数列求和之裂项相消法ppt课件
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数列求和裂项PPT课件
2.数列求和时，先研究其通项公式，根据通项公 式的特点选择相对应的求和方法；
3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能 否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进 行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定 是第一项和最后一项，还可能有其他情况；
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心， 以防出错。
n
解an
1
n n1
n 1
n
sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1
练习2、sn
lg 2
lg
3 2
lg
4 3
lg
n 1 n
第4页/共11页
练习2、Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
12Βιβλιοθήκη 1 3nan
1 n(1 n)
2 n(1 n)
2 1 n
1 n 1
2
第5页/共11页
常见的裂项式子有：
1 [(1 1) ( 1 1 )] 3 1 1 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4
这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。 第9页/共11页
点评小结：
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 相消法求和，关键是裂项成功，
（2）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.
（3）求Sn方法的前提条件：找出通项，观察 加以分析，看看适合哪一类型的求法。
第10页/共11页
谢谢您的观看！
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-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
( 3n1-1
3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能 否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进 行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定 是第一项和最后一项，还可能有其他情况；
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心， 以防出错。
n
解an
1
n n1
n 1
n
sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1
练习2、sn
lg 2
lg
3 2
lg
4 3
lg
n 1 n
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练习2、Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
12Βιβλιοθήκη 1 3nan
1 n(1 n)
2 n(1 n)
2 1 n
1 n 1
2
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常见的裂项式子有：
1 [(1 1) ( 1 1 )] 3 1 1 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4
这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。 第9页/共11页
点评小结：
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 相消法求和，关键是裂项成功，
（2）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.
（3）求Sn方法的前提条件：找出通项，观察 加以分析，看看适合哪一类型的求法。
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-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
( 3n1-1
高三理科数学数列求和裂项相消法.ppt
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 a 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
2n 2n b 2n1 b
1 1 2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
1 22
b
1 23 b
1 2n b
1 2n1 b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、 第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
知识点——裂项相消法PPT课件
第16页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
bn
(1 n 1
1 ) 3n1 3n
裂项即逆用分式减法
3n1 3n
bn
n 1
n
Tn
3n1 3 n 1
点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项 之间的“轮转”， 即前一项的减数与后一项被 减数相同.
第17页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
变式：已知数列数列{an}的首项、公差都是1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(Ⅱ)令bn
n 1 Sn Sn1
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
答案：(1)an
n, Sn
点评：该解法应用了三个思想: ①放大； ②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高 算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.
问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？
首先改造通项公式：
bn
1 2n(2n 1)
1 4
1 n(n
1)
2
第25页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
n(n 1) ; 2
2 (2) Tn 2 (n 1)(n 2) .
第18页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
例6.设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn ,
且Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0(n N *).
(1 1 )] n n 1
裂项相消法微课堂PPT课件
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的 前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
第4页/共10页
数学运用 练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1 B.2n 1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
第5页/共10页
【解析】
=
第6页/共10页
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
第10页/共10页
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
第8页/共10页
归纳小结 裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － kn
1 n+k
）
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
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感谢您的观看！
22334
n n1
（2）求数列
1 , 1 , 1 ,, 1 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
的和
（1）解：数列的通项公式
an
1 n
1 n 1
数列的和为
Sn
1
n
1
1
n
n
1
第2页/共10页
（2）解：
第3页/共10页
你能说“裂项相消求和法”的特征吗？
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
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数学运用 练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1 B.2n 1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
第5页/共10页
【解析】
=
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数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
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1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
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归纳小结 裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － kn
1 n+k
）
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
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n n1
（2）求数列
1 , 1 , 1 ,, 1 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
的和
（1）解：数列的通项公式
an
1 n
1 n 1
数列的和为
Sn
1
n
1
1
n
n
1
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（2）解：
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你能说“裂项相消求和法”的特征吗？
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
《数列求和裂项》课件
实例二：分式数列的求和
分式数列
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n})
裂项求和
利用分数的性质，将每一项拆分成更小的部分，然后进行求和。
具体操作
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} = (1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + ... + frac{1}{n - 1} - frac{1}{n}) + frac{1}{n})
裂项求和法的总结
裂项求和法是一种常用的数列求和方法，通过将数列的每一项拆分成易于求和的形式，简化求和过程 。
裂项求和法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等，能够有效地解决一些复杂的数列求和问 题。
在应用裂项求和法时，需要仔细分析数列的结构和特点，选择合适的拆分方式，以达到简化求和的目的 。
分式形式的裂项公式在处理具有分式规律的 数列时非常有效，可以大大简化计算过程，
提高解题效率。
几何级数的裂项公式
几何级数的裂项公式是指将数列中的每一项表示为几何级数的形式，然后通过化 简或分解因式，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列 $1, 2, 4, 8, ldots$，其裂项公式为$2^{n-1}$。
差分形式的裂项公式在解决数列求和问题中非常常见，尤其在处理等差数列、等比数列等具有明显规 律的数列时，可以大大简化计算过程。
指数形式的裂项公式
指数形式的裂项公式是指将数列中的每一项表示为指数形式，然后通过因式分解或化简，将原数列的求和问题转化为新数列 的求和问题。例如，对于数列$1, 2^2, 3^3, ldots, n^n$，其裂项公式为$frac{1}{2} times (1 + n^n)$。
裂项相消法求和ppt课件
(4)an
log
a (1
1) n
__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝ ｛的n前 项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的 列通项 （2）若 bn an1an1,求数列bn｝ ｛的n前 项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝ ｛的n前 项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式 （2）设 bn ana1n1,求数列bn｝ ｛的n前 项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n
1 n(n
k)
( )
__k___n__ nk
(2)an
1 4n2 1
___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝ ｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛ ｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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[市示范课课件]数列求和之裂项相消法
![[市示范课课件]数列求和之裂项相消法](https://img.taocdn.com/s3/m/da96b16e27d3240c8447efea.png)
(4) 裂项的关健是紧抓相邻两项的相同项!
南海中学 钱耀周
问题探究• 提炼方法
海中
高三数学
问题3、 若数列 {an}为等差数列, an ¹ 0 ,公差 d ¹ 0 ,
你会求下列的 Sn 吗?
Sn
=
1 a1a2
+
1 a2a3
+
1 a3a4
+L +
1 anan+1
=
_____
南海中学 钱耀周
问题探究• 提炼方法
作一些推广吗?
南海中学 钱耀周
问题探究• 提炼方法
海中
高三数学
问题1、 你会求数列
ìï 1 üï
í ïî
n
(
n
+
1)
ý ïþ
的前
n 项和
Sn
吗?
Sn
=
1 1´2
+
1 2´3
+
1 3´4
+L +
1
n´(n
+ 1)
=
?
南海中学 钱耀周
问题探究• 提炼方法
海中
高三数学
问题2、
你会求数列
ìï í ïî
(
海中
高三数学
问题4、 数列
ìï í ïî
n
(
1 n+
2)
üïý的前 ïþ
n
项和
Sn
=
1 1´3
+
1 2´4
+
1 3´5
+L +
1
n( n +
2)
=
______ .
1数列求和之裂项相消法优质课件PPT全
1
nn
k
1 k
1 n
n
1
k
变式4：
求和：
Sn
1+ 1 1+2
1 1+2+3
1
1+2+3
n
例2 数列an的前n项和Sn , 通项公式an 2n1,
设bn
=
an +1 Sn Sn+1
，求:数列bn
的前项和Tn
bn
2n 2n 1 2n1 1
1
1
2n 1 2n1 1
1
Tn =1 2n1 1
1 n 1
n ,求其前n项和为Sn.
知识归纳
裂项相消法 分式型
裂项相消法的一般步骤 求通项 裂项 相消
裂项相消法常见裂项公式
求和
变式4：数列的通项公式an
nn
1
1 n
2
, 求其前n项和Sn.
n
n
1
1
n
2
1 2
n
1
n 1
n
1
1
n
2
Sn
=
1 2
1 2
n
1
1
n
2
变式1： 已知数列an为等差数列,a1 1 ,a1 a2 a3
S 数列 bn
满足 bn
2n 1
anan1 2
求：数列 bn
的前n项和
n
bn
2n
n2 n
1
12
1 n2
1 n 1 2
提升
数列an的前n项和Sn ,通项公式an
1 n2
,
证明: Sn 2
小结
人教版高中数学必修五2.3数列裂项相消法求和课件
已知bn
2 n2 5n 6
, 求Sn
能力提升
已知数列an中, an
2n
1, bn
an
1 an1
求数列bn 的前n项和.
课堂小结
1.形如
an
k an1
(k为常数,
an
为等差数列)
的数列的求和问题采用裂项求和法
2.具体方法 : bn
an
k an1
k d
1 an
1 an1
小试牛刀
设an为公差大于零的等差数列，S n为数列an
例题讲解:
例1.求和 1 1
1
1 2 2 3
n(n 1)
思考:
把下列各式裂成两式之差 :
1
1 (1 1)
_2___3__;
1
_12 (_1n_ n_1_2)
1 3
n(n 2)
1
Байду номын сангаас
1 (1 1)
_3 _2__5__;
1
1( 1 1 )
2__n _1_n_ 3
25
(n 1)(n 3)
2.3 数列裂项相消法求和
请同学们思考下面几个问题:
1. 1 与1 1 什么关系? 1 与 1 1 呢?
1 2 2
23 2 3
2. 1 可以等价于哪个式子 ? n (n 1)
3.计算 1 1 1
1 2 23
n(n 1)
什么是裂项法?
把数列的通项拆成两项之差,则分母的 每一项都可以按此法拆成两项之差,并 在求和时一些正负项可以相互抵消,使 前n项和变成首尾有限项之和.
若an1
an
d , (d
0).则
an
《数列求和裂项》课件
3
下一步的学习计划与目标设定
如何更好地学习数学？确定下一步的学习计划和目标设定，实现个人发展和成长。
数列求和裂项PPT课件
本课件介绍数列求和裂项的概念、方法和应用，以及实用技巧和数学竞赛题 目的解析，帮助你掌握数列求和的知识。
数列求和的定义
1 等差数列
数列前n项和公式: Sn = n(a1+an)/2
2 等比数列
数列前n项和公式: Sn = a1(1-q^n)/(1-q)
3 递推数列
数列前n项和公式: Sn = a1x1+a2x2+...+anx等因素，计算公司发 放奖金池的总额，更好管 理公司财务。
模拟实际生活场景中 的数列问题
将数列问题落到具体的生 活场景中，如人口增长模 型，物理模型，经济学模 型，建立模型求解问题。
结论与总结
数列求和裂项的应用范围
适用于各种数学问题的求解，尤其适合考试复习、数学竞赛等高质量数学学习。
为什么需要数列求和裂项
使得复杂的求和公式变得简单易算，规避繁琐 计算。
如何进行数列求和裂项
遵照数列求和的基本公式，运用代数方法将求 和式化简成队列求和裂项的形式。
数列求和裂项的示例
讲解具体的数列求和裂项的实例及其求解方法， 帮助理解和掌握数列求和裂项的技巧。
数列求和裂项的实战
数学竞赛题目
分析真实的数学竞赛题目， 应用数列求和裂项的技巧 快速解答，提高考试成绩。
重要性与必要性
是学习数学必须要掌握的一项重要技巧，对进一步学习复杂数学问题有极大帮助。
建议学习方法与步骤
如何高效地学习数列求和裂项？掌握正确的学习方法和适当的步骤。
总结与展望
1
本次课程的收获和心得体会
裂项相消ppt课件
精选
1
小试身手
应该怎样拆项？
精选
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数列)
精选
3
裂项法求和
例：求数列 1 ,1, 1, 1 , , 1 , (n N * ) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n
3 3n1 3n精选1
7
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.
[思路点拨]
精选
8
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
的前n项和
提示： a n 1 2 1 nn (n 2 1 )2 (1 nn 1 1 )
S n 2 [ 1 1 2 1 2 1 3 1 n n 1 1 2 1 n 1 1 n 2 n 1
精选
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)(2n1)12n112
(1 1) 2n1 2n1
(3) 1 n(n 2)
高三理科数学数列求和裂项相消法ppt课件
28
1 { } * an=f(n+1)+f(n),n ∈ N , 记数列 an 的前 n 项和为 Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 A.110 B.120 ( ) C.130 D.140
17
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
18
1 1 1 1 类型三：an n n( n n1 ) n 1 2 b 2 b 2 2 b 2 b
例 3.已知
an 2
n
1 1令 bn an an1 ，
Tn 是数列 bn 的前 n 项和，
1 Tn 证明： 6．
19
1 bn n n 1 证明： 2 1 2 1
6
1 （3）an n 1 n n 1 n ( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 1 1
7
1 （3）变式an nk n
nk n an k ( n k n )( n k n ) 1 ( n 1 n) k
*
3 m (3)设 bn= an an 1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
24
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.
由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，
∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上， 得 S n ＝ 3 n 2－ 2 n .
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n
.
解：
变式1：求数 2n列 11 (2n1) 的n前 项S和 n.
小结1：
（1）
1
nn1
1 1 n n1
（2） 4 n 1 2 12 n 1 1 2 n 1 1 2 2 n 1 1 2 n 1 1
.
5
巩固练习
练习1：已 a n 知 是数 等 ,其 n 项 列 差 S 前 n ,且 S 和 3 1 数 ,a 3 2 6 . 列
.
6
问题探究
变式2：已知数列的a通 nn项 n12公 ,求 式 其 n为 项 前S和 n.
变式3：若在2变 中式 2 把 改3为 、 4或 k,如何?求解
你发现?了什么
小结2：
（3）nn12121nn12
（4）nn1kk11nn1k
.
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题探究
例2 若数列an 为等差数列,an 0,公差d 0，
12 23 34 10 1 001
学生思考：
11 1 1 98 99 99 100
1 1 1 1 11 11 223 34 1010 01
1 1 100
101 101
？ 问题： 1 122 133 1.4nn 1 1
4
问题探究
1
例1
求数列
n
n
1
的前
n项和
S
1求数 an列 的通项 ; 公式
2求:证 11111.
S1 S2 S3
Sn
练习2：201年 5 全国 I 卷
S n 为 a n 的 n 项 数 , 已 a n 前 0 , a 和 n 2 列 2 a 知 n 4 S n 3
1求an的通项公式； 2设 bnana 1n1,求数 bn的 列 n项 前Tn 和 .
其中
111
1
Sna1a2a2a3a3a4anan 1
求S n .
解：
小结3: (5) 若 an是等,a 差 n0,公 数d差 列 0,则
1 anan1
d1a1n
1 an1
.
8
巩固练习
练习3：
已知 a n是 数等 列 ,且 差 其 数 a 通 n 列 n ,则 项
Sna1 1 a3a2 1 a4a3 1 a5ana 1 n2
裂项相消法的常见类型 分式型、等差数列型、根式型
裂项相消法的一般步骤 求通项 裂项 相消
求和
裂项相消法常见裂项公式
见小结
.
12
谢谢各位老师莅临指导！
.
13
数列求和
裂项相消法
2016年4月1日
.
1
教学目标：
知识与技能目标
数列求和的方法之裂项相消法
过程与能力目标
裂项相消法的常见题型及解题思路
.
2
教学重难点：
重 点： 裂项相消法的常见题型及解题思路
难 点： 裂项相消法适用题型的特征及相消
后所剩项的判断
.
3
教学过程 新课导入
小学奥数中：
？ 111 1
.
9
拓展训练
拓展1 已 a n 知 n ,数 a n 的 列 n 项 前 S n 和 ,且为
求 Tn . TnS 3 1 2S 52 2S 73 22n Sn 21,
解：
.
10
拓展训练
拓展2 已知 a n 的 数 通 列 a n项 n 1 1 公 n,求 式 n 项 其 为 S n 和 前 .
解：
变式：
数 试 a b n n 求 的 的 列 n项 前 通 Sn和 .a n 项 2 n 1 ,公 如式 果 b n 是 b n 是 数 a n 2 n a n 列 1,
小结4：
1 1n k n ,特别 1 n 地 1 n .
n k nk
n 1 n
.
11
知识归纳