奇异值分解去噪中有效秩阶次的自身辅助确定
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Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＳＶＤ）；ｓｉｇｎａ ｌ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ；Ｈａｎｋｅｌ ｍａｔｒ ｉｘ；ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ；ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ
０ 引言
在旋 转机械设 备正常运行中采集的测试信号常混有噪声 ， 能否 实现信号的有效去噪 ，将会影 响到设备状态监控 以及故 障 诊 断的效 果 。近 年 来 ，奇 异 值 分解 （ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａ ｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉ— ｔｉｏｎ，ＳＶＤ） －３］逐渐被 引入信 号去 噪领域 ，其 实质是 线性 加权 式的正交 化分解 ，经 ＳＶＤ处理后 的信 号不存 在相 位偏 移和 时 间延迟 ，已广泛应用 于一 维振 动信 号 以及二 维 图像 的去 噪 处理 Ｊ。有效秩 阶次 的确定是 ＳＶＤ去噪研究 中的一个 关键 问 题 ，不 同有效秩 阶次下的信号去噪效果存在 明显差异 。若 阶次 选择 过大 ，去噪后的信号 中容 易混进 部分 噪声 ，导致去 噪不彻 底 ；反之 ，若 阶次 选择 过小 ，则不 能提取 出全 部有用 的信 号特 征 ，甚至 出现波 形 的畸 变。文献 ［６］通 过 对信 号作 傅 里 叶变 换 ，依经验确定 出有效秩 的阶次为信 号 主频 的两倍 ，但 对于不 存在 明显 主频 的信 号而言该 方法失效 ，而文献 ［７］提 出的改进 方法 也面临同样 的问题 。文 献 ［８］依据 二次样 条小 波细 节信 号 的峰值确定有效秩 阶次 ，但 检测效 果受 限于小波基 的选择 ， 实现起来较 为困难 。
对原始含 噪信号进行 奇异值 分解之后 将产生 一个奇 异值 序列 ，其 在有效秩阶次的位置处会产生阶跃式的下降 。根据这 一 规律 ，可将 有效 秩阶次的确定 转换为对奇异值序列的奇异性
检测 问题 。ＳＶＤ与小波分解均 能实现信 号具有不 同奇 异性指 数 时的奇 异性 检测 ，它们 的区别在 于 ：小 波变换 的检测效 果严 重依赖 于小波基 的选 取 ，用 于定 位 奇异 点 的峰值 随分解 尺 度 的增加 而变 宽 ，并且逐渐偏离实际奇异点位置 ；相 比之 下 ，不 论分解 的尺度 如何 ，ＳＶＤ指 示奇 异点 位置 的波 峰宽度 相对 固 定 ，仅取决于 Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 的列数 ，并且 波 峰具 有 良好 的对 称 性 ，易于准确地判断奇 异点位 置 １０，１１ ３。考虑到 ＳＶＤ在信 号奇 异性 检测 中表 现出的诸 多优 良特性 ，本文提 出一种有效秩 阶次 的 自身辅助确定方 法 ，仅 利用 ＳＶＤ本身 的奇异 性检测 能力 即 可达到 ＳＶＤ信号去噪 中有效 秩 阶次 确定 的 目标 ，仿 真算例 验 证 了这一方法 的有效性 。
第 ３３卷 第 ５期 ２０１６年 ５月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．５ Ｍ ａｖ ２０１６
奇 异值 分解 去 噪 中有效 秩 阶次 的 自身辅 助 确 定 术
查 翔 ，倪世宏 ，谢 川Ｉ，张 鹏
（空军 工程 大学 航 空航 天工程 学院 ，西安 ７１００３８）
奇异性检测 ，将奇异值序列的奇异点位置作为有效秩阶次确定的依据。对一个仿真实例信号的实验结果表 明，
该方 法可准 确地确 定 出有效秩 阶 次 ，从 而能 够 实现 信号 的有 效去噪 。
．
Βιβλιοθήκη Baidu
关 键词 ：奇异 值分 解 ；信 号去噪 ；Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 ；奇异性检 测 ；有效秩
中图分 类号 ：ＴＮ９１１．７ 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ：１００１．３６９５（２０１６）０５—１３５９—０４
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—３６９５．２０１６．０５．０１８
Ｓｅｌｆ－ａｓｓｉｓｔｉｎｇ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ ｄｅｇｒｅｅ ｉｎ ＳＶＤ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ
Ｚｈａ Ｘｉａｎｇ，Ｎｉ Ｓｈｉｈｏｎｇ， Ｘｉｅ Ｃｈｕａｎ，Ｚｈａｎｇ Ｐｅｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ａｉｒ Ｆｏｍｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
，Ｘｉ’ａｎ ７１００３８，Ｃｈｉｎａ ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｏ ｄｅｔｅｒｍ ｉｎｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｏｒｄｅｒ ｒａｎｋ ｉｎ ＳＶＤ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ＳＶＤ ｓｅｌｆ－ａｓｓｉｓｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｕｌｌｙ ｃｏｎ－ ｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｐｅｒｆｏｒｍ ａｎｃｅ ｉｎ ｓｉｎｇｕ ｌａｒｉｔｙ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，ｉｔ ｒｅｇａｒｄｅｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｒ ｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ ｂｙ ＳＶＤ
摘 要 ：为解 决奇异值 分解 （ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）去噪 中有 效秩 阶 次难 以确定 的 问题 ，提 出一 种利
用 ＳＶＤ本身进行辅助确定的方法。充分借助 ＳＶＤ在奇异性检测 中表现 出的优 良特性，将原始含噪信 号进行
ＳＶＤ处理后 获得 的 奇异值序 列视 做 一个新 的信 号 ，并对 该信 号对 象 重新进 行 奇 异值 分 解 ；通过 对 各 分量 信 号 的
ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｓ ａ ｎｅｗ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ，ａｎｄ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｎｅｗ ｓｉｇ ｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｕｓｉｎｇ ＳＶＤ ａｇａｉｎ．Ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎｅｗ
ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ａｃｔｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｂｒａｎｃｈ ｓｉｇ ｎ ａ１．Ｅｘｐｅｒ ｉｍｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ａ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｓｉｇｎａｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ｓｅｌｅｃｔ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ ｄｅｇ ｒｅｅ ａｎｄ ｔｈｅｎ ａｃｈｉｅｖｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ．
０ 引言
在旋 转机械设 备正常运行中采集的测试信号常混有噪声 ， 能否 实现信号的有效去噪 ，将会影 响到设备状态监控 以及故 障 诊 断的效 果 。近 年 来 ，奇 异 值 分解 （ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａ ｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉ— ｔｉｏｎ，ＳＶＤ） －３］逐渐被 引入信 号去 噪领域 ，其 实质是 线性 加权 式的正交 化分解 ，经 ＳＶＤ处理后 的信 号不存 在相 位偏 移和 时 间延迟 ，已广泛应用 于一 维振 动信 号 以及二 维 图像 的去 噪 处理 Ｊ。有效秩 阶次 的确定是 ＳＶＤ去噪研究 中的一个 关键 问 题 ，不 同有效秩 阶次下的信号去噪效果存在 明显差异 。若 阶次 选择 过大 ，去噪后的信号 中容 易混进 部分 噪声 ，导致去 噪不彻 底 ；反之 ，若 阶次 选择 过小 ，则不 能提取 出全 部有用 的信 号特 征 ，甚至 出现波 形 的畸 变。文献 ［６］通 过 对信 号作 傅 里 叶变 换 ，依经验确定 出有效秩 的阶次为信 号 主频 的两倍 ，但 对于不 存在 明显 主频 的信 号而言该 方法失效 ，而文献 ［７］提 出的改进 方法 也面临同样 的问题 。文 献 ［８］依据 二次样 条小 波细 节信 号 的峰值确定有效秩 阶次 ，但 检测效 果受 限于小波基 的选择 ， 实现起来较 为困难 。
对原始含 噪信号进行 奇异值 分解之后 将产生 一个奇 异值 序列 ，其 在有效秩阶次的位置处会产生阶跃式的下降 。根据这 一 规律 ，可将 有效 秩阶次的确定 转换为对奇异值序列的奇异性
检测 问题 。ＳＶＤ与小波分解均 能实现信 号具有不 同奇 异性指 数 时的奇 异性 检测 ，它们 的区别在 于 ：小 波变换 的检测效 果严 重依赖 于小波基 的选 取 ，用 于定 位 奇异 点 的峰值 随分解 尺 度 的增加 而变 宽 ，并且逐渐偏离实际奇异点位置 ；相 比之 下 ，不 论分解 的尺度 如何 ，ＳＶＤ指 示奇 异点 位置 的波 峰宽度 相对 固 定 ，仅取决于 Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 的列数 ，并且 波 峰具 有 良好 的对 称 性 ，易于准确地判断奇 异点位 置 １０，１１ ３。考虑到 ＳＶＤ在信 号奇 异性 检测 中表 现出的诸 多优 良特性 ，本文提 出一种有效秩 阶次 的 自身辅助确定方 法 ，仅 利用 ＳＶＤ本身 的奇异 性检测 能力 即 可达到 ＳＶＤ信号去噪 中有效 秩 阶次 确定 的 目标 ，仿 真算例 验 证 了这一方法 的有效性 。
第 ３３卷 第 ５期 ２０１６年 ５月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．５ Ｍ ａｖ ２０１６
奇 异值 分解 去 噪 中有效 秩 阶次 的 自身辅 助 确 定 术
查 翔 ，倪世宏 ，谢 川Ｉ，张 鹏
（空军 工程 大学 航 空航 天工程 学院 ，西安 ７１００３８）
奇异性检测 ，将奇异值序列的奇异点位置作为有效秩阶次确定的依据。对一个仿真实例信号的实验结果表 明，
该方 法可准 确地确 定 出有效秩 阶 次 ，从 而能 够 实现 信号 的有 效去噪 。
．
Βιβλιοθήκη Baidu
关 键词 ：奇异 值分 解 ；信 号去噪 ；Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 ；奇异性检 测 ；有效秩
中图分 类号 ：ＴＮ９１１．７ 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ：１００１．３６９５（２０１６）０５—１３５９—０４
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—３６９５．２０１６．０５．０１８
Ｓｅｌｆ－ａｓｓｉｓｔｉｎｇ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ ｄｅｇｒｅｅ ｉｎ ＳＶＤ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ
Ｚｈａ Ｘｉａｎｇ，Ｎｉ Ｓｈｉｈｏｎｇ， Ｘｉｅ Ｃｈｕａｎ，Ｚｈａｎｇ Ｐｅｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ａｉｒ Ｆｏｍｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
，Ｘｉ’ａｎ ７１００３８，Ｃｈｉｎａ ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｏ ｄｅｔｅｒｍ ｉｎｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｏｒｄｅｒ ｒａｎｋ ｉｎ ＳＶＤ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ＳＶＤ ｓｅｌｆ－ａｓｓｉｓｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｕｌｌｙ ｃｏｎ－ ｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｐｅｒｆｏｒｍ ａｎｃｅ ｉｎ ｓｉｎｇｕ ｌａｒｉｔｙ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，ｉｔ ｒｅｇａｒｄｅｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｒ ｉｇｉｎａｌ ｓｉｇｎａｌ ｂｙ ＳＶＤ
摘 要 ：为解 决奇异值 分解 （ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）去噪 中有 效秩 阶 次难 以确定 的 问题 ，提 出一 种利
用 ＳＶＤ本身进行辅助确定的方法。充分借助 ＳＶＤ在奇异性检测 中表现 出的优 良特性，将原始含噪信 号进行
ＳＶＤ处理后 获得 的 奇异值序 列视 做 一个新 的信 号 ，并对 该信 号对 象 重新进 行 奇 异值 分 解 ；通过 对 各 分量 信 号 的
ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｓ ａ ｎｅｗ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ，ａｎｄ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｎｅｗ ｓｉｇ ｎａｌ ｏｂｊｅｃｔ ｕｓｉｎｇ ＳＶＤ ａｇａｉｎ．Ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔｓ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎｅｗ
ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ａｃｔｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｂｒａｎｃｈ ｓｉｇ ｎ ａ１．Ｅｘｐｅｒ ｉｍｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ａ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｓｉｇｎａｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ｓｅｌｅｃｔ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｒａｎｋ ｄｅｇ ｒｅｅ ａｎｄ ｔｈｅｎ ａｃｈｉｅｖｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ．