上海市七宝中学2018-2019学年第一学期高一12月月考试卷(解析版)

上海市七宝中学2018-2019学年第一学期高一12月月考试卷
一、选择题（本大题共4小题）
1.已知是定义在上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是
A. 对任意，都有
B. 对任意，都有
C. 对任意，，且，都有
D. 对任意，，且，都有
【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，有函数，，对任意，都有，
但函数为减函数，不符合题意；
对于B，对任意，都有，不满足函数单调性的定义，不符合题意，
对于C，当为常数函数时，对任意，，
都有，不是增函数，不符合题意；
对于D，对任意，，设，若，
必有，则函数在上为增函数，符合题意；
故选：D．
根据题意，结合函数单调性的定义，依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查函数单调性的定义以及判断，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．
2.如果函数的反函数是，则函数反函数是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：由得，，
故选：A．
由得，，
本题考查了反函数，属基础题．
3.对于函数，下列命题：时，为奇函数；的图象关于中心
对称；，时，方程只有一个实根；方程至多有两个实根，其中正确的个数有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
【解析】解：当时，，，为奇函数，即正确，由函数的图象是将上下平移个单位，
又由得的图象关于点对称，则函数的图象
关于点中心对称，即正确，
，时，，为奇函数，且为单调增函数，
当时，，即方程只有一个实根正确，即正确，
方程至多有两个实根，错误，例：，，则方程的根为：0、1、，即错误．
故选：C．
时，，，为奇函数，
由函数的图象是将上下平移个单位，又由得的图象关于点对称，则函数的图象关于点中心对称，
，时，，为奇函数，且为单调增函数，当时，，即方程只有一个实根正确，
例：，，则方程的根为：0、1、，
本题考查了函数图象的平移，及函数的奇偶性，属中档题．
4.已知函数满足：对任意，恒有成立；当时，若
，则满足条件的最小的正实数a的值为
A. 28
B. 34
C. 36
D. 100
【答案】C
【解析】解：取，则；，从而
，其中，，1，2，，
，
设则，
，
即，，
满足条件的最小的正实数a是36．
故选：C．
取，则；，从而，根据进行化简，设则求出a的取值范围．
本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共12小题）
5.若幂函数是奇函数，则实数m的最小值是______．
【答案】1
【解析】解：幂函数是奇函数，
是奇数，
，实数m的最小值是1．
故答案为：1．
由幂函数是奇函数，得到m是奇数，再由，能求出实数m的最小值．
本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.设，，则______．
【答案】
【解析】解：，；
．
故答案为：．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．
7.已知函数是奇函数，当时，，，则______．
【答案】5
【解析】解：函数是奇函数
，而
则
将代入小于0的解析式得
解得
故答案为5
先根据函数的奇偶性求出的值，然后将代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可．本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及待定系数法求函数解析式，属于基础题．
8.已知为常数，，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】解：，
，
则，
当且仅当时，取最小值，
故答案为：．
由已知可得，，从而有利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式
的简单应用，属于基础试题
9.若函数有四个不
同的零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：函数有四个不
同的零点等价于与的图象有四个交点，
的图象如右：
由图可知：
故答案为
函数有四个不同的零点等价于与的图象有四个交点，
本题考查了函数的零点与方程的根的关系属中档题．
10.如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数例如，，那么“”是
“”的______条件．
【答案】充分不必要
【解析】解：令，，
，，
即，，
推不出；
；
是的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题以简易逻辑为载体，考查了取整的性质，考查了推理能力，属中档题．
11.若是定义域为R，周期为4的偶函数，在上单调递增，且，则在上的
解集是______．
【答案】
【解析】解：根据题意，在上单调递增，且，
则在上，，在上，，
又由为偶函数，则在上，，在上，，
又由函数是周期为4的周期函数，也是函数的对称轴，
则在上，，在，，
在区间和上，，在上，，
且，则有；
故答案为：．
根据题意，由函数的单调性分析可得在上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，结合函数的周期性可得在上，，在，，进而可得在区间和上，，在上，，又由且
，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，关键是分析的符号．
12.设为，的反函数，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】解：由在上为增函数，得其值域为，
可得在上为增函数，
因此在上为增函数，
的最大值为．
故答案为：4．
由在上为增函数可得其值域，得到在上为增函数，由函数的单调性求
得的最大值．
本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．
13.已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：根据题意，函数在R上是增函数，
则有，
解可得：，
即实数a的取值范围为；
故答案为：．
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，关键是理解函数单调性的定义．
14.设常数，则方程的解的个数组成的集合是______．
【答案】
【解析】
解：由|x+a|•2x=2018，
得：|x+a|=，
设：f（x）=，g（x）=|x+a|，
在直角坐标系中分别画f（x），g（x）的图象由图①②③可得解．
故答案为：
由|x+a|•2x=2018，得：|x+a|=，设：f（x）=，g（x）=|x+a|，在直角坐标系中分别画f（x），g（x）的图象观察可得解．
本题考查了数形结合的思想方法和作图能力，属中档题
15.知函数，，若恰有两个不同的实根，则实数k的取值
范围是______．
【答案】（，
【解析】解：设t=+x（x＞0）则此函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，值域为[2，+∞），g（t）=t2+kt+9（t≥2）
f（x）=0恰有两个不同的实根，
即t2+kt+9=0在[2，+∞）只有一个解，
即△=0（k＜0）或g（2）＜0，
即k2-36=0（k＜0）或2k+13＜0，
即k=-6或k＜-
故答案为：（，
设t=+x（x＞0），结合该函数性质可得：f（x）=0恰有两个不同的实根，即t2+kt+9=0在[2，+∞）只有一个解，即△=0（k＜0）或g（2）＜0，可得解．
本题考查了函数零点与方程根的关系，属中档题
16.已知函数对函数，定义关于的“对称函数”为，
满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”且恒成立，则实数b的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：由题意可得
，
由恒成立，
可得在恒成立，
设，
由，均在递减，
可得函数在递减，
可得的最小值为，
即有，即，
可得b的范围是．
故答案为：．
由题意求得，即有在恒成立，设，判断单调性可得最小值，即可得到所求范围．
本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.设函数．
指出在上的单调性，并证明你的结论；
求的反函数．
【答案】解：在上单调递减，
证明：任取，，
，，，，
，
在上单调递减
，
，
，．
【解析】减函数，用定义证明；
反解出x，再对调x与，注意定义域．
本题考查了反函数、函数单调性得定义属基础题．
18.上海自贸区某种进口产品的关税税率为t，其市场价格单位：千元，与市场供应量单位：万件之
间近似满足关系式：．
请将p表示为关于x的函数，并根据下列条件计算：若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件试确定t的值；
当时，经调查，市场需求量单位：万件与市场价格x近似满足关系式：为保证市场供应量不低于市场需求量，试求市场价格x的取值范围．
【答案】解：由，得，
，
则，即；
由，得，
由，得，
由指数函数的单调性可得，即．
解得：．
市场价格x的取值范围为不低于3千元，不超过9千元．
【解析】由已知求得p，再由已知求得t；
化对数式为指数式求得q，由可得关于x的指数不等式，求解得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数式与指数式的互化，训练了指数不等式的解法，是中档题．
19.己知定义域为R的函数是奇函数．
求函数的解析式，并判断函数的单调性无需证明；
若对任意的，恒成立求实数k的取值范围．
【答案】解：是奇函数，
，解得．
又由知，解得，
．
，
，
在上为减函数；
是奇函数，
不等式等价于，
函数在上为减函数，由上式推得，
即对一切有，
从而判别式△ ，解得．
【解析】由已知得，，由此能求出a，b，可得函数的解析式；
利用导数判断、证明函数的单调性；
根据函数的单调性，结合奇函数的性质把不等式转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．
20.已知函数．
若，求的解析式；
求 的值域，设
， 为实数 ，求 在 时的最大值 ； 对 中 ，若 对 的所有实数a 及 恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】解： 由 且 ，得 ， 所以函数的定义域为 ，
又 ；
， 由 ，由 ， 得 ，
令 ， 则
，
， ， 由题意知 即为函数
， 的最大值． 注意到直线
是抛物线 的对称轴，
因为 时，函数 ， 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
，即
，则 ；
若
，即
，则
；
若 ，即
，则 ， 综上有
；
由 的解析式可得
时，
；
时，
；
可得 ，
由 对 对 恒成立， 即要使 恒成立， ，令 ， 对所有的 ， 成立，
只需
，即有 或
或
， 解得m 的取值范围是 ，或 ．
【解析】由且可求得定义域，可得的解析式；
，令，则，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴与t的范围的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；
先由求出函数的最小值，对对恒成立，即要使
恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．
21.已知函数在区间上的最大值为4，最小值为1．
求实数a、b的值；
记，若在上是单调函数，求实数k的取值范围；
对于函数，用1，2，，n，将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数记，试判断函数是否为在上的有界变差函数？
若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．
参考公式：
【答案】解：函数，因为，
所以在区间上是增函数，
又函数故在区间上的最大值为4，最小值为1，
，即，
解得，；
由已知可得，
，，
若在上是单调函数，若，即，在递增；
当，即，若在递增，只需在恒成立，
可得的最小值，即有即；
若在递减，只需在恒成立，
可得的最大值，即有即．
解得或；
函数为上的有界变差函数．
因为函数为递增，递减，上的单调递增函数，
且对任意划分T：，
有
恒成立，
且对任意划分T：，
有
恒成立，
且对任意划分T：，
有，
恒成立，
由可得，
存在常数M，使得恒成立，M的最小值为6．
【解析】由已知中在区间的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；
由的解析式可得的解析式，求得导数，讨论的符号，结合参数分离和单调性可得k的范围；
根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论．
本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中的关键是分析出函数的单调性，要用转化思想将其转化为恒成立问题，的关键是真正理解新定义的含义．。