实数a 的取值范围．B. 滚动小练1. 若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．2. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．3. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (log 12 x )＝x ＋ax ，a 为常数.(1) 求函数f (x )的表达式；(2) 如果f (x )为偶函数，求a 的值；(3) 当f (x )为偶函数时，若方程f (x )＝m 有两个实数根x 1，x 2，其中x 1＜0，0＜x 2＜1，求实数m 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A. 课时精练一、选择题1. 某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x －0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A. 100台B. 120台C. 150台D. 180台2. 在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A. y＝2xB. y＝x2－1C. y＝ln xD. y＝log2x3. 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1 m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2 m，A离抛物线对称轴1 m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()(第3题)A. 3.5 mB. 3 mC. 2.5 mD. 2 m4. (2019·芜湖期末)“龟兔赛跑”是一则经典的故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间的图象为()A BC D5.(多选)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝a t，则下面叙述正确的是()(第5题)A. 这个指数函数的底数为2B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2C. 浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月D. 浮萍每月增加的面积都相等E. 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3二、填空题6. 一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y＝a e－bt(单位：cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．7. 如图，某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边的夹角为60°.考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，要求设计其横断面的面积为93m2，且高度不低于3m.记防洪堤横断面的腰长为x(单位：m)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(单位：m).要使得防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m．(第7题)8. 将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a4L，则m的值为________．三、解答题9. 某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(单位：元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(单位：元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1) 求函数y＝f(x)的解析式；(2) 试问：当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？10. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P (单位：万元)、种黄瓜的年收入Q (单位：万元)与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14 a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元).(1) 求f (50)的值；(2) 试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？B. 滚动小练1. 若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15 ，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45 a ＞0的解集为________．2. 已知定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围为________．3. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a .(1) 当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2) 若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0有且仅有一解，求a 的值；(3) 设a >0，若对任意t ∈⎣⎡⎦⎤12，1 ，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．微难点2 指、对数的大小比较1. 已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 0.513 ，那么a ，b ，c 的大小关系为________．2. 若a ＝⎝⎛⎭⎫35 25，b ＝⎝⎛⎭⎫25 35 ，c ＝⎝⎛⎭⎫25 25 ，则a ，b ，c 的大小关系是________．3. 若a ＝⎝⎛⎭⎫12 10, b ＝⎝⎛⎭⎫15 －12， c ＝log 1510，则a ，b ，c 的大小关系为________．4. 已知a ＝log 312 ， b ＝log 1213 ， c ＝⎝⎛⎭⎫12 13 ，那么a ，b ，c 的大小关系为________．5. 已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12 －0.2，c ＝2log 52，那么a ，b ，c 的大小关系为________．6. 已知定义在R 上的函数f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且当x >0时，f (x )单调递减，若a ＝f (log 0.53), b ＝f (0.5－1.3), c ＝f (0.76)，则a ，b ，c 的大小关系是________．7. 已知x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1 ，若a ＝ln x, b ＝2ln 1x ， c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．8. 若f (x )(x ∈R)是以2为周期的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 11 998 ，则f ⎝⎛⎭⎫9819 ，f ⎝⎛⎭⎫10117 ，f ⎝⎛⎭⎫10415 由小到大的关系是________．微难点3 由函数的性质求参数的取值范围一、填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0，若f (a －1)＋f (a )>0，则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数，那么实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )是[－1，2]上的减函数，那么实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，那么实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，若f (2－a 2)<f (a )，则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 已知定义在[－2，2]上的函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2，2]上是奇函数，求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2，2]上是偶函数，求实数m的取值范围．。

函数表示方法习题课

f ( x 1) f ( x) 2 x, 求 f ( x) .
（2）已知
f (1 x ) x
求 f ( x)
。
1 （3）设函数 f ( x ) 满足 f ( x) 2 f ( ) x( x 0) x 求 f ( x) .
例2、A、B两地相距150km，某汽车以每小时50km的速度从A地到B地停留2h之后，又以每小时60km的速度返回A地。写出该车离开A地的距离s（km）关于时间t(h)的函数关系，并画出图象。
1、方法点拔：1.常见的求解析式的方法有待定系数法,换元法,赋值法,列方程法等.每种方法应根据题目的条件特征来选择,在学习中要注意体会总结. 2.利用待定系数法时,要根据题目的题意选择好合适的函数类型,明确各种函数的一般形式.
必做题
1 1 1. 已知 f ( ) ,那么 f ( x )的解析式为 ( ) x x 1 x A 1 B 1 x C D 1 x 1 x x 1 x
y f f ( x) 4x 3.
2.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知
f ( x 4) x 8 x , 求 f ( x)
f ( x 1) f ( x 1) 2x2 4x 4
x 5,( x 6) 1、已知 f ( x) (x N ) f ( x 2),( x 6) 则 f (3) 的值是（）
A . 5 B. 4 C . 3 D. 2
作业
P32 课外题 1、求实系数的一次函数 y f ( x) ，使 3, 5, 8
函数表示方法习题课
学习目标 1.表示函数的三种常用表示方法是什么？
2.会求解析式，会画函数的图象。
自主检测
1 已知 f 2x 2x 3 ，则 f x 3 x A . x B. x3 C. 3 （） D. 2 x 3

专题03 函数及其表示方法-2022年高考数学一轮复习小题多维练(新高考版)(解析版)

2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）专题03 函数及其表示方法一、单选题1.若函数f（x）＝ln（e2x﹣ae x+1）对x∈R恒有意义，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，2）【答案】D【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a的取值范围即可．【解答】解：由题意得：e2x﹣ae x+1＞0恒成立，即a＜＝e x+恒成立，∵e x+≥2，当且仅当e x＝1即x＝0时“＝”成立，故a＜2，故选：D．【知识点】函数的定义域及其求法2.已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【答案】A【分析】根据函数f（x）的定义域，列出使函数g（x）有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（﹣1，1），令，解得，即1＜x＜2，所以函数的定义域为（1，2）．故选：A．【知识点】函数的定义域及其求法3.已知函数的值域为[0，+∞），则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4]C．（0，4）D．[4，+∞）【答案】D【分析】当m＝0时，mx2+mx+1＝1对任意实数x恒成立，不合题意；要使函数的值域为[0，+∞），需二次三项式mx2+mx+1对应的二次函数开口向上且判别式大于等于0，由此联立不等式组求解．【解答】解：当m＝0时，mx2+mx+1＝1对任意实数x恒成立，不合题意；要使函数的值域为[0，+∞），则，解得m≥4．∴m的取值范围是[4，+∞）．故选：D．【知识点】函数的值域4.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2+|x+1|B．f（x）＝3﹣|x+1|C．f（x）＝2﹣x D．f（x）＝x+4【答案】B【分析】①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，由题意可得：f（x+4）＝x+4．再根据函数的周期性可得f （x）＝f（x+4）＝x+4．②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，由题意可得：f（2﹣x）＝2﹣x．再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式．【解答】解：①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，因为当x∈[2，3]时，f（x）＝x，所以f（x+4）＝x+4．又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（x）＝f（x+4）＝x+4．所以当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝x+4．②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，因为当x∈[2，3]时，f（x）＝x，所以f（2﹣x）＝2﹣x．又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x．因为函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x．所以由①②可得当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|．故选：B．【知识点】奇函数、偶函数、函数的周期性、函数解析式的求解及常用方法5.函数f（x）＝ax m（1﹣2x）n（a＞0）在区间[0，]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（）A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝3，n＝1【答案】D【分析】由图得，原函数的极大值点约为0.375．把选项代入验证看哪个对应的极大值点符合要求即可得出答案．【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点约为0.375．当m＝1，n＝1时，f（x）＝ax（1﹣2x）＝﹣2a（x﹣）2+．在x＝处有极大值，故A错误；当m＝1，n＝2时，f（x）＝ax m（1﹣2x）n＝ax（1﹣2x）2＝a（4x3﹣4x2+x），所以f′（x）＝a（2x﹣1）（6x﹣1），a＞0，令f′（x）＝0⇒x＝，x＝，即函数在x＝处有极大值，故B错误；当m＝2，n＝3时，f（x）＝ax m（1﹣2x）n＝ax2（1﹣2x）3，有f'（x）＝a（1﹣2x）2（2x﹣10x2），令f′（x）＝0⇒x＝0，x＝，x＝，即函数在x＝处有极大值，故C错误；当m＝3，n＝1时，f（x）＝ax m（1﹣2x）n＝ax3（1﹣2x）＝a（x3﹣2x4），有f′（x）＝ax2（3﹣8x），令f′（x）＝0，⇒x＝0，x＝，即函数在x＝处有极大值，故D正确．故选：D．【知识点】函数的图象与图象的变换、函数解析式的求解及常用方法6.函数f（x）＝sin（）+cos（）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】令，结合复合函数的单调性可知函数f（x）先增后减，进而排除选项A，B；再根据时，f（x）＜0，f（0）＝1，排除选项D，进而得解．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，令，可知函数t（x）在R上单调递增，且t（x）的值域为（﹣1，1），又因为，结合复合函数的单调性，可知函数f（x）先增后减，故选项A，B错误；当时，f（x）＜0，f（0）＝1，故选项D错误．故选：C．【知识点】函数的图象与图象的变换7.已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】方程f2（x）﹣f（x）＝0可解出f（x）＝0或f（x）＝1，方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数即两个函数f（x）＝0或f（x）＝1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y＝0，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数的问题．【解答】解：方程f2（x）﹣f（x）＝0可解出f（x）＝0或f（x）＝1，方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数即两个函数f（x）＝0或f（x）＝1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y＝0，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同，如图，由图象，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y＝0的图象与函数f（x）的图象的交点个数有三个，故方程f2（x）﹣f（x）＝0有七个解，故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的解析式求法及其图象的作法8.如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x2ln|x|B．f（x）＝xlnx C．D．【答案】C【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当x＞0时，，从而排除选项D，只能选C．【解答】解：∵f（x）的图象关于原点对称；∴函数f（x）是奇函数；f（x）＝x2ln|x|为偶函数，f（x）＝xlnx是非奇非偶函数，∴A，B都错误；∵x＞0时，，∴D错误．故选：C．【知识点】函数解析式的求解及常用方法二、多选题9.下列函数中，值域为[2，+∞）的是（）A．y＝x+，x＞0B．＝cos x+，x∈（﹣，）C．y＝D．y＝x+【答案】ABC【分析】根据基本不等式（a＞0）即可判断选项A，B，C都正确，对于选项D，x＜0时，y＜0，从而判断选项D错误，从而得出正确的选项．【解答】解：A．x＞0时，，当且仅当x＝1时取等号，符合题意，该选项正确；B.时，0＜cos x≤1，，当且仅当cos x＝1时取等号，符合题意，该选项正确；C.，当且仅当，即x＝0时取等号，该选项正确；D．当x＜0时，，该选项错误．故选：ABC．【知识点】函数的值域10.已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从M到N的函数的是（）A．y＝2x B．y＝|x|C．y＝x+2D．y＝x2【答案】BD【分析】根据题意，由函数的定义依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；对于B，y＝|x|，任取x∈M，总有y＝|x||∈N，故B正确，对于C，y＝x+2，当x＝4时，y＝6∉N，故C错误，对于D，y＝x2，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．故选：BD．【知识点】函数的概念及其构成要素11.下列各组函数中是同一函数的是（）A．f（x）＝x与g（x）＝B．f（x）＝与g（x）＝C．f（x）＝x﹣1与g（x）＝D．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1【答案】BD【分析】根据相同函数的定义：定义域和对应关系都相同．【解答】解：对于A：f（x）＝x与g（x）＝|x|的对应关系不同，因此不是同一函数；对于B：f（x）＝＝与g（x）＝，因此是同一函数；对于C：f（x）＝x﹣1与g（x）＝＝＝x﹣1，（x≠﹣1），定义域不同，因此不是同一函数；对于D：f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．故选：BD．【知识点】判断两个函数是否为同一函数12.若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（）A．2B．3C．4D．5【答案】ABC【分析】求出二次函数的对称轴方程，可知当m＝2时函数有最小值，再由f（0）＝﹣4结合二次函数的对称性可得m的可能取值．【解答】解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4＝﹣8，解得m＝2．则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．∴实数m的值可能为2，3，4．故选：ABC．【知识点】函数的值域、函数的定义域及其求法13.已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）【答案】AC【分析】由已知结合函数单调性的定义及指数函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：sgn（x）＝的图象如图所示，图象关于原点对称，为奇函数，A正确；当x＝0时，x＝0，sgn（x）＝0，当x＞0时，x＞0，sgn（x）＝1，B错误；因为x•sgn（x）＝＝|x|，C正确；因为y＝2x sgn（﹣x）＝其值域为[0，1）∪（﹣∞，﹣1]，D不正确．故选：AC．【知识点】函数的值域14.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．f（a）＞f（e）＞f（d）B．函数f（x）在[a，b]上递增，在[b，d]上递减C．函数f（x）的极值点为c，eD．函数f（x）的极大值为f（b）【答案】ABD【分析】根据导数与函数单调性的关系及所给图象可得f（x）的单调性，判断函数的极值即可．【解答】解：由导数与函数单调性的关系知，当f′（x）＞0时f（x）递增，f′（x）＜0时f（x）递减，结合所给图象知，x∈（a，c）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a，c）上单调递增，x∈（c，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（c，e）上单调递减，函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；f（c）＞f（e），故选：ABD．【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的图象与图象的变换三、填空题15.已知函数，则该函数的定义域是．【答案】（-1，1）【分析】根据对数函数成立的条件即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即（x﹣1）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【知识点】函数的定义域及其求法16.若函数f（x）＝（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log＝﹣．【答案】-1【分析】因为f（1）＝0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，根据f（0）＝1解得a＝2，再代入原式可得．【解答】解：因为f（1）＝0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，所以f（0）＝1，即＝1，解得a＝2，所以原式＝log2+log＝log2）＝﹣1，故答案为：﹣1．【知识点】函数的值域、函数的定义域及其求法17.对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（1，+∞）∪（-∞，-1）【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k＝1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k＝1+|x|＞1；由＝﹣x至少有两个不同实数根，同理可得k＜﹣1．∴实数k的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【知识点】函数的定义域及其求法、函数的值域18.设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（）＝0，当0＜x＜π时，f′（x）sin x﹣f（x）cos x＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为﹣．【分析】设g（x）＝，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）＝，∴g′（x）＝，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）＝＝＝g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sin x﹣f（x）cos x＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）＝0，∴g（）＝＝0，∵f（x）＜2f（）sin x，即g（）•sin x＞f（x）；①当sin x＞0时，即x∈（0，π），g（）＞＝g（x）；所以x∈（，π）；②当sin x＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）＝g（﹣）＜＝g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．故答案为：（﹣，0）∪（，π）【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的定义域及其求法19.函数的单调递增区间为﹣∞﹣，值域为﹣∞﹣．【分析】通过求导判断函数的单调递增区间，根据单调性判断函数的值域．【解答】解：＞0，解得x＞或x＜﹣，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）和（，+∞），单调递减区间为（﹣，），即函数在x＝﹣处有极小值f（﹣）＝﹣4，在x＝处有极小值f（）＝4，所以函数的值域为（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）和（，+∞），（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【知识点】函数的单调性及单调区间、函数的值域20.若f（x）＝|x﹣a|•|x﹣3a|，且x∈[0，1]上的值域为[0，f（1）]，则实数a的取值范围是．【分析】结合图象，分类讨论即可得解．【解答】解：结合图象，①当a＝0时，显然成立；②当a＜0时，f（x）在[0，1]上递增，最小值为3a2≠0，不成立；③当a＞0时，要使值域为[0，f（1）]，则需满足，即，故；综上，实数a的取值范围为．故答案为：．【知识点】函数的值域21.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则函数f（x）在[1，2]上的解析式是﹣【答案】f（x）=log2（3-x）【分析】设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f （x）为周期为2的偶函数，可得f（x）＝f（x﹣2）＝f（2﹣x），从而得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），∴设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），∴f（2﹣x）＝log2[（2﹣x）+1]＝log2（3﹣x），又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）＝f（x﹣2）＝f（2﹣x）＝log2（3﹣x）．故答案为：f（x）＝log2（3﹣x）．【知识点】函数解析式的求解及常用方法22.甲乙两地相距500km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120km/h．已知汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是y＝，当汽车的行驶速度为km/h时，全程运输成本最小．【分析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为：，结合汽车每小时运输成本为元，可得：全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得v＝100时，y取最小值．【解答】解：∵甲乙两地相距500km，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为：，又由汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是y＝•（）＝（0＜v≤120），由基本不等式得≥2＝3600，当且仅当，即v＝100时，取最小值，故答案为：（0＜v≤120），100【知识点】函数解析式的求解及常用方法23.函数y＝5sin（x+）（﹣15≤x≤10）的图象与函数y＝图象的所有交点的横坐标之和为．【答案】-7【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，再分析可得在（﹣1，0）内两函数图象有一个交点，画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和．【解答】解：函数y＝5sin（x+）的图象关于点（﹣1，0）对称，对于函数y＝，当x＝﹣1时，y＝0，当x≠﹣1时，可得y＝在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，且当x∈（﹣1，+∞）时，y＝的最大值为，函数图象关于点（﹣1，0）对称；对于函数y＝5sin（x+），当x＝0时，y＝5sin＞＝，故在（﹣1，0）内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，画出两函数在[﹣15，10]上的大致图象，得到交点横坐标之和为﹣1+（﹣2）×3＝﹣7【知识点】函数的图象与图象的变换、正弦函数的图象24.已知函数y＝与函数y＝的图象共有k（k∈N*）个公共点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，A k（x k，y k），则（x i+y i）＝．【答案】2【分析】f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）＝关于（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，即可得出结论．【解答】解：由题意，函数f（x）＝＝2﹣，f（﹣x）+f（x）＝2，∴f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）＝关于（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，∴（x i+y i）＝2，故答案为2．【知识点】函数的图象与图象的变换25.函数f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是．【分析】程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有五个不同的实数解x，即要求f（x）＝常数有3个不同的f （x），根据题意，先做出函数f（x）的图象，结合图象可知，只有当f（x）＝a时，有3个根，再结合方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有2个不同的实数解，可求【解答】解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有五个不同的实数解，解：∵题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）＝a时，它有三个根．所以有：1＜a＜2 ①．再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有两个不等实根，得：△＝（2a+3）2﹣4×2×3a＞0⇒②结合①②得：1＜a＜或a＜2．故答案为：（1，）∪（，2）．【知识点】指数型复合函数的性质及应用、函数的零点与方程根的关系、分段函数的解析式求法及其图象的作法26.设定义域为R的函数若关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根，则实数m＝．【答案】2【分析】题中原方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根，即要求对应于f（x）＝某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）＝4时，它有三个根．故关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根．【解答】解：∵题中原方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有7个不同的实数根，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）＝4时，它有三个根．故关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有一个实数根4．∴42﹣4（2m+1）+m2＝0，∴m＝2，或m＝6，m＝6时，方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2＝0有5个不同的实数根，所以m＝2．故答案为：2．【知识点】函数与方程的综合运用、分段函数的解析式求法及其图象的作法。

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函数及其表示方法（习题）
1. 集合A ={x |0≤x ≤4}，B ={y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是（）
A ．12：f x y x →=
B ．1
3：f x y x →= C ．2
3
：f x y x →= D
．：f x y →=2. 若函数()y f x =的定义域为M ={x |-2≤x ≤2}，值域为
N ={y |0≤y ≤2}，则函数()y f x =的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 函数()y f x =的图象与直线x =1的交点有（）
A ．1个
B ．0个
C ．0个或1个
D ．1个或2个
4. 下列说法中不正确的是（）
A ．函数值域中的每一个数在定义域中都有值相对应
B ．函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集
C ．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了
D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
5. 下列各项表示同一函数的是（）
A ．21
()1
x f x x -=-与()1g x x =+
B
．()1f x 与()1g x x =- C
．()f t =
()g x =D ．()1f x =与1
()g x x x
=⋅
6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪
生函数”．那么函数解析式为221y x =+，值域为{9，19}的“孪生函数”共有（） A ．4个
B ．6个
C ．8个
D ．9个
7. 函数||
x y x x
=+
的图象是（）
A ．
B ．
y
D ．
8. 已知f (x -1)=x 2，则f (x )的解析式为（）
A ． f (x )=x 2-2x -1
B ．f (x )=x 2-2x +1
C ．f (x )=x 2+2x -1
D ．f (x )=x 2+2x +1
9. 已知2
2
11()11x x f x x
--=++，则f (x )的解析式为（） A ．22()1x f x x =+ B ．2
2()1x
f x x =-+
C ．2()1x f x x =+
D ．2
()1x
f x x =-+
10. 设集合A ={a ，b }，集合B ={0，1}，则从集合A 到B 的不同映射共有_________个．
11. 下列对应关系：
①A ={1，4，9}，B ={-3，-2，-1，1，2，3}，f x x →：
的平方根； ②A =R ，B =R ，f x x →：
的倒数； ③A =R ，B =R ，22f x y x →=-：
； ④A ={-1，0，1}，B ={-1，0，1}，f ：x x →的平方．其中是从集合A 到集合B 的函数的是_____________．
12. 求下列函数的定义域：（1
）()f x =
（2
）0()f x =
（3
）()f x =
（4）2
6
()32
f x x x =
-+
13. 直接写出下列函数的值域：
（1）21
24(2)2
x x x y =--∈-，，：________________；
（2）6
[34]1
y x x =∈-，，：________________；
（3
）1y =：________________；
（4）32(26]y x x =--∈，，：________________．
14. 若函数f (x )在闭区间[-1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为
________________________．
15.
已知0()0x f x x =<≥（）
）
，若()(1)2f a f +-=，则a 的值为____________．
16. （1）若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f =_________．
（2
）函数(1)f x +=()3f a =，则实数a =______．
（3）已知g (x )=3x +2，2
21(())0x f g x x x
-=≠（），则f (1)=____．
17. 已知f (x )是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求f (x )的解析式．
【参考答案】
1. C
2. B
3. C
4. B
5. C
6. D
7. C
8. D
9. A 10. 4 11. ③④
12. （1）[01]，
（2）(1)(10)-∞--，
，（3）55
[2)(3]22-，，
（4）(1)(12)(2)-∞+∞，
，， 13. （1）5(2]2
-，；（2）[23]，；（3）[1)+∞，；（4）[21]-， 14. 110()022
x x f x x x +-<⎧⎪
=⎨-⎪⎩≤≤≤（）（）
15. 1±
16. （1）-1；（2）11；（3）8 17. 2()21f x x x =--。