对称问题=直线中的几类对称问题=高考数学专题讲座讲义.doc

学习好资料 欢迎下载

学法点拔（ 9）

（ 9）直线中的几类对称问题

对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题

.

对于直线中的对称问题， 我们可以分为： 点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称， 直线关于直线的

对称 . 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略

.

一、点关于点的对称问题

点关于点的对称问题， 是对称问题中最基础最重要的一类， 其余几类对称问题均可以化

归为点关于点的对称进行求解

. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键

.

例 1 求点 A （ 2， 4）关于点 B （ 3， 5）对称的点 C 的坐标 .

分析

易知 B 是线段 AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解

.

2 x

3 2

解

由题意知， B 是线段 AC 的中点，设点 C （ x ，y ），由中点坐标公式有

，

x 4

5

2

x 4

解得

，故 C （4， 6） .

y 6

点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解 . 另外此题有可以

利用中点的性质 AB=BC ，以及 A ， B ， C 三点共线的性质去列方程来求解 .

二、点关于直线的对称问题

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方 面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于

-1，②两点的中点在已知直线上 .

例 2 求点 A （ 1， 3）关于直线 l ：x+2y-3=0 的对称点 A ′的坐标 .

分析 因为 A ， A ′关于直线对称，所以直线

l 是线段 AA ′的垂直平分线 . 这就找到

了解题的突破口 .

解

据分析， 直线 l 与直线 AA ′垂直， 并且平分线段 AA ′，设 A ′的坐标为 （ x ，y ），

1 x 3 y ???k

y 3 ??.

则 AA ′的中点 B 的坐标为

??

2 , 2 ,

A A

x 1

1

x 2

3 y 3

2

2

由题意可知，

，

3

1

y

1

x

1 2

3

x

3

1

解得

5

??? ??

. 故所求点 A ′的坐标为

1

5 , 5

.

y

5

三、直线关于某点对称的问题

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的

是两对称直线是平行的 . 我们往往利用平行直线系去求解.

例 3 求直线 2x+11y+16=0 关于点 P（ 0， 1）对称的直线方程 .

分析本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已

知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.

解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为

2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得| 11 16 | | 11 c | ，

22 112 22 112

即 |11+c|=27，得 c=16 （即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为

2x+11y-38=0.

解法二在直线 2x+11y+16=0 上取两点 A （ -8， 0），则点 A （ -8，0）关于 P（ 0， 1）的对称点的 B（ 8，2） . 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直

线方程为 2x+11y+c=0.

将 B（ 8， 2）代入，解得 c=-38.

故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两

直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐

标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线

系方程的优越性.

四、直线关于直线的对称问题

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我

们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例 4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析由题意，所给的两直线l1， l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化

为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.

解根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0 ，在直线l 1： x-y-1=0 上取点 M （1， 0），则易求得M 关于直线l 2： x-y+1=0 的对称点N（ -1， 2），

将 N 的坐标代入方程 x-y+c=0 ，解得 c=3，故

所求直线 l 的方程为 x-y+3=0.

点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题

也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该

点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.

例 5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.

分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.

解由x y 2 0 解得 l1， l2的交点A 5 ??? 9 ，

3x y 3 0 2

2

设所求直线l 的斜率为k，