二阶电路的冲激响应资料
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§4-5 二阶电路的冲激响应
本节主要讨论RLC串联电路冲激响应的求解方 法及其性质。
要求
1 能根据给定电路列写二阶动态电路的输入— 输出方程； 2 能根据已知条件确定求解微分方程的初始条 件； 3 能根据电路参数定性的判断 R、L、C 串联 （或并联）电路的冲激响应的几种放电类型。
一、RLC串联电路的冲激响应
此时，
2 s1 α (ω0 α 2 ) α jωd 2 s2 α (ω0 α 2 ) α jωd
其中，
d 02 2
因此，d、0、三者之间的关系， 可用直角三角形表示。
d 0 cos
0 sin
d arccos 0
2.t , e s1t e s2t 0
u、i随时间变化的曲线
3.t 0, e s1t e s2t
duc 4. 0 tm s2 s1 dt s1 2 ln s2 ' 5.t m 2t m s2 s1
s1 ln s 2
uc ( t )
I0
2 2C α 2 ω0
uc ( t )
I0
L 或R 2 C LC
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2t )ε( t )
duC I0 i (t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
1.t 0, e s1t e s2t 1
duC ( t ) I 0 t i(t ) C e sin d t d cos d t dt d I 00
d
e t cos(d t ) ( t )
I 0 t uC ( t ) e sin(d t ) ( t ) C d duC I 00 t i(t ) C e cos(d t ) ( t ) dt d
当s1s2时，微分方程的通解为
uC ( t ) A1e s1t A2e s2t
初始条件为
uC (0 ) uC (0 ) 0
i (0 ) I 0 (0 ) uC C C
I0 s1 A1 s2 A2 C
A1 A2 0
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
(e s1t e s2t )ε( t )
duC I0 i (t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
I
非振荡放电（过阻尼放电）
II
u、i随时间变化的曲线
I II III III
R 2. 0 即 2L
L 或R 2 C LC 1
s1， 2 α jωd
ຫໍສະໝຸດ Baidu
I0 uC ( t ) (e s1t e s2t )ε( t ) C ( s1 s2 )
I0 uC ( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
I 0 t e sin(d t ) (t ) Cd
电容上的冲激响应电压为
I0 uC ( t ) (e s1t e s2t )ε( t ) C ( s1 s2 )
冲激响应电流为
duC (t ) I0 i(t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) dt s1 s2
2 s1 α α 2 ω0 2 s2 α α 2 ω0
参数不同时，S1，S2为：
1.R 0, 0 ( R 2 L ), s1、s2为不等的负实根 C L 2.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2实重根 C L 3.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2为一对共轭复根 C
4.R 0, s1、s2为一对共轭虚根
i (0 ) I 0 (0 ) uC C C
初始条件
uC (0 ) uC (0 ) 0
d 2 uC ( t ) duC ( t ) LC + RC + uC ( t ) = 0 2 dt dt
解：特征方程
LC s2+RC s+1=0
特征根(即电路的自然频率)为
RC ( RC )2 4 LC s1 2 LC R 1 R 2L 2 L LC
当t < 0时， (t) = 0，i(0) = 0，uC (0) = 0。 从0-到0+时间内uL=δ(t) 当t = 0+ 时，有
1 0 1 i (0 ) δ( t ) dt I 0 L 0 L
电容电流为有限值，电容电压不跳变，即
uC (0 ) uC (0 ) 0
当t > 0时，(t) = 0，单位冲激电压源相当于短路。
di ( t ) Ri ( t ) L uC ( t ) 0 dt duC ( t ) i(t ) C dt
输入输出方程
d 2 uC ( t ) duC ( t ) LC + RC + uC ( t ) = 0 2 dt dt
uc ( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2t )ε( t )
duC I0 i (t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
s1和s2为不相等的根
R 1. 0 即 2L 1
R 1 R s2 2L 2 L LC
2
2
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
令
R α 2L
def
ω0
def
1 LC
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
本节主要讨论RLC串联电路冲激响应的求解方 法及其性质。
要求
1 能根据给定电路列写二阶动态电路的输入— 输出方程； 2 能根据已知条件确定求解微分方程的初始条 件； 3 能根据电路参数定性的判断 R、L、C 串联 （或并联）电路的冲激响应的几种放电类型。
一、RLC串联电路的冲激响应
此时，
2 s1 α (ω0 α 2 ) α jωd 2 s2 α (ω0 α 2 ) α jωd
其中，
d 02 2
因此，d、0、三者之间的关系， 可用直角三角形表示。
d 0 cos
0 sin
d arccos 0
2.t , e s1t e s2t 0
u、i随时间变化的曲线
3.t 0, e s1t e s2t
duc 4. 0 tm s2 s1 dt s1 2 ln s2 ' 5.t m 2t m s2 s1
s1 ln s 2
uc ( t )
I0
2 2C α 2 ω0
uc ( t )
I0
L 或R 2 C LC
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2t )ε( t )
duC I0 i (t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
1.t 0, e s1t e s2t 1
duC ( t ) I 0 t i(t ) C e sin d t d cos d t dt d I 00
d
e t cos(d t ) ( t )
I 0 t uC ( t ) e sin(d t ) ( t ) C d duC I 00 t i(t ) C e cos(d t ) ( t ) dt d
当s1s2时，微分方程的通解为
uC ( t ) A1e s1t A2e s2t
初始条件为
uC (0 ) uC (0 ) 0
i (0 ) I 0 (0 ) uC C C
I0 s1 A1 s2 A2 C
A1 A2 0
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
(e s1t e s2t )ε( t )
duC I0 i (t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
I
非振荡放电（过阻尼放电）
II
u、i随时间变化的曲线
I II III III
R 2. 0 即 2L
L 或R 2 C LC 1
s1， 2 α jωd
ຫໍສະໝຸດ Baidu
I0 uC ( t ) (e s1t e s2t )ε( t ) C ( s1 s2 )
I0 uC ( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
I 0 t e sin(d t ) (t ) Cd
电容上的冲激响应电压为
I0 uC ( t ) (e s1t e s2t )ε( t ) C ( s1 s2 )
冲激响应电流为
duC (t ) I0 i(t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) dt s1 s2
2 s1 α α 2 ω0 2 s2 α α 2 ω0
参数不同时，S1，S2为：
1.R 0, 0 ( R 2 L ), s1、s2为不等的负实根 C L 2.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2实重根 C L 3.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2为一对共轭复根 C
4.R 0, s1、s2为一对共轭虚根
i (0 ) I 0 (0 ) uC C C
初始条件
uC (0 ) uC (0 ) 0
d 2 uC ( t ) duC ( t ) LC + RC + uC ( t ) = 0 2 dt dt
解：特征方程
LC s2+RC s+1=0
特征根(即电路的自然频率)为
RC ( RC )2 4 LC s1 2 LC R 1 R 2L 2 L LC
当t < 0时， (t) = 0，i(0) = 0，uC (0) = 0。 从0-到0+时间内uL=δ(t) 当t = 0+ 时，有
1 0 1 i (0 ) δ( t ) dt I 0 L 0 L
电容电流为有限值，电容电压不跳变，即
uC (0 ) uC (0 ) 0
当t > 0时，(t) = 0，单位冲激电压源相当于短路。
di ( t ) Ri ( t ) L uC ( t ) 0 dt duC ( t ) i(t ) C dt
输入输出方程
d 2 uC ( t ) duC ( t ) LC + RC + uC ( t ) = 0 2 dt dt
uc ( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2t )ε( t )
duC I0 i (t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
s1和s2为不相等的根
R 1. 0 即 2L 1
R 1 R s2 2L 2 L LC
2
2
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
令
R α 2L
def
ω0
def
1 LC
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0